Esercizi di Algebra Lineare Riduzione di Gauss Sistemi lineari dipendenti da parametri

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Esercizi di Algebra Lineare Riduzione di Gauss

Sistemi lineari dipendenti da parametri

Anna M. Bigatti 29 novembre 2012

Sistemi e soluzioni con parametri

Esercizio 1. Dato il parametro a ∈ R ed il sistema lineare nelle incognite x, y, z, w











x + 2ay + az = a

x + ay + z + 3aw = 0

−x + y + 3w = 0

y + 3w = −1

si trovi una descrizione dell’insieme delle soluzioni al variare del parametro a ∈ R . Soluzione

R ::= QQ[x,y,z, a, r,s,t];

K := NewFractionField(R); -- per usare le frazioni di polinomi Use K;

C := Mat(K,[[ 1, 2*a, a, 0, a],

[ 1, a, 1, 3*a, 0],

[-1, 1, 0, 3, 0],

[ 0, 1, 0, 3, -1] ] );

-- riduco la prima colonna I := IdentityMat(K, 4);

E1 := Eso(I,2,1, -1); E1 * C;

E2 := Eso(I,3,1, 1); E2 * E1 * C;

-- [1, 2*a, a, 0, a], -- [0, -a, -a +1, 3*a, -a], -- [0, 2*a +1, a, 3, a], -- [0, 1, 0, 3, -1]

-- riduco la seconda colonna: scambio righe 2 e 4 per avere pivot senza "a"

E3 := Esc(I,2,4); E3 * E2 * E1 * C;

E4 := Eso(I,3,2, -2*a -1); E4 * E3 * E2 * E1 * C;

E5 := Eso(I,4,2, a); E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

-- [1, 2*a, a, 0, a],

-- [0, 1, 0, 3, -1],

-- [0, 0, a, -6*a, 3*a +1], -- [0, 0, -a +1, 6*a, -2*a]

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(2)

Il pivot dipende dal parametro, quindi devo considerare i due casi: “pivot nullo” e “pivot non nullo”.

(a) Caso a = 0 : sostituisco a con 0

C0 := Subst(E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C, [[a,0]]); C0;

-- [1, 0, 0, 0, 0], -- [0, 1, 0, 3, -1], -- [0, 0, 0, 0, 1], -- [0, 0, 1, 0, 0]

da cui segue che la terza equazione del sistema associato `e 0 = 1 , quindi in questo caso non ci sono soluzioni.

(b) Caso a 6= 0 : posso dividere per a

E6 := Epr(I,3, 1/a); E6 * E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

E7 := Eso(I,4,3, a-1); E7 * E6 * E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

-- [1, 2*a, a, 0, a], -- [0, 1, 0, 3, -1],

-- [0, 0, 1, -6, (3*a +1)/a], -- [0, 0, 0, 6, (a^2 -2*a -1)/a]

-- riduco la quarta colonna

E8 := Epr(I,4, 1/6); E8 * E7 * E6 * E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

-- [1, 2*a, a, 0, a], -- [0, 1, 0, 3, -1],

-- [0, 0, 1, -6, (3*a +1)/a],

-- [0, 0, 0, 1, (a^2 -2*a -1)/(6*a)]

-- sostituzione all’indietro E9 := Eso(I,3,4, 6);

E10 := Eso(I,2,4, -3);

E10 * E9 * E8 * E7 * E6 * E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

E11 := Eso(I,1,3, -a);

E12 := Eso(I,1,2, -2*a);

E12 * E11 * E10 * E9 * E8 * E7 * E6 * E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

-- [1, 0, 0, 0, -1],

-- [0, 1, 0, 0, (-a^2 +1)/(2*a)], -- [0, 0, 1, 0, a +1],

-- [0, 0, 0, 1, (a^2 -2*a -1)/(6*a)]

quindi per ogni a 6= 0 esiste unica soluzione:

Sol := ColMat(K, [ -1, (-a^2 +1)/(2*a), a + 1, (a^2 -2*a -1)/(6*a)]);

-- verifico:

A := Submat(C, [1,2,3,4], [1,2,3,4]);

B := Submat(C, [1,2,3,4], [5]);

A * Sol = B; --> true Conclusione:

Per a = 0 non esistono soluzioni (nessun punto);

per a ∈ R\{0} esiste una unica soluzione: (−1, ^−a2a²⁺¹, a + 1, ^a²^−2a−1_6a ) (un punto) ut

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(3)

Esercizio 2. Dati nello spazio i tre piani di equazione cartesiana x+y+kz = 0 , ¹₂x+ky+z = k , e ¹₂x − ky + y = −k descriverne l’intersezione al variare del parametro k ∈ R .

