Corso (barrare): MECC VEIC Nr. Matricola.

(1)

Sistemi di Controllo Prima prova in itinere

8 novembre 2005

Cognome e Nome:

Corso (barrare): MECC VEIC Nr. Matricola.

Firma:

a) Dato il sistema

G(s)

C(s) c

e

r e C(s) e -t

₀

s G(s) c

r e-t e -t

₀⁰

s s

progettare il regolatore integrale C(s) = K/s in modo da garantire al sistema retroazionato un margine di fase MF = 45^o. Per calcolare il guadagno K si usi il diagramma sotto riportato, indicando le grandezze lette. A vostra scelta (barrare) tale diagramma rappresenta:

−4 −3 −2 −1 0 1 2

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

0.5 0.6

0.8 1.0

1.3 1.6

2.1 2.7 3.6 4.6 6.0 7.7 10.0

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

G(jω)

e^−t⁰^jωG(jω)

Il guadagno d’anello per K=1

G(jω)/jω

NOTA BENE: il valore di K si ottiene pi`u o me- no facilmente a seconda della scelta eﬀettuata.

Per avere un margine di fase di MF = 45ô il diagramma di Nyquist del guadagno d’anello deve intersecare la circonferenza di raggio 1 con una fase pari a−135ô. Per tale fase il modulo del guadagno d’anello per K = 1 risulta (dalla lettura sul grafico) circa 3. Prendendo quindi K = 1/3 il sistema retroazionato presenta esattamente il margine di fase desiderato.

b) Sia dato il seguente sistema in retroazione:

G(s)

C(s) y c

e N.L.

r x

G(s)

C(s) y c

e N.L.

r x

C(s) = 10

s + 5 G(s) = e^−s (s + 2)

1 2 4 x

y 1 3 -2

1/4

1 2 4 x

y 1 3 -2

1/4

(2)

b.2) Posto r = 2, calcolare l’errore e nel punto di lavoro.

Per r = 2 la retta di carico risulta y = 4 − x e il punto di lavoro è (x0, y0) = (3, 1). Quando il sistema è nel punto di lavoro, tutti i segnali sono costanti e si può sfruttare il concetto di guadagno statico. Essendo il guadagno statico C(0) = 2, l’errore e nel punto di lavoro risulta e = 1.5.

b.3) Nell’ipotesi che il punto di lavoro sia (x0, y0) = (1, 0) disegnare qualitativamente la funzione descrittiva F (x) del blocco non lineare N.L.

La funzione descrittiva risulta come segue:

0 5 10 15 20 25 30 35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

funzione descrittiva

b.4) Nell’ipotesi che il punto di lavoro sia (x0, y0) = (1, 0) discutere la stabilit`a di tale punto di lavoro applicando il criterio del cerchio.

Il diagramma di Nyquist del guadagno d’anello è sicuramente strettamente contenuto all’interno della circonferenza unitaria perchè le costanti di tempo dei poli sono comparabili con il ritardo e il guadagno statico è unitario (vedi figura). Il cerchio critico ha il diametro tra −1 e −4, pertanto il punto di lavoro è asintoticamente stabile.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

c) Un sistema in retroazione `e caratterizzato da un blocco non lineare la cui funzione descrittiva

`e riportata sotto. Il diagramma di Nyquist del guadagno d’anello Ga(j ω) `e riportato sotto.

Nell’ipotesi che siano rispettate le condizioni per applicare il metodo della funzione descrittiva:

(3)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0

0.5 1 1.5 2 2.5

−1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0

1.0 1.2

1.3 1.5

1.7 2.0

Real

Imag

c.1) ricavare ampiezza X_i^∗ e pulsazione ω_i^∗ degli eventuali cicli limite presenti nel sistema speciﬁcando se essi sono stabili o instabili;

L’intersezione del diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo si ha in σ = −2/3 pertanto ci possono essere cicli limite se esistono soluzioni dell’equazione:

− 1

F (X) = σ = −2

3 ⇒ F (X) = 3 2 = 1.5 In questo caso esistono due intersezioni:

1) ciclo limite instabile con ampiezza X^∗ 1 e ω^∗ 1.7;

2) ciclo limite stabile con ampiezza X^∗ 2.5 e ω^∗ 1.7;

c.2) supponendo di introdurre un fattore di guadagno K = 0.5 il guadagno d’anello risulta 0.5 Ga(j ω). Discutere la stabilit`a del punto di lavoro o l’eventuale presenza di cicli limite speciﬁcando ampiezza, periodo e se sono stabili o instabili.

