Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Giugno 2020

Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Giugno 2020

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. L’equazione differenziale ¨y + 2 t ˙y + 3 y = x, dove x `e l’ingresso, y `e l’uscita e t `e la variabile tempo, `e:

A. lineare B. non lineare C. stazionaria D. non stazionaria

2. Se in un sistema del 2^◦ ordine varia la distanza del poli dall’origine (a parit`a di direzione), allora variano anche i seguenti parametri del sistema:

A. picco di risonanza M_R B. larghezza di banda ωf

C. tempo di assestamento Ta

D. coefficiente di smorzamento δ

3. Un sistema del secondo ordine privo di zeri e caratterizzato da una coppia di poli complessi coniugati con coefficiente di smorzamento nullo (δ = 0):

A. ha un guadagno statico finito

B. ha un picco di risonanza unitario MR= 1 C. ha un picco di risonanza infinito MR→ ∞ D. ha una massima sovraelongazione S = 100 %

4. Sia dato il diagramma di Nyquist, mostrato in figura, di una funzione G(s) con 1 polo nell’origine e tutti gli altri poli a parte reale negativa.

Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile affermare che il sistema retroazionato K G(s) `e stabile per i seguenti valori di K:

A. K < 0 e |K| sufficientemente grande;

B. K < 0 e |K| sufficientemente piccolo;

C. K > 0 e |K| sufficientemente piccolo;

D. K > 0 e |K| sufficientemente grande;

ω = 0⁻

- 6

q 0 q -1

ω = 0⁺ Im

Re

5. Il sistema G(s), supposto a fase minima e privo di zeri, ha un diagramma di Bode delle ampiezze che interseca l’asse a guadagno unitario nel punto centrale di un tratto a pendenza −2. Una stima del margine di fase Mϕ del sistema `e la seguente

A. Mϕ≃ ^π₄ B. Mϕ≃ 0

C. M_ϕ≃ −^π₄ D. Mϕ≃ −^π₂ 6. Un sistema di tipo 2

A. ha due poli nell’origine B. ha due zeri nell’origine

C. ha un errore a regime nullo nella risposta al gradino D. ha un errore a regime nullo nella risposta alla rampa 7. L’uso di un regolatore standard di tipo PI `e consigliato:

A. Se si desidera amplificare alle basse frequenze

B. Se si desidera introdurre un ritardo di fase alle alte frequenze C. Se si desidera introdurre un anticipo di fase alle basse frequenze

D. Se si desidera avere errore a regime nullo per ingresso a gradino

8. Un sistema in retroazione negativa, avente G(s) sul ramo diretto, H(s) sul ramo di retroazione ed avente un elevato guadagno di anello, risulta poco sensibile

A. alle variazioni parametriche di G(s) B. alle variazioni parametriche di H(s)

C. ai disturbi a gradino agenti sul sistema D. ai disturbi sinusoidali ad alta frequenza

9. Per poter applicare il criterio del cerchio, la caratteristica non lineare y(x) deve:

A. passare per l’origine B. essere ad un sol valore

C. essere simmetrica rispetto all’origine

D. essere contenuta nel I e nel III quadrante

10. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) ha la risposta impulsiva g(k) che tende a zero pi`u lentamente:

A. G(z) = _z(z−0.3)¹ ₂ B. G(z) = _(z2 ¹

−0.7²)

C. G(z) = _z2(z+0.9)¹ D. G(z) = (z−2)(z+0.9)¹

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L[2 t³+ 5 e^{−7 t}cos(3 t)] = X(s) = 12

s⁴ + 5 (s + 7) (s + 7)²+ 3²

12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1

 2

s²(1 + 2 s)



= g(t) = 2 t − 4 + 4 e^{−0.5 t} Infatti si ha:

G(s) = 1

s²(s + 0.5) = 2 s² −4

s+ 4

(s + 0.5) → g(t) = 2 t − 4 + 4 e^{−0.5 t}.

13. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) mostrato in figura quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale x(t):

x(t) = 3 + 4 sin(5 t)_- G(s)

s

s + 2 ^-

y(t) ≃ ^√20₂₉sin(5 t +^π₂ − arctan⁵₂)

Infatti si ha che:

G(j5) = 5j

2 + 5j ⇒ |G(j5)| = 5

√29, arg[G(j5)] = π

2 − arctan5 2

14. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s):

G(s) = (4 s − 5)

s(s + 3)² e^{−2 s} → M (ω) =

√25 + 16ω² ω(ω²+ 9)

15. Sia x(t) = 4 cos(3 t) un segnale periodico posto in ingresso ad un elemento non lineare N.L. caratterizzato da una funzione descrittiva F (X) = _{π X}² . Indicare qual `e l’andamento temporale della fondamentale y₁(t) del segnale periodico che a regime si ha all’uscita del blocco non lineare:

-

N.L.

