Compito scritto di Controlli Automatici del 25 Giugno 2020

Compito scritto di Controlli Automatici del 25 Giugno 2020

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. Il metodo della Trasformata di Laplace nella risoluzione di equazioni differenziali lineari a parametri concentrati

A. permette di calcolare la risposta libera del sistema B. permette di calcolare la risposta forzata del sistema

C. pu`o essere utilizzato anche nel caso di equazioni tempo varianti

D. pu`o essere utilizzato solo nel caso di equazioni tempo invarianti

2. Sia G(s) una funzione razionale fratta in s. La scomposizione in fratti semplici della funzione G(s) mediante il metodo dei residui, G(s) =Pn

i=1 Ki

s−pⁱ con Ki = lim_s→pi(s − pⁱ)G(s), A. `e sempre possibile

B. `e possibile solo per sistemi a fase minima

C. `e possibile solo se la funzione G(s) `e propria (n ≥ m)

D. `e possibile solo se la funzione G(s) `e strettamente propria (n > m)

3. Un sistema del secondo ordine privo di zeri la distanza dei poli dall’origine (a parit`a di direzione) influisce sui seguenti parametri della risposta al gradino

A. tempo di salita B. tempo di ritardo

C. tempo di assestamento D. coefficiente di smorzamento

4. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = ^−80(s+3)

(s−8)(s−30). Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile

affermare che il sistema retroazionato K G(s)

`e stabile per i seguenti valori di K:

A. 0 < K < K^∗< ∞;

B. 0 < K^∗< K < ∞;

C. −∞ < K^∗< K < 0;

D. −∞ < K < K^∗< 0;

dove K^∗ ´e un opportuno valore costante.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Real -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

Diagramma di Nyquist

4.7 5.6 6.8

8.2 10

12 15

18 22 27 33 47 39

5. Sia dato il sistema retroazionato mostrato in figura.

L’errore a regime e(∞) della variabile e(t) quando t → ∞ ´e:

A. e(∞) = 0 B. e(∞) = 1 C. e(∞) = 2 D. e(∞) = 4

- - 4

(s + 2)^{2 -} 6

r(t) = 4 e(t) y(t)

6. Posto a0 6= 0, l’equazione ausiliaria che di ottiene dalla tabella di Routh quando tutti gli elementi di una riga si annullano:

A. ha radici simmetriche rispetto all’origine B. `e composta solo da termini di grado pari in s

C. `e composta solo da termini di grado dispari in s

D. ha radici simmetriche rispetto all’asse immaginario

7. La funzione G(s) = K(1 + _T¹_is+ Tds), che rappresenta un regolatore standard PID, A. `e fisicamente realizzabile

B. ha un guadagno statico infinito

C. ha un guadagno infinito alle alte frequenze

D. `e un modello ideale semplificato dei PID realizzati fisicamente

8. Se i coefficienti dell’equazione caratteristica di un sistema retroazionato sono tutti positivi, allora `e possibile affermare che il sistema retroazionato

A. `e stabile B. `e instabile

C. pu`o essere stabile D. pu`o essere instabile

9. Sul piano z i luoghi dei punti a coefficiente di smorzamento δ costante A. sono rette uscenti dall’origine

B. sono tratti di spirali verso l’origine C. sono circonferenze centrate nell’origine D. nessuna delle precedenti risposte

10. Sia X(z) la Z-trasformata della sequenza x(kT ). Il teorema del valore finale afferma che:

A. x(∞) = limz→0zX(z) B. x(∞) = limz→1zX(z)

C. x(∞) = limz→0(1 − z⁻¹)X(z) D. x(∞) = limz→1(1 − z⁻¹)X(z)

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L

3t³+ sin 2t
e^{−5 t} = X(s) = 18

(s + 5)⁴ + 2 (s + 5)²+ 4 12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1



5 + 20

(s + 3)(1 + 2 s)



= g(t) = 5 δ(t) + 4 e^{−0.5 t}− 4 e^{−3 t}

Infatti si ha:

G(s) = 5 + 10

(s + 0.5)(s + 3) = 5 + K1

(s + 0.5)+ K2

(s + 3) = 5 + 4

(s + 0.5)− 2 (s + 3)

13. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) mostrato in figura quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale x(t):

x(t) = 2 + cos(4t)_- G(s) s − 2 s + 3

-

y(t) ≃ −⁴₃+^√₅²⁰cos(4t + π − arctan 2 − arctan⁴₃)

Infatti si ha che G(0) = −²₃ e:

G(4j) = 4j − 2

4j + 3 ⇒ |G(4j)| =

√20

5 , arg[G(4j)] = π − arctan 2 − arctan4 3 14. Si consideri il sistema retroazionato riportato di fianco.