Soluzione

R ::= QQ[k, a,b,c];

K := NewFractionField(R);

Use K;

C := Mat(K,[[1, 1, k, 0],

[1/2, k, 1, k],

[1/2, -k + 1, 0, -k] ]);

I := IdentityMat(K,3);

-- riduco la prima colonna E1 := Eso(I,2,1, -1/2); E1*C;

E2 := Eso(I,3,1, -1/2); E2*E1*C;

-- [1, 1, k, 0],

-- [0, (2*k -1)/2, (-k +2)/2, k], -- [0, (-2*k +1)/2, -k/2, -k]

-- Il pivot risulta nullo se k=1/2, quindi devo considerare i due casi:

-- (1) k = 1/2 -- (2) k != 1/2

--- -- (1) sostituisco: k = 1/2

CC := Subst(E2*E1*C, [[k, 1/2]]); CC;

-- continuo la riduzione: terza colonna E3 := Epr(I,2,4/3); E3*CC;

E4 := Eso(I,3,2,1/4); E4*E3*CC;

-- [1, 1, 1/2, 0], -- [0, 0, 1, 2/3], -- [0, 0, 0, -1/3]

-- il sistema associato contiene la riga 0 = 1/3 -- ==> NESSUNA SOLUZIONE per k = 1/2

--- -- (2) k diverso da 1/2: allora posso dividere per (k-1/2) E2 * E1 * C;

E3 := Epr(I,2, 1/(k-1/2)); E3*E2*E1*C;

E4 := Eso(I,3,2, k-1/2); E4*E3*E2*E1*C;

-- [1, 1, k, 0],

-- [0, 1, (-k +2)/(2*k -1), (2*k)/(2*k -1)], -- [0, 0, -k +1, 0]

-- Il pivot risulta nullo se k=1, quindi devo considerare i due casi:

-- (2.1) k = 1 -- (2.2) k <> 1

--- -- (2.1) sostituisco: k = 1

C1 := Subst(E4 * E3 * E2 * E1 * C, [[k, 1]]); C1;

-- continuo la riduzione: seconda colonna E5 := Eso(I,1,2, -1); E5 * C1;

-- [1, 0, 0, -2],

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(4)

-- [0, 1, 1, 2], -- [0, 0, 0, 0]

-- pongo z (variabile libera) = a: z = a, x = -2, y = 2-a -- quindi le INFINITE SOLUZIONI sono

Sol := ColMat(K, [-2, 2-a, a]);

-- verifico:

A := Submat(C, [1,2,3], [1,2,3]);

B := Submat(C, [1,2,3], [4]);

AA := Subst(A, [[k,1]]); AA;

BB := Subst(B, [[k,1]]); BB;

AA * Sol = BB; --> True

--- -- (2.2) k diverso da 1: allora posso dividere per (k-1) E5 := Epr(I,3, -1/(k-1)); E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

E6 := Eso(I,2,3, (k/2 - 1)/(k - 1/2));

E7 := Eso(I,1,3, -k);

E8 := Eso(I,1,2, -1); E8 * E7 * E6 * E5 * E4 * E3 * E2 * E1 * C;

-- [1, 0, 0, (-2*k)/(2*k -1)], -- [0, 1, 0, (2*k)/(2*k -1)], -- [0, 0, -1, 0]

-- quindi esiste un’UNICA SOLUZIONE:

Sol := ColMat(K, [ (-2*k)/(2*k -1), (2*k)/(2*k -1), 0 ]);

-- verifico

A * Sol = B; --> true -- CONCLUSIONE:

-- (1) se k = 1/2 non esistono soluzioni;

-- (2.1) se k = 1 esistono infinite soluzioni { (-2, 2-a, a) | a in R } -- (2.2) altrimenti esiste una soluzione ((-2*k)/(2*k -1), (2*k)/(2*k -1), 0) Per k = ¹₂ l’intersezione è vuota; per k = 1 è la retta r : (−2, 2 − a, a) ; per ogni altro valore di k è il punto P_k(_2k−1^−2k,_2k−1^2k , 0) . ut

Esercizio 3. Determinare, al variare di u ∈ R , le soluzioni del sistema







x + y + uz = 0 x + uy + 2z = u

−uy + z = −u Esercizio 4. Data A =







1 a 0 1 1 0 0 −1 0 1 a 0 0 2 1 0





 dire per quali a ∈ R `e invertibile e calcolarne l’inversa.

Esercizio 5. Discutere al variare di α ∈ R la compatibilit`a del seguente sistema lineare descrivendo le soluzioni (quando compatibile)







x + αy + z + t = 1 x + y + 2z + t = 1

αx + αt = 1

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