F (X) = 2 π X

x(t) = 4 cos(3 t) -y₁(t) = 2

π cos(3 t)

Infatti si ha che:

y₁(t) = X |F (X)| cos(3 t + arg F (X)) = 4 |F (4)| cos(3 t + arg F (4)) = 2

π cos(3 t)

16. Scrivere la funzione di trasferimento discreta G(z) = _X(z)^Y(z) corrispondente alla seguente equazione alle differenze:

y_n+3+ 5 y_n+2+ 3 y_n+1+ 4 yn = 2 x_n+2+ x_n+1+ 7 xn → G(z) = 2 z²+ z + 7 z³+ 5 z²+ 3 z + 4

17. Scrivere la funzione di trasferimento H₀(s) del ricostruttore di ordine 0:

H₀(s) = 1 − e^−sT s

18. Sia X(z) = Z[x(k)] la Z-trasformata della successione x(k). Per n = 1, 2, . . ., enunciare il teorema della traslazione nel tempo in anticipo:

Z[x(t + nT )] = zⁿ

"

X(z) −

n−1

X

k=0

x(kT )z^−k

#

19. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = 3:

y(n + 1) − 0.4 y(n) = 0 → y(n) = 3 (0.4)ⁿ.

Infatti si ha:

Z[y(n + 1) − 0.4 y(n)] = z [Y (z) − 3] − 0.4 Y (z) = 0 → Y (z) = 3 z z − 0.4

20. La funzione discreta D(z) riportata sotto `e stata ottenuta dalla funzione D(s) utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri. Calcolare il parametro k imponendo l’uguaglianza dei guadagni alle alte frequenze:

D(s) = s

s + 2 → D(z) = k z − 1

z − e^−2T → k = 1 + e^−2T

2

Infatti si ha:

s→∞lim G(s) = lim

z→−1G(z) → 1 = k −1 − 1

−1 − e^−2T → k = 1 + e^−2T 2

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _X^Y(s)_(s):

G₁(s) = BC + AC(1+BD)

1+BD+CE +BCF +BDCE

-

X(s) Y(s)

- - -

X(s) Y(s)

- -

B

B CC

D D A A

F F

E E

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 300(3 + 0.2s)(s²+ 8s + 30²)

(2s + 20)(3s + 15)²(s²+ 12s + 144)(s²+ 0.4s + 9) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y₁(t);

c) il periodo T_ω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y_∞= 5

36 = 0.138, Ta≃ _0.2³ = 15 s, Tω ≃ ^π₃ = 2.1.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Time [s]

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.25 Risposta al gradino

y(t) y_∞

Ta

T_ω

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza Mα del sistema;

b) il margine di fase M_ϕ del sistema;

c) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ= 45;

d) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα= 5;

I parametri richiesti hanno il seguente valore:

a) Mα= −7.9 db = 0.4 b) M_ϕ= −25.1^◦

c) K_ϕ = −16.98 db = 0.14 d) Kα= −21.94 db = 0.08

-250 -240 -230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-30 -20 -10 0 10 20

Mag [db]

Diagramma di Nichols _0.82

1 1.2

1.5 1.8 2.2 2.7

3.3 3.9

4.7 5.6

6.8

8.2

Mα

M_ϕ

Kϕ

Kα

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + 2)²

s(s − 2)(s²+ 6 s + 64)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

Soluzione.

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K(s + 2)²

s(s − 2)(s²+ 6 s + 64) = 0 → s(s − 2)(s²+ 6 s + 64) + K(s + 2)² = 0 s⁴+ 4 s³+ (K + 52)s²+ (4K − 128)s + 4K = 0

La tabella di Routh ha la seguente struttura:

4 1 (K + 52) 4K

3 4 (4K − 128)

2 336 16 K

1 336(4K − 128) − 64K

0 16 K

Dalle ultime due righe dellla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli:

1280 K − 43008 > 0, K > 0.

Ne segue che il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile per:

K > 43008

1280 = 33.6 = K^∗. La pulsazione ω^∗ corrispondente al valore limite K^∗ `e:

ω^∗ =r 16 K^∗

336 = 1.2649

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

Soluzione.