Scrivere la funzione K(s) che lega la variazione relativa del sistema H(s) alla variazione relativa del sistema retroa- zionato G₀(s) quando varia un parametro β interno alla funzione di trasferimento H(s):

∆G₀(s)

G₀(s) = K(s)∆H(s)

H(s) K(s) = −G(s)H(s)

1 + G(s)H(s)

- - G(s) ^-

H(s)  6

R(s) E(s) C(s)

15. Sia Y₁(X) sin(ω t + ϕ₁(X)) la fondamentale del segnale periodico y(t) presente all’uscita di una non li- nearit`a algebrica y(t) = f (x(t)) in risposta al segnale x(t) = X sin(ωt) in ingresso. Fornire la definizione di funzione descrittiva F (X):

F (X) = Y₁(X)

X e^jϕ1(X) .

16. Calcolare la Z-trasformata X(z) del seguente segnale tempo continuo x(t) quando t = k T :

x(t) = 3^−2t → X(z) = z

(z − 3^−2T)

17. Scrivere, in funzione dei segnali x(t) e y(t), l’equazione differenziale corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(s) = Y (s)

X(s) = s²+ 2

(s + 3)(s + 1)² → ...

y + 5 ¨y + 7 ˙y + 3 y = ¨x + 2 x

18. In figura `e mostrato il diagramma di Bode dei moduli di un sistema lineare G(s) a fase minima.

Determinare la posizione dei poli dominanti del sistema G(s):

p_1,2 ≃ −5 ± 8.66 j

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30

Diagramma dei moduli

Mag (db)

Frequency [rad/s]

19. A fianco `e riportato il luogo delle radici del sistema G(s) = _s[(s+4)^(s+5)_2+22] al variare di K > 0.

Calcolare l’ascissa σ₀ corrispondente alla condizione di allineamento dei tre poli:

σ0= −8

3 = −2.666

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Imag

Luogo delle radici

20. Sia dato il seguente sistema retroazionato. Scrivere il valore massimo K^∗ del guadagno K al di sotto del quale il sistema retroazionato ´e asintoticamente stabile.

- - K ^- G(s) e^−2s 3 s

- 6

r e x y

K^∗ = 3π 2t₀ = 3π

4 = 2.356

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _X^Y(s)_(s):

G₁(s) = AB +CB(1 + AD)

1+AD+BE +ABF +CBF +ADBE +ADCBF

-

X(s) Y(s)

- - -

X(s) Y(s)

- -

A

A BB

F F D

D EE

C C

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y₁(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 300(2 + 0.3s)(s²+ 15s + 40²)

(0.2s + 5)²(10s + 3)(s²+ 4s + 16)(s²+ 8s + 144) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y₁(t):

y_∞= 50

9 = 5.5555, Ta≃ _0.3³ = 10 s, Tω ≃6 ∃.

0 5 10 15 20 25 30

Time [s]

0 1 2 3 4 5 6

7 Risposta al gradino

y(t)

y_∞

Ta

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza M_α del sistema;

b) il margine di fase Mϕ del sistema;

c) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ= 45;

d) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα= 10;

I parametri richiesti hanno il seguente valore:

a) Mα= 1.818 b) Mϕ= 18.29^◦ c) Kϕ = 0.441 d) Kα= 0.182

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

4.7 5.6

6.8 8.2

1012 15 22 1/Mα

Mϕ

Kϕ

Kα

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s)

(100s²+ 2s + 1) s(s − 2)(s + 2)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

Soluzione.

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 +K(100s²+ 2s + 1)

s(s − 2)(s + 2) = 0 → s³+ 100Ks²+ (2K − 4)s + K = 0 La tabella di Routh ha la seguente struttura:

3 1 (2K − 4)

2 100K K

1 100K(2K − 4) − K

0 K

Dalla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli:

(200K − 401)K > 0, K > 0.

