ANALISI MATEMATICA II

ANALISI MATEMATICA II

Sapienza Universit` a di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 16 febbraio 2016 - Soluzioni compito 1

E 1 Calcolare, usando i metodi della variabile complessa, il seguente integrale di variabile reale Z +∞

−∞

1

(x + 2)(x²− i)dx.

Soluzione:

La funzione f (z) estensione complessa dell’integranda ha poli semplici nelle singolarit`a z₀ = −2, z1 =

√ 2 2 +

√ 2

2 i = e^iπ4, z2 = −z1 = e^−34πi = e^i54π = −

√ 2 2 −

√ 2

2 i. Di questi z0 `e quindi sull’asse reale, mentre z<sub>1</sub> `e l’unico con parte immaginaria > 0. Utilizzando il teorema dei residui, e poi il lemma del grande cerchio ed il lemma del polo semplice, si trova l’integrale (a valore principale)

Z +∞

−∞

1

(x + 2)(x² − i)dx = 2πi res(f, z₁) + πi res(f, z₀).

Si trova

res(f, z₁) = 1

(e^iπ4 + 2)(2e^iπ4) = 1 2

√ 1

2 + i(1 +√

2), res(f, z₀) = 1 4 − i, per cui

Z +∞

−∞

1

(x + 2)(x²− i)dx = πi

 1

√2 + i(1 +√

2)+ 1 4 − i

 .

E 2 Dire, motivando la risposta, dove converge la seguente serie di Laurent:

+∞

X

n=−3

5⁻ⁿ² 1 (z − i)ⁿ.

Classificare la singolarit`a z = i della funzione f (z) somma della serie e calcolarne il residuo.

Soluzione:

Studiando la parte singolare

+∞

X

n=1

5⁻ⁿ² 1 (z − i)ⁿ

ad esempio con la sostituzione w = _z−i¹ ed applicando il criterio della radice (limn→∞|5⁻ⁿ²|ⁿ¹ = lim_{n→∞ 5}¹n → 0), si trova che la serie converge per +∞ > |z − i| > 0. La parte regolare `e una somma finita, quindi converge per ogni z ∈ C. La serie `e allora complessivamente convergente in C \ {i}.

La singolarit`a in z = i `e essenziale, perch´e la serie in questione `e lo sviluppo di Laurent in un intorno forato di z = i e la parte singolare ha infiniti termini con coefficiente non nullo. Il residuo `e uguale al coefficiente della potenza −1, e quindi res(f, i) = ¹₅.

E 3

(i) Scrivere la successione (Sn(x))_n∈Ndelle somme parziali n-me della seguente serie di funzioni definita per x ∈ R,

+∞

X

n=0

3^nx.

(ii) Dire dove la serie converge puntualmente e totalmente e calcolarne la somma.

Facoltativo: studiare convergenza puntuale e totale della serie

+∞

X

n=0

3^nz, z ∈ C.

Soluzione:

S_n(x) = 1 + 3^x+ 3^2x+ . . . + 3^nx = 1 − 3^(n+1)x 1 − 3^x , se 3^x 6= 1 ⇔ x 6= 0. Quando invece x = 0, si ottiene Sn(x) = n + 1.

Per x fissato, si tratta di una serie geometrica di ragione 3^x, per cui c’`e convergenza puntuale se e solo se 3^x < 1 ⇔ x < 0, e totale se e solo se x ≤ a < 0, a arbitrario negativo. Infatti sup_x≤a<03^xn = 3^an e P

n≥03^an < +∞ perch´e 3^a< 1.

La somma `e

+∞

X

n=0

3^nx = 1

1 − 3^x , per x < 0.

Facoltativo: Scrivendo z = x + iy,

|3^z| = |e^zLog3| = |e^{x log 3}e^{iy log 3}| = |e^{x log 3}| = 3^x.

Ne segue che c’`e convergenza assoluta, e quindi puntuale, se e solo se 3<sup>x</sup> < 1, cio`e nel semipiano aperto {z = x + iy tali che x < 0}. La convergenza `e totale nel semipiano chiuso {z = x + iy tali che x ≤ a < 0}, a arbitrario reale negativo.

