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Tensore di inerzia di un cubo II ??

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6.2. TENSORE DI INERZIA DI UN CUBO II??

PROBLEMA 6.2

Tensore di inerzia di un cubo II ??

Determinare il tensore di inerzia di un cubo omogeneo di lato a e massa M. Porre l’origine del sistema di coordinate nel centro di massa.

Soluzione

A causa della simmetria del corpo il tensore di inerzia è diagonale, con elementi diago- nali uguali. Possiamo allora calcolare

Ixx= ˆ

(x2+y2)dm

dove l’integrazione è estesa a tutto il corpo. In coordinate cartesiane abbiamo dm=ρdV = M

a3dxdydz e quindi l’integrale diviene

Ixx = M a3

ˆ a/2

−a/2

dx ˆ a/2

−a/2

dy ˆ a/2

−a/2

dz(x2+y2). Integriamo su z

Ixx = M a3a

ˆ a/2

−a/2

dx ˆ a/2

−a/2

dy(x2+y2) quindi su y

Ixx= M a3a

ˆ a/2

−a/2dx(ax2+21 3 1 8a3) ed infine su x, ottenendo

Ixx= Iyy= Izz= 1 6Ma2.

451 versione del 22 marzo 2018

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