x log x x, le soluzioni dell’equazione di↵erenziale saranno date implicitamente da y2(x

Risoluzione

1. L’equazione di↵erenziale y⁰= ^{log x}_2y `e equazione a variabili separabili del tipo y⁰ = a(x)b(y) con a(x) = log x e b(y) = _2y¹. Tale equazione non ammette soluzioni singolari e dunque tutte e sole le soluzioni saranno date (implicitamente) dalla formula

B(y) = A(x) + c, c2 R

essendo B(y) una primitiva di _b(y)¹ = 2y e A(x) una primitiva di a(x) = log x. Scegliamo B(y) = y² e A(x) = x log x x, le soluzioni dell’equazione di↵erenziale saranno date implicitamente da

y²(x) = x log x x + c, c2 R () |y(x)| =p

x log x x + c, c2 R.

Le soluzioni positive saranno date da

y(x) =p

x log x x + c, c2 R mentre quelle negative da

y(x) = p

x log x x + c, c2 R.

2. L’equazione di↵erenziale y⁰= y³log x `e equazione a variabili separabili del tipo y⁰ = a(x)b(y) con a(x) = log x e b(y) = y³. Tale equazione ammette come soluzione singolare la funzione y0(x) = 0 per ogni x2 R.

Le soluzioni non nulle dell’equazione saranno invece date (implicitamente) dalla formula B(y) = A(x) + c, c2 R

dove B(y) `e una primitiva di _b(y)¹ = _y¹3 e A(x) una primitiva di a(x) = log x. Scegliamo B(y) = _2y¹2 e A(x) = x log x x, le soluzioni non nulle dell’equazione di↵erenziale sono date implicitamente da

1

2y²(x) = x log x x + c, c2 R , |y(x)| = ^p₂^px x log x+c¹ , c2 R.

Le soluzioni positive sono

y(x) = p ¹ 2p

x x log x+c, c2 R, quelle negative sono

y(x) = ^p₂p ¹

x x log x+c, c2 R.

3. L’equazione y⁰= _1+x^xy2+ x²`e equazione di↵erenziale lineare del primo ordine non omogenea, cio`e del tipo y⁰ = a(x)y + b(x) con a(x) =_1+x^x2 e b(x) = x². L’integrale generale sar`a allora della forma

y(x) = e^A(x)( Z

b(x)e ^A(x)dx + c), c2 R,

dove A(x) `e una primitiva di a(x). Scegliamo come primitiva di a(x) = _1+x^x2 la funzione A(x) = ¹₂log(1 + x²) = logp

1 + x². L’integrale generale dell’equazione data sar`a allora y(x) = e^logp1+x2(

Z

x²e ^logp1+x2dx + c) =p 1 + x²(

Z

x²

p1+x²dx + c)

=p

1 + x²(Z p

1 + x^{2 p}_1+x¹ 2dx + c)

=p

1 + x²(¹₂(xp

1 + x²+ settsinh x) settsinh x + c)

=p

1 + x²(^x₂p

1 + x^{2 1}₂settsinh x + c)

=p

1 + x²(^x₂p

1 + x^{2 1}₂log(x +p

1 + x²) + c), c2 R.

4. L’equazione y⁰ = ^{xy 1}_x2 `e equazione di↵erenziale lineare del primo ordine non omogenea, ovvero del tipo y<sup>0</sup> = a(x)y + b(x) con a(x) =<sub>x</sub><sup>1</sup> e b(x) = <sub>x</sub><sup>1</sup>2. L’integrale generale sar`a allora della forma

y(x) = e^A(x)( Z

b(x)e ^A(x)dx + c), c2 R,

dove A(x) `e una primitiva di a(x). Essendo a(x) = ¹_x, scegliamo come primitiva la funzione A⁺(x) = log(x) per le soluzioni definite in (0, +1) e A (x) = log( x) per le soluzioni definite in (0, +1). Le soluzioni definite in (0, +1) dell’equazione data saranno allora

y(x) = e^{log x}( Z

1

x²e ^{log x}dx + c) = x(

Z

1

x³dx + c)

= x(¹_2x¹2 + c) = _2x¹ + cx, c2 R.

Allo stesso modo, le soluzioni definite in ( 1, 0) saranno date da y(x) = e^{log( x)}(

Z

1

x²e ^{log( x)}dx + c) = _2x¹ cx, c2 R.

