1) RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE INTEGRALE DI FRONTIERA

(1)

CAPITOLO IV

SOLUZIONE DELL’EQUIAZIONE INTEGRALE DI FRONTIERA MEDIANTE IL METODO DI COLLOCAZIONE

1) RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE INTEGRALE DI FRONTIERA

Nel presente capitolo si intende risolvere con il metodo di collocazione l’equazione integrale di frontiera ( ) ¹³ del capitolo III. Tale equazione è stata ottenuta applicando il metodo agli elementi di frontiera all’equazione stazionaria della diffusione ad un gruppo energetico in un cubo omogeneo.

Perciò considerato un dominio cubico V delimitato dalla frontiera A

l’equazione che si vuole risolvere è la seguente:

( ) ( ) (

^'

) ( ) ( )

^' ^'

^{( ) ( )} (

^'

) ( ) ( )

^' ^'

^{( )}

1 1

, ,

2 c

^A

J

ⁿ⁺ ^A _A

J

ⁿ⁺ ^A ^A

J

ⁿ⁺ ^A

dA

^A

2 c

^A

J

ⁿ⁻ ^A

J

ⁿ⁻ ^A ^A

J

ⁿ⁻ ^A

dA

^A

S

^g ^A

Γ

+ ∫ = − + ∫ +

r r ɶ r r r r r r ɶ r r r r r

( ) ¹

dove:

( ) ¹ ( ) ¹ ( )

4 2

n A A n A

J

⁺

r = φ r + J r J

n⁺

( ) r

A

: semi-corrente uscente dal cubo in r

_A

( ) ¹ ( ) ¹ ( )

4 2

n A A n A

J

⁻

r = φ r − J r ^J

ⁿ⁻

( ) ^r

^A

: semi-corrente entrante nel cubo in r

_A

essendo ^φ ( ) ^r

^A

il flusso neutronico in r e

_A

^J

ⁿ

( ) ^r

^A

la componente lungo la normale esterna alla frontiera del vettore corrente in r , pertanto:

_A

( ) ( )

n A A

J D

n φ

= − ∂

r ∂ r .

Inoltre:

( ^, ) ¹ ( ^, ) ¹ ( ^, )

4 2

n A A n A

J ɶ

⁺

r r = φ ɶ r r + J ɶ r r

( ^, ) ¹ ( ^, ) ¹ ( ^, )

4 2

n A A n A

J ɶ

⁻

r r = φ ɶ r r − J ɶ r r

V

frontiera A

Figura 1: cubo V omogeneo delimitato dalla frontiera A.

(2)

dove:

( ) ( )

( ) ^,

,

^A

n A

A

J D

n φ

= ∂

∂ r r r r

r

ɶ ɶ _;

^φ ^ɶ ( ^{r r} ^,

^A

) è la funzione di Green in un mezzo omogeneo infinito. Ossia ^φ ^ɶ ( ^{r r} ^,

^A

) è il flusso nel punto r in un mezzo omogeneo infinito generato da una sorgente unitaria e puntiforme collocata in r

_A

. Quindi φ ^ɶ ( ^{r r} ^,

A

) soddisfa l’equazione della diffusione in un mezzo infinito:

( ) ( ) ( )

2 3

,

_A _a

,

_A _A

0 φ φ δ

∇ ɶ r r − Σ ɶ r r + r r − = ∀ ∈ r ℝ

essendo δ la delta di Dirac.

Perciò, come noto, ^φ ^ɶ ( ^{r r} ^,

^A

) è data dalla seguente espressione:

( )

,

, 1

4 ,

R A

L A

A

e φ D R

π

−

=

r r

r r r r

ɶ

dove ^R ( ^{r r} ^,

^A

) ⁼ ^{R r r} ( ^,

^A

) ^, ^{R r r} ( ^,

^A

) ^{= −} ^{r r}

^A

Nell’equazione ( ) ¹ ^S

^g

( ) ^r

^A

è il termine di sorgente che tiene conto della eventuale sorgente imposta di volume ^{q r} ( ) ^.

Nella medesima equazione ( ) ¹ ^: ( )

A

c r è un coefficiente che assume i seguenti valori:

( )

1 se e non è un punto angoloso 2

se ed è un punto angoloso 2

A A

A

A c

ϑ A π

 ∈

=  

 ∈



r r

r

dove, in tre dimensioni, ϑ è l’angolo solido (visto dall’interno) compreso tra le facce che concorrono nel punto (o nel segmento di contorno singolare).

Il metodo di collocazione consiste nel fissare alcuni punti (nodi) sulle sei facce del cubo e nell’imporre che in essi sia soddisfatta la ( ) ¹ , che viene così discretizzata e risolta. Qui di seguto vengono illustrate più nel dettaglio le varie fasi che caratterizzano il metodo di collocazione.