D 1

(i) Scrivere la formula per la trasformata di Laplace della derivata prima e seconda di un segnale y(t).

(ii) Risolvere, usando la trasformata di Laplace, il seguente problema di Cauchy:







y⁰⁰(t) = H(t) ∗ H(t) , t ≥ 0 y⁰(0) = 1

y(0) = 0 Soluzione:

Trasformando entrambi i membri

s²Y (s) − 1 = 1

s² ⇒ Y (s) = 1 s² + 1

s⁴.

Antitrasformando

y(t) = t +t³

3! = t +t³ 6.

D 2 Definizione di punto singolare isolato per f (z) e di residuo in tale punto.

Dare un esempio di funzione f (z) che ha una singolarit`a essenziale e residuo nullo nel punto 1 e un esempio di funzione g(z) con singolarit`a essenziale e residuo diverso da zero in 1.

Facoltativo: provare che se una funzione f (z) ammette primitiva F (z) in un aperto connesso A del piano complesso, allora f (z) non ha alcun punto singolare in A.

Soluzione:

Una delle infinite possibilit`a per f e g `e f (z) = e

1

(z−1)2 , g(z) = e^z−11 ,

guardando la loro espansione in serie di Laurent `e immediato controllare che verifichino le richieste.

Facoltativo: F (z), in quanto primitiva di f in A, `e derivabile in A ed F<sup>0</sup>(z) = f (z) per ogni z ∈ A. Quindi F `e olomorfa in A, e cio`e analitica. Ma allora f essendo derivata di una funzione analitica `e anch’essa analitica in A, e quindi olomorfa in A.

ANALISI MATEMATICA II

Sapienza Universit` a di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 16 febbraio 2016 - Soluzioni compito 2

E 1 Calcolare, usando i metodi della variabile complessa, il seguente integrale di variabile reale Z +∞

−∞

e^ix

(x³ − 2i)dx.

Soluzione:

La funzione f (z) estensione complessa dell’integranda ha poli semplici nelle singolarit`a z₀ =

√3

2e^iπ6 =√³ 2(

√ 3

2 +₂ⁱ), z1 =√³

2e^i5π6 =√³ 2(−

√ 3

2 + ₂ⁱ), z2 =√³

2e^i32π = −√³ 2 i.

Usando il teorema dei residui e poi il lemma di Jordan, scegliendo le singolarit`a con parte immaginaria positiva, si trova che l’integrale

Z +∞

−∞

e^ix

(x³− 2i)dx = 2πi[res(f, z₀) + res(f, z₁)], dove

res(f, z₀) = e^iz0

3z₀² = eⁱ³

√2e^{i π6}

3√³

4e^iπ3 ; res(f, z₁) = e^iz1

3z₁² = eⁱ³

√2e^{i 5π6}

3√³

4e^i5π3 = e⁻ⁱ³

√2e^{−i π6}

3√³

4e^−iπ3 . E 2 Dire, motivando la risposta, dove converge la seguente serie di Laurent:

3

X

n=−∞

2⁻ⁿ²(z − 1)ⁿ.

Classificare la singolarit`a z = 1 della funzione f (z) somma della serie e calcolarne il residuo.

Soluzione:

Studiando la parte singolare

−1

X

n=−∞

2⁻ⁿ²(z − 1)ⁿ=

+∞

X

m=1

2^−m2 1 (z − 1)^m,

ad esempio con la sostituzione w = _z−1¹ ed applicando il criterio della radice (lim_m→∞|2^−m2|^m1 = lim_{m→∞ 2}¹m → 0), si trova infine che la serie converge per +∞ > |z − 1| > 0. La parte regolare

`e una somma finita, quindi converge per ogni z ∈ C. La serie `e allora complessivamente convergente in C \ {1}.