Per K=0.5 l’intersezione del diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo `e in σ = −1/3 Ripetendo il ragionamento precedente occorre cercare le soluzioni per F (X) = 3. Dato che non ci sono soluzioni e dato che la funzione −1/F (X) `e completamente al di fuori del diagramma del guadagno d’anello, il punto di lavoro `e asintoticamente stabile.

c.3) Supponendo di introdurre un fattore di guadagno K > 0 il guadagno d’anello risulta K Ga(j ω). Discutere al variare di K la stabilit`a del punto di lavoro o l’eventuale presenza di cicli limite speciﬁcando se sono stabili o instabili.

Posto m1 2.2 e m₂ 0.2 (i valori estremi per F (X)) e ricordando che l’intersezione del diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo `e in σ = −2K/3, sono possibili i seguenti casi (ricavati usando il graﬁco della funzione descrittiva):

1) (3/2K) > 2.2 ⇒ K < (3/4.4) = 0.68 non ci sono cicli limite e il punto di lavoro `e asintoticamente stabile;

2) 2.2 > (3/2K) > 1 ⇒ 0.68 < K < 1.5 sono possibili due cicli limite, uno instabile e uno stabile, l’ampiezza del ciclo limite stabile `e maggiore rispetto a quella del ciclo limite instabile. Entrambi hanno la pulsazione ω^∗ 1.7;

3) 1 > (3/2K) > 0.2 ⇒ 1.5 < K < 7.5 `e possibile un solo ciclo limite stabile alla pulsazione ω^∗ 1.7;

4) 0.25 > (3/2K) ⇒ K > 7.5 non ci sono cicli limite e il punto di lavoro `e instabile.

c.4) Disegnare qualitativamente la funzione non lineare corrispondente alla funzione descrittiva.

(4)

1 2 4 x y

1 3 -2

1/5

1 2 4 x

y 1 3 -2

1/5

d) Stimare la banda passante e il tempo di assestamento dei seguenti sistemi lineari. Quale dei due presenta il minor tempo di assestamento? Giustiﬁcare le risposte.

G1(s) = 2000

(s + 10)(s + 20) G2(s) = 2000

(s + 100)(s²+ 5 s + 25)

Entrambi i sistemi sono di tipo passa basso. La loro banda passante si stima considerando la prima pulsazione critica (la pulsazione del poli/poli a frequenza pi`u bassa). Nel caso in esame:

B1 [0 10] B2 [0 5]

Il sistema 1 ha una banda passante più ampia e quindi è più veloce a rispondere. Per sistemi asintoticamente stabili con più di due poli, una stima del tempo di assestamento si ottiene mediante la formula:

Ta 3

|σ|

dove σ `e la parte reale del/dei poli/poli pi`u vicini all’asse immaginario. Nel caso in esame:

Ta1 3

10 Ta2 3

5

e) Disegnare qualitativamente sul piano (α, Fy) l’andamento della forza laterale Fy esercitata da un pneumatico in funzione dell’angolo di scorrimento α per diversi valori di scorrimento λ > 0.

Scrivere la formula che deﬁnisce lo scorrimento e spiegare i termini che contiene.

f) Il sistema meccanico riportato in figura `e costituito da un’asta di massa M e posizione x soggetta ad attrito viscoso con coefficiente b e che spinge una molla lineare che genera una forza elastica Fe = K x. L’asta è mossa dalla differenza di pressione fra le due camere del cilindro. I condotti dell’olio verso la camera sono modellabili con la relazione Qi = Cdi

√∆Pi per i = 1, 2. Le due camere hanno una capacit`a idraulica pari a C1 e C2. Si ricavi il modello P.O.G. del sistema.