Prima ancora di applicare il metodo di collocazione, conviene adimensionare il problema, ossia si dividono per la lunghezza del lato del cubo tutte le grandezze che hanno la dimensione di una lunghezza (per esempio il lato stesso del cubo, il coefficiente di diffusione D, la lunghezza di diffusione L, ecc…).

Il primo passo per l’applicazione del metodo di collocazione consiste nel battezzare le sei facce

della frontiera del cubo. Nei problemi che vengono qui analizzati si individuano le facce mediante

un numero intero compreso tra uno e sei, come mostra la figura 2:

(3)

Si suddivide poi ogni faccia della frontiera in 25 quadretti di medesima area

¹

, detti elementi della frontiera. Al centro di ogni elemento viene posto un nodo. I nodi sono i punti in cui si impone il rispetto dell’equazione che si intende discretizzare e risolvere. Per indicare i nodi e gli elementi di una qualsiasi faccia, si fa nuovamente ricorso ai numeri ed in particolare si sono adottate due diverse numerazioni:

- notazione ad un indice: si sono numerati i nodi con un solo indice variabile da uno fino a 150 (infatti su ogni faccia sono fissati 25 nodi, le facce sono sei e di conseguenza il numero complessivo di nodi è pari a 150). Tale notazione delle sei facce è illustrata qui di seguito:

1 Poiché si è adimensionato il sistema, il lato di ogni quadretto è:

1 5 = 0.2

. Quindi, per esempio, il nodo 1 della faccia1, essendo posto al centro dell’elemento 1, ha coordinate x = 0.1; z = 0.1; il nodo 2 ha coordinate x=0.3; z = 0.1 ecc…..

3 2

6

4 5 1

z y

x

26 27 28 29 30

36

46 37

47 38

48 39

49 40

50 31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

y

z FACCIA 2

1 2 3 4 5

11

21 12

22 13

23 14

24 15

25

6 7 8 9 10

16 17 18 19 20

x

z

FACCIA 1

76 77 78 79 80

86

96 87

97 88

98 89

99 90

100 81 82 83 84 85

91 92 93 94 95

y

z

FACCIA 4

51 52 53 54 55

61

71 62

72 63

73 64

74 65

75 56 57 58 59 60

66 67 68 69 70

x

z FACCIA 3

Figura 2: individuazione delle facce della frontiera A.

(4)

- notazione a due indici: si sono numerati i nodi di ogni faccia con due indici variabili da uno fino a 25. Tale notazione delle sei facce è illustrata qui di seguito:

126 127 128 129 130

136

146 137

147 138

148 139

149 140

150 131 132 133 134 135

141 142 143 144 145

y

x

FACCIA 6

101 102 103 104 105

111

121 112

122 113

123 114

124 115

125 106 107 108 109 110

116 117 118 119 120

x y

FACCIA 5

FACCIA 2

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

x

z

FACCIA 1

2,1 3,1 4,1 5,1

2,2 3,2 4,2 5,2

2,3 3,3 4,3 5,3

2,4 2,4 3,4 4,4

2,5 1,5

4,5 3,5

5,5

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

y

2,1

z

3,1 4,1 5,1

2,2 3,2 4,2 5,2

2,3 3,3 4,3 5,3

2,4 2,4 3,4 4,4

2,5 1,5

4,5 3,5

5,5

FACCIA 4

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

x

z FACCIA 3

2,1 3,1 4,1 5,1

2,2 3,2 4,2 5,2

2,3 3,3 4,3 5,3

2,4 2,4 3,4 4,4

2,5 1,5

4,5 3,5

5,5

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

y

z

^2,1

3,1 4,1 5,1

2,2 3,2 4,2 5,2

2,3 3,3 4,3 5,3

2,4 2,4 3,4 4,4

2,5 1,5

4,5 3,5

5,5

FACCIA 5

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

x

y

FACCIA 6

2,1 3,1 4,1 5,1

2,2 3,2 4,2 5,2

2,3 3,3 4,3 5,3

2,4 2,4 3,4 4,4

2,5 1,5

4,5 3,5

5,5 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

y

x

2,1 3,1 4,1 5,1

2,2 3,2 4,2 5,2

2,3 3,3 4,3 5,3

2,4 2,4 3,4 4,4

2,5 1,5

4,5 3,5

5,5

Figura 3: Notazione ad un solo indice.

Figura 4: Notazione a due indici.

(5)

Nelle formule seguenti si considera la notazione ad un indice, ma i risultati che si ottengono sono validi anche nel caso della notazione a due indici.