La singolarit`a in z = 1 `e essenziale, perch´e la serie in questione `e lo sviluppo di Laurent in un intorno forato di z = 1 e la parte singolare ha infiniti termini con coefficiente non nullo. Il residuo `e uguale al coefficiente della potenza −1, e quindi res(f, 1) = ¹₂.

E 3

(i) Scrivere la successione (Sn(x))_n∈Ndelle somme parziali n-me della seguente serie di funzioni definita per x ∈ R,

+∞

X

n=0

2^−nx.

(ii) Dire dove la serie converge puntualmente e totalmente e calcolarne la somma.

Facoltativo: studiare convergenza puntuale e totale della serie

+∞

X

n=0

2^−nz, z ∈ C.

Soluzione:

S_n(x) = 1 + 2^−x+ 2^−2x+ . . . + 2^−nx = 1 − 2^−(n+1)x 1 − 2^−x , se 2^−x 6= 1 ⇔ x 6= 0. Quando invece x = 0, si ottiene S_n(x) = n + 1.

Per x fissato, si tratta di una serie geometrica di ragione 2^−x, per cui c’`e convergenza puntuale se e solo se 2^−x < 1 ⇔ x > 0, e totale se e solo se x ≥ a > 0, a arbitrario positivo.

Infatti sup_x≥a>02^−xn= 2^−an e P

n≥02^−an < +∞ perch´e 2^−a< 1.

La somma `e

+∞

X

n=0

2^−nx = 1

1 − 2^−x , per x > 0.

Facoltativo: Scrivendo z = x + iy,

|2^−z| = |e^−zLog2| = |e^{−x log 2}e^{−iy log 2}| = |e^{−x log 2}| = 2^−x.

Ne segue che c’`e convergenza assoluta, e quindi puntuale, se e solo se 2<sup>−x</sup> < 1, cio`e nel semipiano aperto {z = x + iy tali che x > 0}. La convergenza `e totale nel semipiano chiuso {z = x + iy tali che x ≥ a > 0}, a arbitrario reale positivo.

D 1

(i) Scrivere la formula per la trasformata di Laplace della derivata prima e seconda di un segnale y(t).

(ii) Risolvere, usando la trasformata di Laplace, il seguente problema di Cauchy:







y⁰⁰(t) + 3y(t) = 2H(t) , t ≥ 0 y⁰(6) = 1

y(6) = 0 Soluzione:

(ii) Ponendo ˜y(t) = y(t + 6), il problema di Cauchy per ˜y







˜

y⁰⁰(t) + 3˜y(t) = 2H(t)

˜

y⁰(0) = 1

˜

y(0) = 0

si pu`o risolvere trasformando entrambi i membri, trovando s²Y (s) − 1 + 3 ˜˜ Y (s) = 2

s ⇒ ˜Y = 1

s²+ 3 + 2 s(s²+ 3). Antitrasformando: ˜y(t) = 1

√3sin(√

3t) + 2

√3H(t) ∗ sin(√

3t) = 1

√3sin(√

3t) + 2

3(1 − cos(√ 3t), visto che

H(t) ∗ sin(√ 3t) =

Z t 0

sin(√

3τ ) dτ = 1

√3(− cos(√

3t) + 1).

Infine tornando ad y,

y(t) = 1

√3sin(√

3(t − 6)) + 2

3(1 − cos(√

3(t − 6))

D 2 Definizione di punto singolare isolato per f (z) e di residuo in tale punto. Classificazione dei punti singolari isolati. Relazione fra tipologia del punto singolare e sviluppo di Laurent in un intorno forato.

Facoltativo: provare che se una funzione f (z) ammette primitiva F (z) in un aperto connesso A del piano complesso, allora f (z) non ha alcun punto singolare in A.

Soluzione:

Facoltativo: F (z), in quanto primitiva di f in A, `e derivabile in A ed F<sup>0</sup>(z) = f (z) per ogni z ∈ A. Quindi F `e olomorfa in A, e quindi analitica. Ma allora f essendo derivata di una funzione analitica `e anch’essa analitica in A, e quindi olomorfa in A.