5. L’equazione y⁰ = _1+x^2x2y + xy³`e equazione di↵erenziale di Bernoulli, ovvero del tipo y⁰= a(x)y + b(x)y^↵ con a(x) = _1+x^2x2, b(x) = x e ↵ = 3. Osserviamo che l’equazione ammette come soluzione la funzione identicamente nulla y0(x) = 0 per ogni x2 R. Per determinare le soluzioni non nulle possiamo ricondurre tale equazione a un’equazione di↵erenziale lineare considerando la funzione incognita z(x) = y^{1 ↵}(x) = y ²(x), osserviamo che z(x) > 0. Con tale sostituzione otteniamo che y(x) =±p¹

z(x) e quindi y⁰(x) =

⌥₂p^z0(x)

z³(x) e quindi

y⁰=_1+x^2x2y + xy³ , ⌥₂^pz0_z3 =±1+x^2x2 p1

z+±₍^px_z)³ , z⁰= _1+x^4x2z 2x

L’equazione nell’incognita z `e equazione di↵erenziale lineare del tipo z⁰= ¯a(x)z + ¯b(x) con ¯a(x) = _1+x^4x2

e ¯b(x) = 2x ammette come integrale generale z(x) = e^A(x)¯

✓Z ¯b(x)e ^A(x)¯ dx + c

◆

con ¯A(x) primitiva di ¯a(x) = _1+x^4x2. Possiamo scegliere come primitiva ¯A(x) = 2 log(1 + x²) = log_(1+x¹2)² ottenendo

z(x) = e^log

1 (1+x²)²

✓Z

2xe ^log

1

(1+x²)² dx + c

◆

= _(1+x¹2)²

✓Z

2x(1 + x²)²dx + c

◆

=_(1+x¹2)² 1

3(1 + x²)³+ c

dove c 2 R, osserviamo che nel dominio deve risultare ¹3(1 + x²)³+ c > 0. Le soluzioni dell’equazione di Bernoulli data, oltre alla soluzione identicamente nulla, saranno allora

y(x) =±^pz(x)¹ =±^r ₁ ¹

(1+x²)²

⇣ 1

3 (1+x²)³+c⌘ =±^{r 1+x2}

c 1 3 (1+x²)³

, c2 R

6. L’equazione y⁰ = _6x^y +_2y^x5 `e di nuovo equazione di↵erenziale di Bernoulli del tipo y⁰ = a(x)y + b(x)y^↵ con a(x) = _6x¹, b(x) = ^x₂ e ↵ = 5. Per determinare le soluzioni dell’equazione possiamo ricondurre tale equazione a un’equazione di↵erenziale lineare considerando la funzione incognita z(x) = y^{1 ↵}(x) = y⁶(x),

osserviamo che z(x) 0. Con tale sostituzione otteniamo che y(x) = p⁶

z(x) e quindi y⁰(x) = ^z0(x)

6z(x)⁵⁶ e quindi

y⁰ = _6x^y +_2y^x5 , ^z0

6z⁵⁶ = ^p_6x^6z+ ^x

2z⁵⁶ , z⁰= _x^z+ 3x

L’equazione nell’incognita z `e equazione di↵erenziale lineare del tipo z⁰ = ¯a(x)z + ¯b(x) con ¯a(x) = ¹_x e

¯b(x) = 3x ammette come integrale generale

z(x) = e^A(x)¯

✓Z

¯b(x)e ^A(x)¯ dx + c

◆

con ¯A(x) primitiva di ¯a(x) = ¹_x. Possiamo scegliere come primitiva ¯A⁺(x) = log(x) per soluzioni definite in (0, +1) e ¯A (x) = log( x) per soluzioni definite in ( 1, 0) ottenendo

z^±(x) = e ^log(±x)

✓Z

3xe^log(±x)dx + c

◆

=±x¹

✓

± Z

3x²dx + c

◆

=±x¹(±x³+ c) = ¹_x(x³+ k)

dove k = ±c 2 R, osserviamo che nel dominio deve risultare z(x) 0. Le soluzioni dell’equazione di Bernoulli data saranno allora

y(x) = ⁶ q1

x(x³+ k), k2 R definite in intervalli dove _x¹(x³+ k) 0.