I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione G_d(s) sono mostrati in Fig. 1. I diagrammi di Bode

Diagramma asintotico dei moduli

2 -1

X2o.

8 0

2x.

-2

-80.

-60.

-40.

-20.

Diagramma a gradoni delle fasi

2 X2o.

8 2x.

-270.

-180.

-90.

0.

β γ

ϕ_∞ ϕ₀

Figura 1: Diagrammi asintotici di Bode della funzione Gd(s).

delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G₀(s) e G_∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:

G₀(s) = − 1

32 s = −0.03125

s , G_∞(s) = 1

s². Le corrispondenti fasi ϕ0 e ϕ_∞ hanno il seguente valore:

ϕ₀= −3π

2 , ϕ_∞= −π.

Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω = 2 e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = 8 sono:

β = 1

64 ≃ −36.12 db, γ = 1

64 ≃ −36.12 db.

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ_adi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞] `e mostrato in Fig. 3. La fase

10^-1 10⁰ 10¹ 10² -80

-60 -40 -20 0

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-1 10⁰ 10¹ 10²

Frequency [rad/s]

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

G₀(s)

G_∞(s)

β γ

ϕ_∞

ϕ0

Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s).

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 Real

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Imag

Diagramma di Nyquist

0.22

0.27

0.33 0.39

0.47 0.56

0.68 0.82

1 1.2

1.51.8

2.2 2.73.33.9 8.26.8

1012 15 Sa

Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞].

iniziale del sistema `e ϕ<sub>0</sub> = −<sup>3π</sup><sub>2</sub> . Per ω → 0<sup>+</sup> il diagramma parte in anticipo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema `e positiva:

∆τ = 0.5 + 0.5 + 0.5 − 6

64 = 1.4063 > 0.

Il sistema ´e di tipo 1. La posizione dell’asintoto verticale ´e la seguente:

σa= −∆τ

32 = −1.4063

32 = −0.0439

La variazione di fase ∆ϕ = ^π₂ che il sistema subisce per ω ∈]0, ∞[ indica che il vettore G(jω) ruota di ^π₂ in senso antiorario per raggiungere la fase finale ϕ_∞ = −π. Esiste quindi un’unica intersezione σ^∗1 con il semiasse reale negativo. Tale intersezione si determina nel modo seguente:

σ₁^∗ = − 1

K^∗ = − 1

33.6 −→ σ^∗₁ = −0.0298.

Il corrispondente valore di pulsazione `e: ω^∗₁ = 1.2649. Essendo

∆p = −4 − 2 + 6 = 0 per ω → ∞ non si pu´o dire nella rispetto alla fase finale ϕ∞= −π.

27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = 200(s − 0.3)(s + 9)² s(s − 2)(s²+ 40s + 200²).

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-40 -30 -20 -10 0 10 20

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

Soluzione:

La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) = 200(s − 0.3)(s + 9)² s(s − 2)(s²+ 40s + 200²).

Il valore K = 200 si determina, per esempio, calcolando il modulo γ dell’approssimante G_∞(s) in corrispondenza della pulsazione ω = 200:

|G∞(s)|s=200 j =    

K s    200 j

= K

200 = γ ≃ 0 db ≃ 1 → K ≃ 200.

Il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati stabili `e il seguente:

δ = 1 2M_ωn

= 1

10 = 0.1.

La distanza M_ωn ≃ 14 db = 5 di legge dal diagramma di Bode dei moduli.

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G1(s) (s + 6)² s(α s + 3)(s − 3)

- 6

r(t) y(t)

Posto α = 1, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. Posto α = 1, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K₁G₁(s) = 0 ↔ 1 + K (s + 6)²

s(s + 3)(s − 3) = 0

L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0 `e mostrato in Fig. 4.

Il luogo delle radici `e caratterizzato da un solo asintoto coincidente con il semiasse reale negativo.