Ne segue che il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile per:

K > 401

200 = 2.005 = K^∗. La pulsazione ω^∗ corrispondente al valore limite K^∗ `e:

ω^∗=

r K^∗

100K^∗ =√

2K^∗− 4 = 0.1

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

Soluzione.

I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione G_d(s) sono mostrati in Fig. 1. I diagrammi di Bode

Diagramma asintotico dei moduli

0.1 -1

2o.

2 1

xX.

-1

-20.

0.

20.

40.

Diagramma a gradoni delle fasi

0.1 2o.

2 xX.

6.33 -270.

-180.

-90.

G₀(s)

G_∞(s) β

γ

ϕ_∞

ϕ₀

Figura 1: Diagrammi asintotici di Bode della funzione G_d(s).

delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G₀(s) e G_∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:

G₀(s) = − 1

4 s = −0.25 s = K₀

s , G_∞(s) = 100

s . Le corrispondenti fasi ϕ0 e ϕ_∞ hanno il seguente valore:

ϕ₀ = −3π

2 , ϕ_∞= −π

2.

Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω = 0.1 e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = 2 sono:

β = 0.25

0.1 = 2.5 ≃ 7.96 db, γ = 100

2 = 50 ≃ 33.98 db.

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ_adi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞] `e mostrato in Fig. 3. La fase

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ -20

0 20 40 60

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

Frequency [rad/s]

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

G₀(s) G_∞(s)

β

γ

ϕ_∞

ϕ₀

Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s).

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

Real -60

-40 -20 0 20 40 60

Imag

Diagramma di Nyquist

0.01

0.022

0.39

1

1.5 2.2 3.9

σa

Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞].

iniziale del sistema `e ϕ<sub>0</sub> = −<sup>3π</sup><sub>2</sub> . Per ω → 0<sup>+</sup> il diagramma parte in anticipo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema `e positiva:

∆τ = 2 + 0.5 − 0.5 = 2 > 0.

Il sistema ´e di tipo 1. La posizione dell’asintoto verticale ´e la seguente:

σa= K₀∆τ = −0.25 · 2 = −0.5

La variazione di fase ∆ϕ = π che il sistema subisce per ω ∈]0, ∞[ indica che il vettore G(jω) ruota di π in senso antiorario per raggiungere la fase finale ϕ_∞ = −^π₂. Esiste un’unica intersezione σ^∗₁ con il semiasse reale negativo. Tale intersezione si determina nel modo seguente:

σ₁^∗= − 1

K^∗ = − 1

2.005 = −200

401 = −0.4988 Il corrispondente valore di pulsazione `e: ω^∗₁ = 0.1. Essendo

∆p = −0.02 < 0

si pu´o affermare che la G(jω), per ω → ∞, arriva in ritardo rispetto alla fase finale ϕ∞= −^π₂. 27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = 150s(s + 2)

(s²+ 0.04s + 0.1²)(s − 30)².

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

Frequency [rad/s]

-90 Phase (deg) 0

Diagramma delle fasi

Soluzione:

La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) = 150s(s + 2)

(s²+ 0.04s + 0.1²)(s − 30)².

Il valore K = 150 si determina, per esempio, calcolando il modulo γ dell’approssimante G_∞(s) in corrispondenza della pulsazione ω = 30:

|G∞(s)|s=30 j=    

K s²    30 j

= K

900 = γ ≃ −15.5 db ≃ 0.1666 → K ≃ 150.

Il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati stabili `e il seguente:

δ = 1 2Mωn

= 1 5 = 0.2.

La distanza Mωn ≃ 8 db ≃ 2.5 di legge dal diagramma di Bode dei moduli.

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G₁(s) (s − 3)(s + 1) s²(s²+ 6 s + 81)

- 6

r(t) y(t)

tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K < 0 (K negativo!). Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K₁G₁(s) = 0 ↔ 1 + K (s − 3)(s + 1) s²(s²+ 6 s + 81) = 0

L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K < 0 `e mostrato in Fig. 4.

Il luogo delle radici `e caratterizzato da due asintoti coincidenti con il semiasse reale positivo e con il

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Real -10

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Imag

Luogo delle radici

Figura 4: Luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0.

semiasse reale negativo.