7. L’equazione y⁰ 2y tan x = py `e equazione di↵erenziale di Bernoulli del tipo y<sup>0</sup> = a(x)y + b(x)y<sup>↵</sup> con a(x) = 2 tan x, b(x) = 1 e ↵ = <sup>1</sup><sub>2</sub>. Per determinare le soluzioni dell’equazione osserviamo che la funzione identicamente nulla `e soluzione, per determinare le soluzioni non nulle consideriamo la funzione incognita z(x) = y^{1 ↵}(x) =p

y(x) e notiamo che z(x) 0. Con tale sostituzione otteniamo che y(x) = z(x)², da cui y⁰(x) = 2z(x)z⁰(x), e quindi

y⁰ 2y tan x =py , 2zz⁰ 2z²tan x = z , z⁰= z tan x ¹₂

L’equazione nell’incognita z `e equazione di↵erenziale lineare del tipo z⁰= ¯a(x)z + ¯b(x) con ¯a(x) = tan x e ¯b(x) = ¹₂ ammette come integrale generale

z(x) = e^A(x)¯

✓Z

¯b(x)e ^A(x)¯ dx + c

◆

con ¯A(x) primitiva di ¯a(x) = tan x. Possiamo scegliere come primitiva ¯A(x) = log| cos x| (intendendo in questo modo soluzioni definite per valori di x tali che cos x > 0 e cos x < 0) ottenendo

z = _{| cos x|}¹

✓Z

1

2| cos x| dx + c

◆

= _{cos x}¹

✓Z

1

2cos x dx± c

◆

=_{cos x}^{1 1}₂sin x + k

dove k = ±c 2 R, osserviamo che nel dominio deve risultare z(x) 0. Le soluzioni dell’equazione di Bernoulli data saranno allora

y(x) = z²(x) =_cos¹2x 1

2sin x + k ² k2 R definite in intervalli dove _{cos x}^{1 1}₂sin x + k > 0.

8. L’equazione y⁰⁰ 4y⁰+ 4y = e^2x`e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolvere tale equazione determiniamo innanzitutto l’integrale generale dell’equa- zione omogenea associata y⁰⁰ 4y⁰ + 4y = 0. A tale scopo si osservi che l’equazione caratteristica

2 4 + 4 = ( 2)²0 ammette un’unica radice 0 = 2 e quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea `e

y0(x) = c1e^2x+ c2xe^2x

dove c1, c2 2 R sono costanti arbitrarie. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Come da suggerimento, osservato che il termine noto g(x) = e^2x `e soluzione dell’equazione omogenea (siamo in un caso risonante), cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = kx<sup>2</sup>e<sup>2x</sup>. Derivando due volte e sostituendo nell’equazione completa otteniamo k = <sup>1</sup><sub>2</sub>. Dunque, soluzione particolare `e

yp(x) = ¹₂x²e^2x e per l’integrale generale dell’equazione data `e allora

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1e^2x+ c2xe^2x+¹₂x²e^2x dove c1, c22 R sono costanti arbitrarie.

9. L’equazione y⁰⁰+ 3y⁰ 4y = e^xcos x `e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolverla determiniamo l’integrale generale dell’equazione omogenea associata y<sup>00</sup>+ 3y<sup>0</sup> 4y = 0. A tale scopo si osservi che l’equazione caratteristica <sup>2</sup>+ 3 4 = ( + 4)( 1) = 0 ammette come radici 1= 4 e 2= 1 e quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea `e

y0(x) = c1e ^4x+ c2e^x

dove c1, c22 R sono costanti arbitrarie. Per determinare una soluzione particolare dell’equazione non omo- genea, utilizzando il metodo della somiglianza, cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = e^x(A cos x + B sin x) (non siamo in un caso risonante dato che 1+i non `e radice del polinomio caratteristico). Derivando due volte e sostituendo nell’equazione completa otteniamo A = <sub>26</sub><sup>1</sup> e B = <sub>26</sub><sup>5</sup>. Dunque, soluzione parti- colare `e

yp(x) = e^x(₂₆⁵ sin x ₂₆¹ cos x) e l’integrale generale dell’equazione data `e allora

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1e ^4x+ c2e^x+ e^x(₂₆⁵ sin x ₂₆¹ cos x) dove c1, c22 R sono costanti arbitrarie.

