Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Giugno 2020

Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Giugno 2020

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. L’equazione differenziale ¨y+ 2 t ˙y + 3 y = x, dove x `e l’ingresso, y `e l’uscita e t `e la variabile tempo, `e:

A. lineare B. non lineare C. stazionaria D. non stazionaria

2. Se in un sistema del 2^◦ ordine varia la distanza del poli dall’origine (a parit`a di direzione), allora variano anche i seguenti parametri del sistema:

A. picco di risonanza M_R B. larghezza di banda ωf

C. tempo di assestamento Ta

D. coefficiente di smorzamento δ

3. Un sistema del secondo ordine privo di zeri e caratterizzato da una coppia di poli complessi coniugati con coefficiente di smorzamento nullo (δ = 0):

A. ha un guadagno statico finito

B. ha un picco di risonanza unitario MR= 1 C. ha un picco di risonanza infinito MR→ ∞ D. ha una massima sovraelongazione S = 100 %

4. Sia dato il diagramma di Nyquist, mostrato in figura, di una funzione G(s) con 1 polo nell’origine e tutti gli altri poli a parte reale negativa.

Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile affermare che il sistema retroazionato K G(s) `e stabile per i seguenti valori di K:

A. K < 0 e |K| sufficientemente grande;

B. K < 0 e |K| sufficientemente piccolo;

C. K > 0 e |K| sufficientemente piccolo;

D. K > 0 e |K| sufficientemente grande;

- 6

q 0 q -1

ω= 0⁺ Im

Re

5. Il sistema G(s), supposto a fase minima e privo di zeri, ha un diagramma di Bode delle ampiezze che interseca l’asse a guadagno unitario nel punto centrale di un tratto a pendenza −2. Una stima del margine di fase Mϕ del sistema `e la seguente

A. Mϕ≃ ^π₄ B. Mϕ≃ 0 C. M_ϕ≃ −^π₄ D. Mϕ≃ −^π₂ 6. Un sistema di tipo 2

A. ha due poli nell’origine B. ha due zeri nell’origine

C. ha un errore a regime nullo nella risposta al gradino D. ha un errore a regime nullo nella risposta alla rampa 7. L’uso di un regolatore standard di tipo PI `e consigliato:

A. Se si desidera amplificare alle basse frequenze

B. Se si desidera introdurre un ritardo di fase alle alte frequenze C. Se si desidera introdurre un anticipo di fase alle basse frequenze D. Se si desidera avere errore a regime nullo per ingresso a gradino

8. Un sistema in retroazione negativa, avente G(s) sul ramo diretto, H(s) sul ramo di retroazione ed avente un elevato guadagno di anello, risulta poco sensibile

A. alle variazioni parametriche di G(s) B. alle variazioni parametriche di H(s) C. ai disturbi a gradino agenti sul sistema D. ai disturbi sinusoidali ad alta frequenza

9. Per poter applicare il criterio del cerchio, la caratteristica non lineare y(x) deve:

A. passare per l’origine B. essere ad un sol valore

C. essere simmetrica rispetto all’origine D. essere contenuta nel I e nel III quadrante

10. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) ha la risposta impulsiva g(k) che tende a zero pi`u lentamente:

A. G(z) = _z(z−0.3)¹ ₂ B. G(z) = _(z2−¹_0.72) C. G(z) = _z2(z+0.9)¹ D. G(z) = (z−2)(z+0.9)¹

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L[2 t³+ 5 e^{−7 t}cos(3 t)] = . . .

12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1

 2

s²(1 + 2 s)



= . . .

13. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) mostrato in figura quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale x(t):

x(t) = 3 + 4 sin(5 t)_- G(s)

s

s+ 2 ^-

y(t) ≃ . . .

14. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s):

G(s) = (4 s − 5)

s(s + 3)² e^{−2 s} → M(ω) = . . .

15. Sia x(t) = 4 cos(3 t) un segnale periodico posto in ingresso ad un elemento non lineare N.L. caratterizzato da una funzione descrittiva F (X) = _{π X}² . Indicare qual `e l’andamento temporale della fondamentale y₁(t) del segnale periodico che a regime si ha all’uscita del blocco non lineare:

-

N.L.

