Esercizio svolto 1 Dati: R

R₁=4  R₂=3  R₃=1 I_G=4A  =2

Determinare la corrente I e le potenze rispettivamente erogate dal generatore Ig e dal generatore αI.

Per trovare la grandezza pilota uso la sovrapposizione degli effetti 1. Considero solo il generatore di corrente Ig, aprendo αI:

I ' = I_G R₂

R₁R₂R₃ =43 8= 3

2

2. Considero solo il generatore di corrente dipendente αI:

I ' ' = −  I R₃

R₁R₂R₃ = − 4 8I

(metto il meno perché αI immette corrente nel verso opposto) Per trovare la corrente I, effettuo la somma algebrica di I' e I'':

I = I '  I ' ' =3 2 −4

8 I I 4

8 I =3

2  3 2 I =3

2  I = 1

Per trovare le potenze erogate dai singoli generatori devo trovare le correnti su R2 ed R3: Sapendo che αI = 4A e Ig = 4A Scrivo le LKC:

{

Nodo3 : I_R2− I_G− I  I_R3=0

Risoluzione della prima equazione:

−I_R24 − 1 = 0  I_R2=3 Risoluzione della seconda equazione:

1  4 − I_R3=0  I_R3=5 Verifico i risultati ottenuti con la terza equazione (che è ridondante):

3 − 4 − 4  5 = 0  0 = 0  verificata Calcolo la potenza erogata da Ig:

La tensione tra il nodo 1 e il nodo 3 si ottiene mediante: ^R2I_R2=3⋅3 = 9V La potenza erogata si ottiene infine mediante: 9V⋅ I_G=9V⋅4A = 36W Calcolo la potenza erogata da α I:

La tensione tra il nodo 2 e il nodo 3 si ottiene mediante: R₃I_R3=1⋅5 = 5V La potenza erogata si ottiene infine mediante: 5V⋅  I = 5V⋅4A = 20W

R2 Ig R3

R1 I'

R2 R1

αI R3 I''

Ig ^αI R3

R2

I_R2 R1 I I_R3

3

1 2

R₁=5 R₂=1  R₃=2  I_G=2A  =3 Determinare la corrente I e le potenze generate da Ig e αI.

Per trovare la corrente I ed I3 (necessaria per il calcolo della potenza), uso la sovrapposizione degli effetti.

1. Considero solo il generatore di corrente Ig, aprendo αI:

I ' = − I_G R₂ R₃

R₁ R₂ R₃ = −2 12

512= − 6 8 I₃' = I_G R₁

R₁R₂ R₃ =25 8= 10

8

2. Considero solo il generatore di corrente αI, aprendo Ig:

I ' ' =  I R₃

R₁R₂R₃ = 2

83I = 6 8 I I₃' ' = −  I R₁R₂

R1R2 R3

= − 6

83I = − 18 8 I

3. Trovo I ed I3: I = I '  I ' ' = − 6

8  6

8 I  I −6

8 I = − 6

8  2

8 I = −6

8  I = − 3A I₃=I₃'  I₃' ' = 10

8 − 18

8 I  I₃= 10 8 54

8  I₃=8A Calcolo la potenza erogata da Ig:

P_IG=R₁⋅I ⋅ I_G=5⋅3 ⋅2 = 30W Calcolo la potenza erogata da α I:

P_I= R₃⋅I₃⋅ I = 2⋅8⋅3⋅3 = 144W I₃

I₃

I₃

R₁=1 R₂=3  R₃=2  I_G=3A g = 0,5 S

*1 [S] (Siemens) = 1A/V (Conduttanza elettrica)

Determinare la tensione V2 e le potenze erogate da IG e gV2.

Per trovare V2 e V1 (necessaria per calcolare la potenza), uso la sovrapposizione degli effetti.

1. Considero solo il generatore IG, aprendo gV2:

I₂' = I_G R₁R₃

R₁R₂R₃ =33 6 = 9

6 = 3 2 I₁' = I_G R₂

R1R2R3

=33 6 = 9

6 = 3 2

2. Considero solo il generatore gV2, aprendo IG:

g V₂ = g ⋅ R₂⋅ −I₂ = 0,5⋅ 3⋅− I₂ = −1,5 I₂ Metto il meno davanti a I2 perché il resistore è un utilizzatore e non può avere i versi concordi di tensione e corrente.

I₂' ' = 1,5 I₂ R₁

R₁R₂R₃ =1,5

6 I₂= 0,5 2 I₂ I₁' ' = 1,5 I₂ R₂R₃

R₁R₂R₃ = 7,5

6 I₂= 2,5 2 I₂

3. Trovo I1, I2, V1 e V2: I₂= I₂'  I₂' ' = 3

2  0,5

2 I₂  I₂− 0,5

2 I₂= 3

2  I₂= 3

1,5=2A V₂= − I₂⋅R₂= − 2⋅ 3 = −6V

Metto il meno davanti a I2 perché il resistore è un utilizzatore e non può avere i versi concordi di tensione e corrente.