10. L’equazione y⁰⁰+4y⁰ 5y = 3+e ^x`e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolvere tale equazione determiniamo innanzitutto l’integrale generale dell’equa- zione omogenea associata y⁰⁰ + 4y⁰ 5y = 0. A tale scopo si osservi che l’equazione caratteristica

2 + 4 5 = ( + 5)( 1) ammette come radici = 5 e = 1 e quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea `e

y0(x) = c1e^x+ c2e ^5x

dove c1, c2 2 R sono costanti arbitrarie. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Come da suggerimento, osservato che il termine noto g(x) = e ^x+ 3, cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = A + Be ^x. Derivando due volte e sostituendo nell’equazione completa otteniamo A = ³₅ e B = ¹₈. Dunque, soluzione particolare `e

yp(x) = ³₅ ¹₈e ^x e per l’integrale generale dell’equazione data `e allora

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1e^x+ c2e ^{5x 3}₅ ¹₈e ^x dove c1, c22 R sono costanti arbitrarie.

11. L’equazione di↵erenziale y⁰ = _xy¹ `e equazione a variabili separabili del tipo y⁰ = a(x)b(y) con a(x) = ¹_x e b(y) = ¹_y. Tale equazione non ammette soluzioni singolari quindi tutte le soluzioni saranno espresse implicitamente dalla formula

B(y) = A(x) + c, c2 R

con B(y) primitiva di _b(y)¹ = y e A(x) primitiva di a(x) = ¹_x. Scegliendo B(y) = ^y₂² e A(x) = log|x|, le soluzioni dell’equazione di↵erenziale saranno date da

y²(x)

2 = log|x| + c, c 2 R , |y(x)| =p

2log|x| + k, k 2 R.

Poich`e la nostra soluzione deve soddisfare la condizione iniziale y( 1) = 1, la soluzione dovr`a essere definita in un intorno di x0= 1 < 0 con y( 1) = 1 > 0. Dunque la soluzione cercata sar`a data da

y(x) =p

2log( x) + k, k2 R.

Imponendo infine la condizione iniziale y( 1) = 1 si ottiene k = 1. Quindi la soluzione del problema di Cauchy proposto `e

y(x) =p

2log( x) + 1 definita e derivabile in ( 1, ^p1_e).

12. L’equazione di↵erenziale y⁰ = ^y_x²tan log x `e equazione a variabili separabili del tipo y<sup>0</sup> = a(x)b(y) con a(x) = <sup>1</sup><sub>x</sub>tan log x e b(y) = y<sup>2</sup>. Tale equazione ammette come soluzione singolare la funzione costante y0(x) = 0 ma poich`e stiamo cercando una soluzione soddisfacente la condizione iniziale y(1) = 16= 0, tale soluzione apparterr`a alla famiglia di soluzioni non nulle date (implicitamente) dalla formula

B(y) = A(x) + c, c2 R

con B(y) primitiva di _b(y)¹ = _y¹2 e A(x) primitiva di a(x) = _x¹tan log x. Scegliendo B(y) = ¹_y e A(x) = log| cos log x|, le soluzioni non nulle dell’equazione di↵erenziale saranno date implicitamente da

1

y(x) = log| cos log x| + c, c 2 R , y(x) = log| cos log x|+c¹ , c2 R.

Poich`e la nostra soluzione deve soddisfare la condizione iniziale y(1) = 1, la soluzione dovr`a essere definita in un intorno di x0= 1 ove cos log x > 0. Dunque la soluzione cercata sar`a data da

y(x) = log(cos log x)+c¹ , c2 R.

Imponendo infine la condizione iniziale y(1) = 1 si ottiene c = 1 e quindi la soluzione del problema di Cauchy proposto `e

y(x) = log(cos log x)+1¹ .

13. L’equazione y⁰= y tan x + _{cos x}¹ `e equazione di↵erenziale lineare del primo ordine non omogenea, cio`e del tipo y⁰ = a(x)y + b(x) con a(x) = tan x e b(x) = _{cos x}¹ . L’integrale generale sar`a allora della forma

y(x) = e^A(x)( Z

b(x)e ^A(x)dx + c), c2 R,

con A(x) primitiva di a(x). Essendo a(x) = tan x e il dato iniziale in x0= 0, qundi cos x0> 0, scegliamo come primitiva la funzione A(x) = log(cos x). L’integrale generale dell’equazione data sar`a allora

y(x) = e ^{log(cos x)}( Z

1

cos xe^{log(cos x)}dx + c) = _{cos x}¹ ( Z

dx + c) =_{cos x}¹ (x + c), c2 R,

Imponendo la condizione iniziale y(0) = ⇡ si ottiene C = ⇡ e quindi la soluzione del problema di Cauchy proposto `e

y(x) = _{cos x}¹ (x + ⇡).