M b K

x

P₁ P₂

C₁ A C₂

Q₁ Q₂

P_L P_R

M b K

x

P₁ P₂

C₁ A C₂

Q₁ Q₂

P_L P_R

(5)

Sistemi di Controllo Prima prova in itinere

8 novembre 2005

Cognome e Nome:

Corso (barrare): MECC VEIC Nr. Matricola.

Firma:

a) Dato il sistema

G(s)

C(s) c

e

r e C(s) e -t

₀

s G(s) c

r e-t e -t

₀⁰

s s

progettare il regolatore integrale C(s) = K/s in modo da garantire al sistema retroazionato un margine di fase MF = 30^o. Per calcolare il guadagno K si usi il diagramma riportato, indicando le grandezze lette. A vostra scelta (barrare) tale diagramma rappresenta:

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30

Modulo [dB]

Diagrammi di Bode

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−250

−200

−150

−100

−50

ω [rad/s]

Fase [deg]

G(jω)

e^−t⁰^jωG(jω)

Il guadagno d’anello per K=1

G(jω)/jω

NOTA BENE: il valore di K si ottiene pi`u o me- no facilmente a seconda della scelta eﬀettuata.

Per avere un margine di fase di MF = 30ô il modulo del guadagno d’anello deve essere 1 quando la fase è pari a −150ô. Tale fase si ha per ω 1, il modulo del guadagno d’anello per K = 1 risulta (dalla lettura sul diagramma delle ampiezze) circa 6dB 2. Prendendo quindi K = −6dB 0.5 il sistema retroazionato presenta esattamente il margine di fase desiderato.

b) Sia dato il seguente sistema in retroazione:

G(s)

C(s) y c

e N.L.

r x

G(s)

C(s) y c

e N.L.

r x

C(s) = 100

s + 50 G(s) = 100 e^−s (s + 200)

1 2 4 x

y 1 3 -2

1/5

1 2 4 x

y 1 3 -2

1/5

(6)

b.2) Posto r = 2, calcolare l’errore e nel punto di lavoro.

Per r = 2 la retta di carico risulta y = 4 − x e il punto di lavoro è (x0, y0) = (2, 2). Quando il sistema è nel punto di lavoro, tutti i segnali sono costanti e si può sfruttare il concetto di guadagno statico. Essendo il guadagno statico C(0) = 2, l’errore e nel punto di lavoro risulta e = 1.

b.3) Nell’ipotesi che il punto di lavoro sia (x0, y0) = (1, 0) disegnare qualitativamente la funzione descrittiva F (x) del blocco non lineare N.L.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

b.4) Nell’ipotesi che il punto di lavoro sia (x0, y0) = (1, 0) discutere la stabilit`a di tale punto di lavoro applicando il criterio del cerchio.

Il diametro del cerchio critico è compreso fra −5 e −1/3. Essendo il ritardo molto maggiore rispetto alle costanti di tempo dei poli, il diagramma di nyquist `e, per pulsazioni ω sufficien- temente piccole, simile a una circonferenza con raggio pari al guadagno statico. Essendo il guadagno statico unitario, il diagramma di Nyquist interseca il cerchio critico e il criterio del cerchio risulta inefficace.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

diagramma di Nyquist

c) Un sistema in retroazione `e caratterizzato da un blocco non lineare la cui funzione descrittiva

`e riportata sotto. Il diagramma di Nyquist del guadagno d’anello Ga(j ω) `e riportato sotto.

Nell’ipotesi che siano rispettate le condizioni per applicare il metodo della funzione descrittiva:

(7)

0 5 10 15 20 25 30 35 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

2.0 2.3

2.6 3.0

3.5 4.0

Real

Imag

c.1) ricavare ampiezza X_i^∗ e pulsazione ω_i^∗ degli eventuali cicli limite presenti nel sistema speciﬁcando se essi sono stabili o instabili.

L’intersezione del diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo si ha in σ = −2 pertanto ci possono essere cicli limite se esistono soluzioni dell’equazione:

− 1

F (X) = σ = −2 ⇒ F (X) = 1 2 = 0.5 In questo caso esistono tre intersezioni:

1) ciclo limite stabile con ampiezza X^∗ 2.5 e ω^∗ 3.5;

2) ciclo limite instabile con ampiezza X^∗ 3 e ω^∗ 3.5;

3) ciclo limite stabile con ampiezza X^∗ 11 e ω^∗ 3.5;

c.2) Supponendo di introdurre un fattore di guadagno K = 2 il guadagno d’anello risul- ta 2 Ga(j ω). Discutere la stabilit`a del punto di lavoro o l’eventuale presenza di cicli limite speciﬁcando ampiezza, periodo e se sono stabili o instabili.