29. (Contorno delle radici) Posto K = 12 nel sistema retroazionato sopra definito, vedi (28), tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α > 0. Nella graficazione si tenga conto del fatto che nel contorno delle radici sono presenti i seguenti due punti di diramazione: p₁ ≃ −11.58 e p2 ≃ −8.22. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione degli altri punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. Posto K = 8, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e la seguente:

1 + 12(s + 6)²

s(αs + 3)(s − 3) = 0 → s(αs + 3)(s − 3) + 12(s + 6)² = 0 da cui si ricava la seguente equazione caratteristica 1 + α G₂(s) = 0:

3s(s − 3) + 12(s + 6)²+ αs²(s − 3) = 0 → 1 + αs²(s − 3)

15s²+ 135s + 432 = 0 Mettendo in evidenza i poli della funzione G₂(s) si ottiene:

1 + α G₂(s) = 0 ↔ 1 + αs²(s − 3)

15[(s + 4.5)²+ 2.92²] = 0 Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 5.

Il contorno delle radici ha un solo asintoto coincidente con il semiasse reale negativo e percorso dall’in- finito al finito.

-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 Real

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Imag

Luogo delle radici

Figura 4: Luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0.

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Real -12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Imag

Luogo delle radici

Figura 5: Contorno delle radici del sistema G2(s) al variare del parametro α > 0.

30. (Rete correttrice: Nyquist)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema Ga(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice Ca(s) = 1 + τ1s

1 + τ₂s

in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di ampiezza Mϕ = 60^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

0.56

0.68 0.82 1 1.21.51.82.23.3 6.8

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

Sol. La specifica sul margine di fase Mϕ = 60^o definisce completamente la posizione del punto B = M_Be^jϕB: M_B = 1 e ϕ_B = 240^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 6. Il punto A = Ga(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA= 1.5:

MA= |G(jω^A)| = 0.45, ϕA= arg[G(jωA)] = 186.2^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ω_A all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 1.346 e τ2= 0.1158 della rete correttrice Ca(s):

M = MB

MA

= 2.22, ϕ = ϕB− ϕ^A= 53.78^◦ → Ca(s) = (1 + 1.346 s) (1 + 0.1158 s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 6.

Sintesi della rete correttrice Ca(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 1.5 1.8 2.2 ]

MA=[ 0.4506 0.3388 0.245 ] ϕ_A=[ −173.8 −178.5 174.3 ] M =[ 2.219 2.952 4.081 ] ϕ =[ 53.79 58.45 −294.3 ] τ₁ =[ 1.346 1.583 1.83 ] τ₂ =[ 0.1158 0.1202 0.0830 ] 31. (Rete correttrice: Nichols)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

A

B

0.56

0.68 0.82 1 1.2 1.51.82.23.3

0.56

0.68 0.82

1 1.2

1.5 1.8 2.2 2.7 3.3

Figura 6: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s) Ga(s).

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema Gb(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice Cb(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s

in modo da garantire al sistema com- pensato margine di ampiezza Mα = 10.

Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-240 -220 -200 -180 -160 -140 -120

Phase [degrees]

-30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

2.7 3.93.3 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12

15 18 22

27

33

Sistema G_b(s): diagramma di Nichols

Sol. La specifica sul margine di ampiezza Mα = 10 definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕB: MB = 0.1 = −20 db e ϕ^B = −180^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 7.

Il punto A = G(jωA) che deve essere portato in B `e quello assegnato corrispondente alla pulsazione ωA= 6.8:

MA= |G(jω^A)| = 3.467, ϕA= arg[G(jωA)] = −164.15^◦.

-240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 Phase [degrees]

-30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

A

B

2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12

15 18 22 27 33

0.27 0.33 0.39 0.47 0.56 0.68

0.82 1

1.2 1.5

1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Figura 7: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Gb(s) e Cb(s) Gb(s).

I valori di M e ϕ da usare nelle formule di inversione sono i seguenti:

M = MB

M_A′

= 0.0288, ϕ = ϕB− ϕ^A′ = −15.85^◦ → Cb(s) = (1 + 0.5023 s) (1 + 18.15 s). I diagrammi di Nichols delle funzioni G_b(s) e C_b(s)G_b(s) sono mostrati in Fig. 7.

Sintesi della rete correttrice Cb(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 8.2 6.8 5.6 4.7 3.9 3.3 2.7 ]

MA=[ 2.468 3.467 4.768 6.192 7.995 9.893 12.58 ] ϕ_A=[ −174.7 −164.1 −153.8 −145.1 −136.9 −130.3 −123.4 ] M =[ 0.0405 0.0288 0.0209 0.0161 0.0125 0.0101 0.0079 ] ϕ =[ −5.326 −15.85 −26.22 −34.85 −43.14 −49.73 −56.6 ] τ₁ =[ 1.255 0.5023 0.3541 0.2995 0.2689 0.2527 0.2407 ] τ2 =[ 31.12 18.15 18.91 22.75 29.71 39.04 55.59 ] 32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G1(s) K s(s + 3)

- N.L. ^-

3  (s + 5)

H(s) 6

r e x y

- 6

6 8 16 x

−6

−8

−16 3

15 13 y

−3

−13−15

Posto K = 1, determinare per quale valore r1del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazionato coincide con il punto (x₁, y₁) = (6, 3).