F(X) = 2 π X

x(t) = 4 cos(3 t) -y₁(t) = . . .

16. Scrivere la funzione di trasferimento discreta G(z) = _X(z)^Y(z) corrispondente alla seguente equazione alle differenze:

y_n+3+5 y_n+2+3 y_n+1+4 y_n= 2 x_n+2+x_n+1+7 x_n → G(z) = . . . 17. Scrivere la funzione di trasferimento H₀(s) del ricostruttore di ordine 0:

H₀(s) = . . .

18. Sia X(z) = Z[x(k)] la Z-trasformata della successione x(k). Per n = 1, 2, . . ., enunciare il teorema della traslazione nel tempo in anticipo:

Z[x(t + nT )] = . . .

19. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = 3:

y(n + 1) − 0.4 y(n) = 0 → y(n) = . . .

20. La funzione discreta D(z) riportata sotto `e stata ottenuta dalla funzione D(s) utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri. Calcolare il parametro k imponendo l’uguaglianza dei guadagni alle alte frequenze:

D(s) = s

s+ 2 → D(z) = k z− 1

z− e^−2T → k= . . .

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _X^Y(s)_(s):

G₁(s) = . . .

-

X(s) Y(s)

- - -

X(s) Y(s)

- -

B

B CC

D D A A

F F

E E

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 300(3 + 0.2s)(s²+ 8s + 30²)

(2s + 20)(3s + 15)²(s²+ 12s + 144)(s²+ 0.4s + 9)

Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y∞della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento T_a della risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y₁(t):

y∞= Ta≃ Tω ≃

t y1(t)

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza M_α del sistema;

b) il margine di fase Mϕ del sistema;

c) il guadagno K_ϕ per cui il sistema K_ϕG(s) ha un margine di fase M_ϕ= 45;

d) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα= 5;

a) Ma=. . . . b) M_ϕ= . . . . c) K_ϕ = . . . . d) K_α= . . . .

-250 -240 -230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-30 -20 -10 0 10 20

Mag [db]

Diagramma di Nichols 0.82 1 1.2

1.5

1.8

2.2

2.7

3.3

3.9

4.7

5.6

6.8

8.2

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + 2)²

s(s − 2)(s²+ 6 s + 64)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ_adi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = . . .

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-40 -30 -20 -10 0 10 20

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G₁(s) (s + 6)² s(α s + 3)(s − 3)

- 6

r(t) y(t)

Posto α = 1, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

29. (Contorno delle radici) Posto K = 12 nel sistema retroazionato sopra definito, vedi (28), tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α > 0. Nella graficazione si tenga conto del fatto che nel contorno delle radici sono presenti i seguenti due punti di diramazione: p₁ ≃ −11.58 e p₂ ≃ −8.22. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione degli altri punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

30. (Rete correttrice: Nyquist)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema G_a(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice C_a(s) = 1 + τ₁s

1 + τ2s

in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di ampiezza Mϕ = 60^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

0.56

0.68 0.82 1 1.21.51.82.23.3 6.8

Sistema G_a(s): diagramma di Nyquist

31. (Rete correttrice: Nichols)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema G_b(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice C_b(s) = 1 + τ₁s

1 + τ2s

in modo da garantire al sistema com- pensato margine di ampiezza Mα = 10.

Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

2.7 3.93.3 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12

15 18 22 27

33

Sistema G_b(s): diagramma di Nichols

32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G₁(s) K

s(s + 3) ^- N.L. ^-

3  (s + 5)

H(s) 6

r e x y

- 6

6 8 16 x

−6

−8

−16 3

15 13 y

−3

−13

−15

Posto K = 1, determinare per quale valore r1 del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazio- nato coincide con il punto (x₁, y₁) = (6, 3).

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (6, 3).

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrit- tiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m₁, m₂, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei parame- tri m₁, m₂, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro, discretizzare la seguente rete correttrice

D(s) = M(s)

E(s) = (s + 2) s(s + 1)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.2.

37. (Esercizio opzionale 37).