A questo punto si discretizza l’equazione integrale di contorno ( ) ¹ imponendo che essa venga soddisfatta in tutti i nodi della frontiera. Si ottiene quindi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

150

' ' '

, 1 150

' ' '

, ,

1

1 ,

2 1 , 1, 2, 3,...,150

2

k k k

k

k k k

k

i n i n i A n A k A

k A

i n i n i A n A k A g i

k A

c J J J dA

c J J J dA S i

+ + +

=

− − +

=

+ =

− + + =

∑ ∫

r r r r

ɶ

( ) ²

dove ^J

^{n i}⁺^,

⁼ ^J

ⁿ⁺

( ) ^r

ⁱ

è la semi-corrente uscente nel nodo i individuato dal vettore r e

_i

^J

^{n i}⁻^,

⁼ ^J

ⁿ⁻

( ) ^r

ⁱ

^è

la semi-corrente entrante nel nodo i ; S

g i,

= S

g

( ) r

i

è il termine di sorgente valutato nel nodo i . Il coefficiente ^c

ⁱ

⁼ ^c ( ) ^r

ⁱ

è il valore di c nel nodo i . Poiché non sono stati fissati nodi sugli spigoli o sui vertici della frontiera del cubo, allora risulta: 1

i=1,2,3,...,150

i

2 c = ∀ . Inoltre gli integrali

sull’intera frontiera sono stati suddivisi nella somma degli integrali sui 150 elementi della frontiera ( A è l’area dell’elemento k ). La

_k

( ) ² è un’equazione integrale di frontiera, che rappresenta la relazione che correla il nodo i con tutti gli elementi della frontiera, compreso l’elemento k = i . Si assume poi che le semicorrenti entranti ed uscenti ^J

ⁿ^±

( ) ^r siano costanti in ogni elemento e pari al valore che esse assumono nel nodo dell’elemento. In casi come il presente, in cui cioè si fissano i nodi al centro degli elementi e si pone che le funzioni incognite siano costanti in ogni elemento, si dice che vengono impiegati elementi di frontiera costanti.

In virtù dell’ipotesi appena formulata, le semi-correnti entranti ed uscenti, essendo costanti in ogni elemento, possono essere portate fuori dal segno dell’integrale e perciò la ( ) ² assume la seguente espressione:

( ) ( ) ( ) ( )

150

' '

, ,

1

150

' '

, , ,

1

1 ,

4 1 , 1, 2, 3,...,150

4

k k

k

k k

k

n i n i A k A n k

k A

n i n i A k A n k g i

k A

J J dA J

J J dA J S i

+ + +

=

− − −

=

 

+   =

 

 

 

− +   + =

 

 

∑ ∫

r r r

ɶ

( ) ³

La ( ) ³ può essere riscritta nel seguente modo:

, , , , ,

1 1

1, 2, 3,...,150

4 J

^{n i}⁺

+ M J ɶ

^ik ^{n k}⁺

= − 4 J

^{n i}⁻

+ N J ɶ

^ik ^{n k}⁻

+ S

^{g i}

i = ( ) ⁴

dove

( ^,

^'^k

) ( )

^'^k

k

ik n i A k A

A

M ^ɶ = ∫ J ^ɶ

⁺

^{r r} dA ^r ^;

(6)

( ^,

^'^k

) ( )

^'^k

k

ik n i A k A

A

N ^ɶ = ∫ J ^ɶ

⁻

^{r r} dA ^r

Al variare di i , la ( ) ⁴ individua complessivamente un sistema di 150 equazioni lineari. I coefficienti Mɶ e

_ik

Nɶ legano il nodo i all’elemento di frontiera k .

_ik

La ( ) ⁴ può essere riscritta in forma matriciale ed allora diventa:

M J

⁺

= N J

⁻

+ S ˆ ( ) ⁵

dove i vettori J ,

⁺

J ed

⁻

S ˆ sono costituiti da 150 componenti ciascuno, che non sono altro che i valori nei nodi rispettivamente della semi-corrente uscente, della semi-corrente entrante e del termine di sorgente.

Inoltre nella ( ) ⁵ compaiono le matrici M ed N :

M è una matrice quadrata di ordine 150 150 × ed è composta dagli elementi:

( ) ( ) ( ) ( )

' '

, se

1 , se

4

k k

k

k k

k

n i A k A

A ik

n i A k A

A

J dA i k

M

J dA i k

+

 ≠

 

= 

 + =



∫

r r r

ɶ ɶ

;

la matrice N è anche essa una matrice quadrata di ordine 150 150 × ed è costituita dai coefficienti:

( ) ( ) ( ) ( )

' '

, se

1 , se

4

k k

k

k k

k

n i A k A

A ik

n i A k A

A

J dA i k

N

J dA i k

−

 ≠

 