Soluzione. Il guadagno statico del sistema G1(s) `e infinito, per cui la retta di carico `e orizzontale:

y = r K2K3

= 5 r

3 dove K₂ = 1, K₃ = 3

5 Il valore r₁ si ottiene ponendo y = 3 nella retta di carico:

3 = 5 r₁

3 → r₁ = 9

5 = 1.8.

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r₁ ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (6, 3).

Soluzione. Per r = r₁ il punto di lavoro coincide con il punto (x₁, y₁) = (6, 3). Le pendenze delle 2 rette che passano nel punto di lavoro e che racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono:

α = 0.25, β = 5.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei seguenti due punti:

−1

α = − 1

0.25 = −4 − 1

β = −1

5 = −0.2.

Per K = 1, il guadagno d’anello del sistema `e:

G(s) = G₁(s) H(s) = 3 s(s + 5)(s + 3)

Il margine di ampiezza K^∗ e la pulsazione ω^∗ della funzione G(s) sono i seguenti:

K^∗ = 3 · 5(3 + 5)

3 = 40, ω^∗ =√

3 · 5 =√

15 = 3.873.

Essendo K^∗ >> β, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) non interseca il cerchio critico per cui

´e possibile affermare, in base al criterio del cerchio, che il punto di lavoro (x₁, y₁) = (6, 3) `e globalmente asintoticamente stabile. In Fig. 8 `e mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

y(x)

Funzione non lineare y(x)

r.c. α

β

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Real -0.3

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Imag

Diagramma di Nyquist

0.56 0.68 0.82 1 1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.96.8

Figura 8: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

X 0

0.5 1 1.5 2

F(X)

Funzione descrittiva

m0

m1

m3

-6 -4 -2 0

Real -3

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Imag

Diagramma di Nyquist

0.1 0.12 0.15 0.18 0.22 0.33 0.47 0.82 2.2

b) a) c)

Figura 9: Andamento della funzione descrittiva F (X).

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrit- tiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m1, m2, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

Soluzione. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 9. Nella figura si ´e indicato con m₀ = 0.5 il valore iniziale della funzione F (X) per X < 6, con m₁ il valore massimo della funzione F (X) e con m2 = 0.25 il valore finale della funzione F (X) per X → ∞.

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei para- metri m1, m2, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza ¯K^∗ del sistema G(s) `e ¯K<sup>∗</sup>= 40. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K<sup>∗</sup> del sistema K G(s) `e K^∗ = ^K¯_K^∗. Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni di funzionamento:

a) Per K^∗ > m₁, la funzione −1/F (X) `e tutta esterna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e l’origine `e un punto di lavoro globalmente asintoticamente stabile.

b) Per m₀ < K^∗ < m₁, il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione −1/F (X) in 2 punti a cui corrispondono 2 cicli limite, uno stabile (quello uscente) e uno instabile (quello entrante).

c) Per m₀< K^∗ < m₃ il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

d) Per K^∗ < m3 la funzione −1/F (X) `e tutta interna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato `e instabile.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro, discretizzare la seguente rete correttrice

D(s) = M (s)

E(s) = (s + 2) s(s + 1)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.2.

Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro si ottiene:

D(z) = (s + 2) s(s + 1)

s=^1−z−1T

= T (1 − z⁻¹+ 2 T ) (1 − z⁻¹)(1 − z⁻¹+ T ) Per T = 0.2 si ha:

D(z) = M (z)

E(z) = 0.2(1.4 − z⁻¹)

(1 − z⁻¹)(1.2 − z⁻¹) = 0.28 − 0.2 z⁻¹ 1.2 − 2.2 z⁻¹+ z⁻² La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

m(k) = 1

1.2[2.2 m(k − 1) − m(k − 2) + 0.28 e(k) − 0.2 e(k − 1)]

cio`e:

m(k) = 1.8333 m(k − 1) − 0.8333 m(k − 2) + 0.2333 e(k) − 0.1667 e(k − 1)]

37. (Esercizio opzionale 37).