14. L’equazione y⁰ = _1+x^xy2 + x³ `e equazione di↵erenziale lineare del primo ordine non omogenea del tipo y<sup>0</sup> = a(x)y + b(x) con a(x) =<sub>1+x</sub><sup>x</sup>2 e b(x) = x<sup>3</sup>. L’integrale generale sar`a allora della forma

y(x) = e^A(x)( Z

b(x)e ^A(x)dx + c), c2 R,

dove A(x) `e una primitiva di a(x). Essendo a(x) = _1+x^x2, scegliamo come primitiva la funzione A(x) =

1

2log(1 + x²) = logp

1 + x². L’integrale generale dell’equazione data sar`a allora y(x) = e^logp1+x2(

Z

x³e ^logp1+x2dx + c) =p 1 + x²(

Z

x³

p1+x²dx + c)

=p

1 + x²(¹₃p

1 + x²(x² 2) + c) = ¹₃(1 + x²)(x² 2) + cp

1 + x², c2 R,

Imponendo la condizione iniziale y(0) = ¹₃ si ottiene c = 1 e quindi la soluzione del problema di Cauchy proposto `e

y(x) = ¹₃(1 + x²)(x² 2) +p 1 + x²

15. L’equazione di↵erenziale y⁰= ^y_x+^3x_y `e equazione di↵erenziale di Bernoulli, ovvero del tipo y⁰ = a(x)y + b(x)y^↵con a(x) = ¹_x, b(x) = 3x e ↵ = 1. Possiamo ricondurre tale equazione a un’equazione di↵erenziale lineare considerando la funzione incognita z(x) = y^{1 ↵}(x) = y²(x), osserviamo che z(x) 0. Con tale sostituzione otteniamo che y(x) =p

z(x) e quindi y⁰(x) = ^z0(x)

2p

z(x) e quindi y⁰ =^y_x+^3x_y , ₂^zp0_z = ^p_x^z+^p3x_z , z⁰= ^2z_x + 6x

L’equazione nell’incognita z `e equazione di↵erenziale lineare del tipo z⁰ = ¯a(x)z + ¯b(x) con ¯a(x) = _x² e

¯b(x) = 6x ammette come integrale generale

z(x) = e^A(x)¯

✓Z

¯b(x)e ^A(x)¯ dx + c

◆

con ¯A(x) primitiva di ¯a(x) = ²_x. Poich´e il dato iniziale `e dato in x0 = 1 < 0, possiamo scegliere come primitiva ¯A(x) = 2 log( x) = log(x²) nell’intervallo ( 1, 0) ottenendo

z(x) = e^log(x2)

✓Z

6xe ^log(x2)dx + c

◆

= x²

✓Z

6 xdx + c

◆

= x²(6 log( x) + c)

dove c 2 R, osserviamo che nel dominio deve risultare 6 log( x) + c 0. Le soluzioni dell’equazione di Bernoulli data, definite in ( 1, 0) saranno allora

y(x) =p

x²(6 log( x) + c) = xp

6 log( x) + c, c2 R

Poich´e la soluzione deve verificare la condizione iniziale y( 1) = 1 dovremo avere 1 =pc e dunque c = 1.

La soluzione del problema di Cauchy proposto `e y(x) =p

x²(6 log( x) + 1) = xp

6 log( x) + 1 definita nell’intervallo ( 1, e ¹⁶).

Si noti che l’equazione data `e equazione di↵erenziale omogenea (ovvero della forma y⁰= g(^y_x)) e si poteva in alternativa risolverla ponendo z(x) = ^y(x)_x .