29. (Contorno delle radici) Sia data la seguente equazione caratteristica:

s³+ 2s²+ (2 + α)s + α = 0

Tracciare qualitativamente il contorno delle radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro α > 0. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione degli altri punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica pu´o essere riscritta nel seguente modo 1 + α G₂(s) = 0:

s³+ 2s²+ 2s + α(s + 1) = 0 → 1 + α (s + 1)

s(s²+ 2s + 2) = 0 Mettendo in evidenza i poli della funzione G₂(s) si ha:

1 + α (s + 1)

s[(s + 1)²+ 1²] = 0

Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 5.

-1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Real

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Imag

Luogo delle radici

σa

Figura 5: Contorno delle radici del sistema G₂(s) al variare del parametro α > 0.

Il contorno delle radici ha due asintoti verticali. Il centro dei due asintoti del sistema `e:

σa= 1

2(−2 + 1) = −0.5 30. (Rete correttrice: Nyquist)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema Ga(s) riportata a fianco.

Progettare una rete ritardatrice Ca(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s

in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di ampiezza M_α= 5. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Real -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

0.82 1

1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.3

3.9

4.7

5.6

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

Sol. La specifica sul margine di ampiezza M_α = 5 definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕB: MB = 0.2 e ϕB = 180^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 6. Il punto A = Ga(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA= 1.2:

MA= |G^a(jωA)| = 1.655, ϕA= arg[Ga(jωA)] = 201.28^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ₁ = 1.862 e τ₂= 16.86 della rete correttrice C(s):

M = MB

M_A = 0.121, ϕ = ϕ_B− ϕA= −21.28^◦ → Ca(s) = (1 + 1.862 s) (1 + 16.86 s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 6.

Sintesi della rete correttrice Ca(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 0.82 1 1.2 1.5 ]

M_A=[ 2.431 1.99 1.655 1.319 ] ϕA=[ −137 −147.3 −158.7 −175.9 ] M =[ 0.0822 0.1005 0.1209 0.1517 ] ϕ =[ −43.03 −32.72 −21.28 −4.12 ] τ1=[ 1.159 1.37 1.862 7.848 ] τ₂=[ 20.42 16.85 16.86 51.92 ] 31. (Rete correttrice: Nichols)

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

A

B

0.82 1

1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.3

3.9

4.7

6.8 5.6 8.2

10

12

15 18

0.22

0.27

0.33 0.39

0.470.560.68 11.52.74.7

Figura 6: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s) Ga(s).

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema Gb(s) riportata a fianco.

Progettare una rete anticipatrice Cb(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s

in modo da imporre al sistema com- pensato il passaggio per il punto B = (−160^◦, −10 db) del piano di Nichols.

Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

Mag [db]

0.82 1 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7

3.3

4.7

6.8

10

15

22

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Sol. La specifica B = (−160^◦, −10 db) implica: MB = −10 db = 0.316 e ϕB = −160^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 7.

Il punto A = G(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA= 15:

M_A= |G(jωA)| = 0.0053, ϕ_A= arg[G(jω_A)] = −202.24^◦.

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20

Mag [db]

A

B

0.82 1

1.2 1.5

1.8 2.2 2.7

3.3

4.7

6.8

10

15

22

2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 100 120 150 180 220 270

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Figura 7: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Gb(s) e Cb(s) Gb(s).

I valori di M e ϕ da usare nelle formule di inversione sono i seguenti:

M = M_B MA

= 59.55, ϕ = ϕ_B− ϕA= 42.24^◦ → C_b(s) = (1 + 5.832 s) (1 + 0.07173 s). I diagrammi di Nichols delle funzioni Gb(s) e Cb(s)Gb(s) sono mostrati in Fig. 7.

Sintesi della rete correttrice Cb(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ω_A=[ 4.7 6.8 10 15 22 ]

MA=[ 0.0995 0.0372 0.0139 0.0053 0.0022 ] ϕA=[ 151.2 149.3 152.1 157.8 163.4 ] M =[ 3.173 8.484 22.68 59.55 139.7 ] ϕ =[ 48.79 50.69 47.87 42.25 36.64 ] τ₁=[ 0.7111 1.492 2.968 5.832 10.58 ] τ₂=[ 0.0971 0.0980 0.0845 0.0717 0.0605 ] 32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- - G1(s)

5 K s

-N.L. ^- G2(s)

5 s + 2

-

2  s + 3

H(s) 6

r e x y

- 6

4 8

−4

−8

x 45

2

−2

−4−5 y

Posto K = 1, determinare per quale valore r₁del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazionato coincide con il punto (x₁, y₁) = (8, 5).

