Svolgimento :
Si tratta di determinare i rispettivi antipoli delle rette inviluppanti ( congiungenti due vertici ) il sistema di masse .
Poichè il sistema possiede un asse di simmetria questo oltre ad essere asse baricentrico del sistema è anche asse principale centrale d’inerzia e quindi il baricentro ha coordinate G
(
0, yG)
.Determinare le coordinate dei vertici del nocciolo centrale d'inerzia
a a
a
a a a a
a a
a
a a a a
( )
a aa a
a a A
A A
S S y S
A
yG Sx G x x x
2 1 2
4 2
0 4
0
2 2 2
2
3 2 1
3 2
1 = −
+ +
+
−
⋅
= + +
+ +
= +
⇒
=
Calcolando i momenti d’inerzia si ha :
( ) ( ) ( )
4 4
4
2 2 2 3
2 2 4
2 3 3
2 1
3 14 3
2 8
2 2 12
2 4 2
12 2 2 2
12 2
a a
a I
a a a a a a
a a a
a I a
I I I
= +
=
⋅
⋅ +
+
−
⋅ +
+
⋅
⋅ +
⇒ +
+
=
ξ
ξ ξ ξ ξ
( )
42 2
4 3 2
2 3
3 2
1 3
32 2
2 3 12
2 12
2 2
2 3 12
2 a a a a a a
a a a
I a I I
I =
⋅
⋅ + +
+
⋅
⋅ +
⇒ +
+
= η η η
η
I relativi raggi giratori d’inerzia :
2 2
4 2
12 7 8
1 3
14 a
a a A
I = ⋅ =
= ξ
ρ ξ
2 2
4 2
3 4 8
1 3
32 a
a a A
I = ⋅ =
= η
ρ η
a a
a
a
a a a
x ξ η
G
2 a 1
2
3
Ricordando l’equazione della retta antipolare : ξ + η+1 =0 c
b c a
N.B. Si ricordi che i segmenti , intercettati dalla retta sugli assi del sistema principale , sono ( nella equazione della retta antipolare ) cambiati di segno insieme ai loro reciproci se individuati sul semiasse positivo .
e dalle relazioni che portano all’antipolo : ξ = ⋅ρ2η ; η = ⋅ρ2ξ
c b c
a
R R
r
ξ η
c / a
c / b
a a
a
a
a a a
ξ η
G
r
R
I segmenti intercettati dalla retta antipolare sugli assi principali ξη sono :
a c
a b b c
c a a
c
3 2 2
3
0
−
=
⇒
=
=
⇒
∃/
=
da cui il relativo antipolo :
a a a
R R
18 7 12
7 3
2 0
2 =−
⋅
−
=
=
η ξ
di qui le coordinate del centro relativo ( antipolo ) della retta r :
− a
R 18
, 7 0
I segmenti intercettati dalla retta antipolare sugli assi principali ξη sono :
0 2 2 1
=
⇒
∃/
=
−
=
⇒
=
c b b
c
a c
a a a c
da cui il relativo antipolo :
0
3 4 3
4 2
1 2
=
−
=
⋅
−
=
R
R a a
a η
ξ
di qui le coordinate del centro relativo ( antipolo ) della retta r :
− ,0 3 4a R
a a
a
a a a a
ξ η
G
r
R
I segmenti intercettati dalla retta antipolare sugli assi principali ξη sono :
a c a b
b c
a c
a a a c
5 2 2
5
5 2 2
5
=
⇒
=
−
=
⇒
=
da cui il relativo antipolo :
a a a
a a a
R R
30 7 12
7 5
2
15 8 3
4 5
2
2 2
=
⋅
=
−
=
⋅
−
=
η ξ
di qui le coordinate del centro relativo ( antipolo ) della retta r :
− a a
R 30
, 7 15
8
Poiché le altre rette inviluppanti il sistema sono simmetriche , rispetto al baricentro , delle antipolari già determinate precedentemente , i rispettivi antipoli sono di conseguenza simmetrici di quelli già determinati .
a a
a
a a a a
ξ η
G
r
R
a a
a
a
a a a
ξ η
G