16. L’equazione di↵erenziale y⁰ =^x3_xy^+y2³ =_x^y+^x_y²2 `e equazione di↵erenziale di Bernoulli ma anche omogenea (di Manfredi). Per risolverla potremo quindi considerare la funzione incognita z(x) = y³(x) oppure z(x) = ^y(x)_x . Con la seconda, abbiamo y(x) = xz(x) e quindi y⁰(x) = z(x) + xz⁰(x) da cui

y⁰= ^y_x+^x_y²2 , z + xz⁰= z + _z¹2 , z⁰ =_xz¹2

e l’ultima equazione `e equazione di↵erenziale a variabili separabili del tipo z⁰= a(x)b(z) con a(x) = ¹_x e b(z) = _z¹2. Abbiamo allora che le soluzioni dell’equazione sono date da

z³(x)

3 = log|x| + c , z(x) =p³

3 log|x| + k, k 2 R e dunque le soluzioni dell’equazione data saranno

y(x) = xz(x) = xp³

3 log|x| + k, k 2 R

Poich´e la soluzione deve verificare la condizione iniziale y(1) = 1 e x0= 1 > 0, otteniamo che la soluzione del problema proposto `e

y(x) = xp³

3 log x + 1.

17. L’equazione y⁰⁰ 5y⁰+ 6y = e^x+ 11e^2x`e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolverla determiniamo innanzitutto l’integrale generale dell’equazione omo- genea associata y<sup>00</sup> 5y<sup>0</sup>+ 6y = 0. L’equazione caratteristica associata, <sup>2</sup> 5 + 6 = 0, ammette due radici reali distinte 1= 2 e 2= 3. Quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea `e

y0(x) = c1e^2x+ c2e^3x, dove c1, c22 R sono costanti arbitrarie.

Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Utilizzando il metodo della somiglianza, cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = y1(x) + y2(x) essendo y1(x) = Ae^x soluzione dell’equazione y⁰⁰ 5y⁰+ 6y = e^x e y2(x) = Bxe^2xsoluzione dell’equazione y⁰⁰ 5y⁰+ 6y = 11e^2x(siamo in un caso risonante). Derivando due volte e sostituendo nelle rispettive equazioni otteniamo A = ¹₂ e B = 11. Dunque, la soluzione particolare cercata `e

yp(x) = ¹₂e^x 11xe^2x e l’integrale generale dell’equazione data `e allora

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1e^2x+ c2e^3x+¹₂e^x 11xe^2x

dove c1, c2 2 R sono costanti arbitrarie. Determiniamo ora c¹ e c2 di modo che risultino soddisfatte le condizioni iniziali y(0) = ¹₂ e y⁰(0) = ³₂:

(y(0) = c1+ c2+¹₂ = ³₂

y⁰(0) = 2c1+ 3c2+¹₂ 11 =¹₂ ,

(c1= 8 c2= 9 La soluzione del problema di Cauchy proposto `e allora

y(x) = 8e^2x+ 9e^3x+¹₂e^x 11xe^2x

18. L’equazione y⁰⁰+ 2y⁰+ y = (x 1)e ^x`e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Per risolverla determiniamo l’integrale generale dell’equazione omogenea associata y<sup>00</sup>+ 2y<sup>0</sup>+ y = 0, l’equazione caratteristica associata, <sup>2</sup>+ 2 + 1 = ( + 1)<sup>2</sup>= 0, ammette un unica radice reale 0= 1 di molteplicit`a 2. Quindi l’integrale generale dell’equazione omogenea `e

y0(x) = c1e ^x+ c2xe ^x, c1, c22 R.

Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Utilizzando il metodo della somiglianza, cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = x²(Ax + B)e ^x = (Ax³+ Bx²)e ^x (siamo in un caso risonante). Derivando due volte e sostituendo nell’equazioni otteniamo A = ¹₆ e B = ¹₂. Dunque, la soluzione particolare cercata `e

yp(x) = x²(^x₆ ¹₂)e ^x e l’integrale generale dell’equazione data `e allora

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1e ^x+ c2xe ^x+ x²(^x₆ ¹₂)e ^x, c1, c22 R.