I₁=I₁'  I₁' ' = 3

2 22,5

2  I₁ = 8 2= 4A

V₁=I₁⋅R₁=4 ⋅1 = 4V Calcolo la potenza erogata da Ig:

P_IG = I_G⋅V₂ = 3⋅6 = 18W Calcolo la potenza erogata da gV 2:

P_{g V2} = V₁⋅g V₂ = 4⋅ 0,5⋅6 = 12W I₂

I₁

I₁ I₂

R₁=4  R₂=1  R₃=2  E₁=30V E₂=12V  =3 Determinare la tensione V2 e le singole potenze erogate da ogni

generatore.

Uso la sovrapposizione degli effetti.

1. Considero solo il generatore μV2, cortocircuitando E1 ed E2:

V_AB =

V₂ R₃ 1 R₁  1

R₂  1 R₃

= 3 2⋅4

7V₂ = 6 7V₂

I₃' = V_AB− V₂

R₃ = −15 7 ⋅1

2V₂= −15 14V₂ I₂' = V_AB

R₂ = 6 7V₂ I₁' = V_AB

R₁ = 6 7⋅1

4V₂= 3 14V₂ 2. Considero i generatori E1 ed E2 cortocircuitando μV2 :

V_AB =

− E₁ R1

− E₂ R2

1 R₁  1

R₂  1 R₃

=

− 30 4 −12

7 4

= −78 7

I₃' ' = V_AB

R₃ = −78 7 ⋅1

2= −39 7 I₂' ' = E₂V_AB

R₂ = 6 7 I₁' ' = E₁V_AB

R₁ =132 7 ⋅1

4= 33 7

3. Trovo le correnti I1,I2 ed I3: V₂ = R₂⋅I₂ = I₂

I₂= I₂'  I₂' ' = 6

7 I₂ 6

7  I₂−6

7 I₂ = 6

7  I₂=6 I₁=I₁'  I₁' ' = 3

146  33

7  I₁= 42 7 =6 I₃=I₃'  I₃' ' = − 15

146 −39

7  I₃ = − 84

7 = −12 4. Calcolo le potenze erogate dai generatori:

P_V = V₂⋅I₃=216W P_E = E₁⋅I = 30 ⋅6 = 180W P_E = E₂⋅I₂=72W

V_AB

V_AB

R₁=4  R₂=2  R₃=4  R₄=6  E₁=12V E₂=12V g = 0,5 S 1[S ]Siemens = 1 V / A

Determinare le correnti dei resistori

Come prima cosa si nota che la tensione ai capi di R4 è imposta da E2, per cui si può calcolare subito la corrente I4:

I₄= E₂ R₄ = 12

6 =2A

La resistenza R4 non influisce sul resto del circuito. Si nota che i rami del circuito sono posti tutti i parallelo, per cui è possibile calcolare la tensione VAB supponendo noto il valore del generatore dipendente:

V_AB= E₁

R₁ − g V₃ E₂ R₃ 1

R₁  1 R₂  1

R₃

= 3 − 2 I₃ 3

1 = 6−2 I₃

Trovo la grandezza pilota:

I₃= V_AB−E₂ R3

= −6 − 2 I₃

4 = − 3 2 − 1

2 I₃  3

2I₃= − 3

2  I₃= −1A A questo punto posso trovare il valore numerico di VAB:

V_AB=6 − 2 I₃=6  2 = 8V Trovo le altre correnti:

I₁= E₁−V_AB

R₁ = 12 − 8 4 =1A I₂= V_AB

R2

= 8 2=4A

R₁=4  R₂=10 R₃=4  E₁=8V E₂=8V  =3 Determinare le correnti nei resistori Uso la sovrapposizione degli effetti.

1. Considero solo il generatore E1, cortocircuitando gli altri 2:

Noto che cortocircuitando gli altri due generatori, la resistenza R2 è collegata in parallelo ad un corto circuito, per cui non la considero. Graficamente ho questa situazione:

Posso procedere a calcolare le due correnti:

I₁' = − E₁

R₁ = − 2A I₃' = E₁

R₃ =2A

2. Considero solo il generatore αV1, cortocircuitando gli altri 2:

Noto che i punti A, B e C sono equipotenziali, dato che sono collegati tramite dei cortocircuiti, quindi posso ridisegnare il circuito per renderlo più facilmente interpretabile:

I₁' ' = 3 V₁ R₁ = 3

4V₁ I₂' ' = 3 V₁ R₂ = 3

10V₁ 3. Considero solo il generatore E2, cortocircuitando gli altri 2:

Noto che cortocircuitando gli altri due generatori, la resistenza R1 è collegata in parallelo ad un corto circuito, per cui non la considero. Graficamente ho questa situazione:

Posso procedere a calcolare le due correnti:

I₂' ' ' = E₂ R₂ = 8

10 A I₃' ' ' = E₂ R₃ =2A

4. Trovo tutte le correnti come somma algebrica dei contributi dei generatori:

I₁= −2  3

4 R₁I₁  I₁ −3 I₁= −2  I₁=1A I₂= 12

10  8

10 =2A I₃=2  2 = 4A

R1 I₁ R2 I₂ αV₁

Nota:

In R₃ non scorre corrente perché è ai capi di un corto circuito