Per K=2, l’intersezione del diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo si sposta in σ = −4, per tale valore la funzione −1/F (X) `e completamente racchiusa dal diagramma di Nyquist e pertanto il punto di lavoro `e instabile.

c.3) Supponendo di introdurre un fattore di guadagno K > 0 il guadagno d’anello risulta K Ga(j ω). Discutere al variare di K la stabilit`a del punto di lavoro o l’eventuale presenza di cicli limite speciﬁcando se sono stabili o instabili.

Posto m1 0.42, m₂ 0.76, m₃ = 0.25 (i valori estremi per F (X)) e ricordando che l’interse- zione del diagramma di Nyquist con il semiasse reale negativo `e in σ = −2K, sono possibili i seguenti casi (ricavati usando il graﬁco della funzione descrittiva):

1) (1/2K) > 1 ⇒ K < 0.5 non ci sono cicli limite e il punto di lavoro `e asintoticamente stabile.

2) 1 > (1/2K) > 0.76 ⇒ 0.5 < K < 0.66 un solo ciclo limite stabile alla pulsazione ω^∗ 3.5.

3) 0.76 > (1/2K) > 0.42 ⇒ 0.66 < K < 1.2 tre cicli limite stabile-instabile-stabile (analoga- mente alla domanda) tutti alla pulsazione ω^∗ 3.5.

4) 0.42 > (1/2K) > 0.25 ⇒ 1.2 < K < 2 un solo ciclo limite stabile alla pulsazione ω^∗ 3.5.

5) 0.25 > (1/2K) ⇒ K > 2 non ci sono cicli limite e il punto di lavoro `e instabile.

c.4) Disegnare qualitativamente la funzione non lineare corrispondente alla funzione descrittiva.

(8)

1 2 4 x y

1 3 -2

1/4

1 2 4 x

y 1 3 -2

1/4

d) Stimare la banda passante e il tempo di assestamento dei seguenti sistemi lineari. Quale dei due presenta il minor tempo di assestamento? Giustiﬁcare le risposte.

G1(s) = 2000

(s + 1)(s + 20) G2(s) = 2000

(s + 100)(s²+ 10 s + 100)

Entrambi i sistemi sono di tipo passa basso. La loro banda passante si stima considerando la prima pulsazione critica (la pulsazione del poli/poli a frequenza pi`u bassa). Nel caso in esame:

B1 [0 1] B2 [0 10]

Il sistema 1 ha una banda passante più ampia e quindi è più veloce a rispondere. Per sistemi asintoticamente stabili con più di due poli, una stima del tempo di assestamento si ottiene mediante la formula:

Ta 3

|σ|

dove σ `e la parte reale del/dei poli/poli pi`u vicini all’asse immaginario. Nel caso in esame:

Ta1 3

1 Ta2 3

10

e) Disegnare qualitativamente sul piano (λ, Fx) l’andamento della forza longitudinale Fx esercitata da un pneumatico in funzione dello scorrimento λ per diversi valori del carico verticale Nz. Scrivere la formula che deﬁnisce lo scorrimento e spiegare i termini che contiene.

f) Il sistema meccanico riportato in figura `e costituito da un’asta di massa M e posizione x soggetta ad attrito viscoso con coefficiente b e che spinge una molla lineare che genera una forza elastica Fe = K x. L’asta è mossa dalla differenza di pressione fra le due camere del cilindro. I condotti dell’olio verso la camera sono modellabili con la relazione Qi = Cdi

√∆Pi per i = 1, 2. Le due camere hanno una capacit`a idraulica pari a C1 e C2. Si ricavi il modello P.O.G. del sistema.

M b K

x

P_L P_R

C₁ A C₂

Q₁ Q₂

P₁ P₂

M b K

x

P_L P_R

C₁ A C₂

Q₁ Q₂

P₁ P₂