Determiniamo ora le costanti arbitrarie c1 e c2 di modo che risultino soddisfatte le condizioni iniziali y(0) = y⁰(0) = 0: (

y(0) = c1= 0

y⁰(0) = c1+ c2= 0 ,

(c1= 0 c2= 0

La soluzione del problema di Cauchy proposto `e allora la soluzione particolare trovata y(x) = x²(^x₆ ¹₂)e ^x

19. L’equazione y⁰⁰+ y = cos x + x `e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. L’equazione omogenea associata y⁰⁰+ y = 0 ammette come integrale generale

y0(x) = c1cos x + c2sin x, c1, c22 R,

dato che l’equazione caratteristica associata, ²+ 1 = 0, ammette come radici =±i. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, utilizzando il metodo della somiglianza. Cer- chiamo tale soluzione della forma yp(x) = y1(x) + y2(x) essendo y1(x) = x(A cos x + B sin x) soluzione dell’equazione y⁰⁰+ y = cos x (siamo in un caso risonante) e y2(x) = (Cx + D) soluzione dell’equazione y⁰⁰+ y = x. Derivando due volte e sostituendo nelle rispettive equazioni otteniamo A = 0, B = ¹₂, C = 1, D = 0. Dunque, la soluzione particolare cercata `e

yp(x) = y1(x) + y2(x) = ^x₂sin x + x e l’integrale generale dell’equazione data `e

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1cos x + c2sin x +^x₂sin x + x, c1, c22 R.

Determiniamo c1e c2 di modo che risultino soddisfatte le condizioni iniziali y(0) = 0 e y⁰(0) = 1:

(y(0) = c1= 0

y⁰(0) = c2+ 1 = 1 ,

(c1= 0 c2= 0 La soluzione del problema di Cauchy proposto `e quindi

y(x) = ^x₂sin x + x

20. L’equazione y⁰⁰ 2y⁰+ y = _x+2^ex + xe^x `e equazione di↵erenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. L’equazione omogenea associata y⁰⁰ 2y⁰+y = 0 ammette come integrale generale

y0(x) = c1e^x+ c2xe^x, c1, c22 R,

dato che l’equazione caratteristica associata, ² 2 + 1 = ( 1)² = 0, ammette come unica radice

= 1. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, utilizzando il metodo della somiglianza. Cerchiamo tale soluzione della forma yp(x) = y1(x) + y2(x) essendo y1(x) soluzione

dell’equazione y⁰⁰ 2y⁰+ y = _x+2^ex e y2(x) soluzione dell’equazione y⁰⁰ 2y⁰+ y = xe^x. Cerchiamo la soluzione y2(x) con il metodo della somiglianza della forma y2(x) = x²(Ax + B)e^x (caso risonante).

Derivando due volte e sostituendo nell’equazione y⁰⁰ 2y⁰+ y = xe^xotteniamo A = ¹₆ e B = 0. Dunque, la soluzione particolare cercata `e y2(x) = ¹₆x³e^x.

Per determinare y1(x) occorre invece utilizzare il metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Cerchiamo quindi una soluzione della forma y1(x) = c1(x)e^x+ c2(x)xe^x. Le funzioni incognite c1(x) e c2(x) dovranno verificare il sistema (

c⁰₁(x)e^x+ c⁰₂(x)xe^x= 0

c⁰₁(x)e^x+ c⁰₂(x)(e^x+ xe^x) =_x+2^ex

e dunque (

c⁰₁(x)e^x= c⁰₂(x)xe^x

c⁰₂(x)xe^x+ c⁰₂(x)(e^x+ xe^x) =_x+2^ex ,

(c⁰₁(x) = _x+2^x c⁰₂(x) = _x+2¹ Pertanto

c1(x) = Z

x x+2dx =

Z

1 _x+2² dx = x + 2 log|x + 2| + c¹ e c2(x) = Z

1

x+2dx = log|x + 2| + c² Poich´e il dato iniziale `e x0 = 0, potremo scegliere c1(x) = x + 2 log(x + 2) e c2(x) = log(x + 2). La soluzione particolare (definita in x0= 0) `e quindi

y2(x) = ( x + 2 log(x + 2))e^x+ xe^xlog(x + 2) L’integrale generale dell’equazione data `e allora

y(x) = y0(x) + y1(x) + y2(x) = c1e^x+ c2xe^x+ ( x + 2 log(x + 2))e^x+ xe^xlog(x + 2) +¹₆x³e^x, c1, c22 R.

Determiniamo c1e c2 di modo che risultino soddisfatte le condizioni iniziali y(0) = y⁰(0) = 1:

(y(0) = c1+ 2 log 2 = 0

y⁰(0) = c1+ c2+ 3 log 2 = 0 ,

(c1= 2 log 2 c2= log 2 La soluzione del problema di Cauchy proposto `e allora

y(x) = log 2(2e^x+ xe^x) + ( x + 2 log(x + 2))e^x+ xe^xlog(x + 2) +¹₆x³e^x