Soluzione. Il guadagno statico del sistema G₁(s) `e infinito, per cui la retta di carico `e orizzontale:

y = r

K₂K₃ = 3 r

5 dove K₂ = 5

2, K₃ = 2 3. Il valore r1 si ottiene ponendo y = 5 nella retta di carico:

5 = 3 r₁

5 → r₁= 25

3 = 8.333.

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (8, 5).

Soluzione. Per r = r1 il punto di lavoro coincide con il punto (x1, y1) = (8, 5). Le pendenze delle 2 rette che passano nel punto di lavoro e che racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono:

α = 0.25, β = 7

8 = 0.875.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei seguenti due punti:

−1

α = − 1

0.25 = −4 − 1

β = −8

7 = −1.143.

Per K = 1, il guadagno d’anello del sistema `e:

G(s) = G₁(s) G₂(s) H(s) = 50 s(s + 2)(s + 3)

Il margine di ampiezza K^∗ e la pulsazione ω^∗ della funzione G(s) sono i seguenti:

K^∗ = 2 · 3(2 + 3)

50 = 0.6, ω^∗ =√

2 · 3 =√

6 = 2.45.

Essendo K^∗< β, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca il cerchio critico per cui, in base al criterio del cerchio, non ´e possibile affermare nulla sulla globalmente stabilit´a o meno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (8, 5). In Fig. 8 `e mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrit- tiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m₁, m₂, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

y(x)

Funzione non lineare y(x)

r.c. α

β

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Imag

Diagramma di Nyquist

1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.3 3.94.76.8

Figura 8: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico.

0 4 8 12 16 20 24

X 0

0.5 1 1.5 2

F(X)

Funzione descrittiva

m1

m2

m3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

Diagramma di Nyquist

1.2 1.5

1.8 2.2

2.7

a) b)

c) d)

−F(X)¹

Figura 9: Andamento della funzione descrittiva F (X).

della funzione F (X).

Soluzione. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 9. Nella figura si ´e indicato con m₀ = ∞ il valore iniziale della funzione F (X) per X = 0⁺, con m₁ = _π² = 0.6368 il minimo locale per X = 4, con m2≃ 0.84 il massimo locale per X ≃ 4.78 e con m⁴ = 0.25 il valore finale della funzione F (X) per X → ∞.

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei para- metri m1, m2, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza ¯K^∗ del sistema G(s) `e ¯K<sup>∗</sup> = 0.6. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K<sup>∗</sup> del sistema K G(s) `e K^∗ = ^K¯_K^∗ = ^0.6_K. Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni di funzionamento:

a) Per K^∗ > m₂, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione −1/F (X) in un punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

b) Per m₁ < K^∗ < m₂, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione −1/F (X) in 3 punti a cui corrispondono 3 cicli limite, due stabili (quelli uscenti) e uno instabile (quello entrante).

c) Per m₃ < K^∗ < m₁ il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

d) Per K^∗ < m₃ la funzione −1/F (X) `e tutta interna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato `e instabile.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri, discretizzare la seguente rete correttrice:

D(s) = M (s)

E(s) = (s + 1) (s + 3)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1 e si imponga l’uguaglianza dei guadagni alle basse frequenze.

Sol. Utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri si ottiene:

D(z) = K (1 − e^−Tz⁻¹) (1 − e^−3Tz⁻¹)

Il valore di K si determina imponendo l’uguaglianza dei guadagni alle basse frequenze:

s→0limD(s) = lim

z→1D(z) → 1

3 = K (1 − e^−T)

(1 − e^−3T) → K = (1 − e^−3T)

3(1 − e^−T) = 0.9079 Sostituendo in D(z) si ottiene:

D(z) = M (z)

E(z) = 0.90791 − 0.9048z⁻¹

1 − 0.7408z⁻¹ = 0.9079 − 0.8215z⁻¹ 1 − 0.7408z⁻¹ La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

mk= 0.7408 m_k−1+ 0.9079 ek− 0.8215 ek−1. 37. (Esercizio opzionale 37).