= 

 + =



∫

r r r

ɶ ɶ

;

dove ^J ^ɶ

ⁿ^±

( ) ^{r r}

ⁱ

^,

^j

costituiscono il kernel dell’equazione integrale e sono definiti, come anche già osservato in precedenza, dalle seguenti relazioni:

( ) ( ) ( )

( ) ^,

1 1

, ,

4 2

i k

n i k i k

k

J

⁺

= φ + D ^∂ φ

∂ r r r r r r

r ɶ ɶ

ɶ

( ) ( ) ( )

( ) ^,

1 1

, ,

4 2

i k

n i k i k

k

J

⁻

= φ − D ^∂ φ

∂ r r r r r r

r ɶ ɶ

ɶ

( ^, )

n i k

J ɶ

^±

r r sono quindi combinazioni lineari della funzione di Green e della sua derivata lungo la normale esterna

( ^, )

n i k

J ɶ

^±

r r individuano l’influenza del nodo k sul nodo i e pertanto il nodo k è detto punto potenziante (è il punto da cui parte la sollecitazione), mentre i è detto nodo potenziato (è il punto a cui arriva la sollecitazione dovuta al nodo k ed il cui effetto è espresso da J ɶ

n^±

( r r

i

^,

k

) _).

Raramente gli integrali degli elementi M ed

_ik

N possono essere risolti in modo analitico, quindi

_ik

in genere bisogna ricorrere alla risoluzione numerica (ad esempio si possono anche adottare le

(7)

formule di quadratura di Gauss-Legendre, che però non possono essere utilizzate quando si considerano due nodi coincidenti, in corrispondenza dei quali, essendo ^R ( ^{r r}

ⁱ

^,

ⁱ

) ^{= − =} ^r

ⁱ

^r

ⁱ

⁰ ^{, la}

funzione integranda diverge. In questo caso bisogna allora ricorrere a regole di integrazione di ordine superiore oppure all’integrazione analitica).

Si assume qui che l’influenza sul nodo i di un qualsiasi punto dell’elemento k sia uguale per tutti i punti dell’elemento all’influenza sullo stesso nodo i del nodo appartenente all’omonimo elemento.

In virtù di questa ipotesi gli integrali che costituiscono gli elementi M e

_ik

N possono essere così

_ik

semplificati:

( ^,

^'^k

) ( )

^'^k

⁽ ^, ⁾

^{, ,}

k

n i A k A n i k n i k

A

J

^±

dA J

^±

= J

^±

∫ ^ɶ ^{r r} ^r ^≃ ^ɶ ^{r r} ^ɶ ( ) ⁷

dove A è l’area che compete all’elemento di frontiera k ;

_k

^J ^ɶ

ⁿ^±

( ^{r r}

ⁱ

^,

^k

) ⁼ ^J ^ɶ

^{n i k}^±^{, ,}

^essendo ^{r e}

ⁱ

r i vettori

^k

che individuano rispettivamente i nodi i e k .

Inoltre quando si calcola l’influenza di un generico nodo i su se stesso, allora la formula ( ) ⁷ ^non

può essere utilizzata, perché r

_k

= r , quindi

_i

^R ( ^{r r}

ⁱ

^,

ⁱ

) ^{= − =} ^r

ⁱ

^r

ⁱ

⁰ e pertanto ^J ^ɶ

ⁿ^±

( ^{r r}

ⁱ

^,

^k

) ⁼ ^J ^ɶ

^{n i k}^±^{, ,}

divergono. Pertanto in questo caso bisogna procedere al calcolo analitico dell’integrale relativo all’elemento di area che compete al nodo i e che nel caso in esame è stato ricondotto ad un cerchio di area equivalente per poter sfruttare le coordinate circolari.

Ora è sufficiente calcolare l’ inversa di M , M

⁻¹

, e moltiplicare a sinistra entrambi i membri della

( ) ⁵ per tale matrice, ottenendo così :

J

⁺

= R J

⁻

+ S ( ) ⁶

dove S = M

⁻¹

S ˆ e R = M N

⁻¹

. R è la matrice di risposta o Response Matrix (R-M) della regione omogenea considerata.

La matrice di risposta R consente di determinare la risposta del sistema (ossia il dominio omogeneo) alle sollecitazioni esterne. La risposta del sistema è individuata dalle semi-correnti uscenti dalla regione attraverso la frontiera ( J ), mentre le sollecitazioni esterne sono rappresentate

⁺

dalla sorgente esterna e dalle semi-correnti entranti nel dominio omogeneo (rispettivamente S e

J ).

−

2) APPLICAZIONI DEL METODO DI COLLOCAZIONE Problema 1:

Come prima applicazione dei risultati ottenuti nel paragrafo precedente con il metodo di collocazione, si è considerato un problema caratterizzato dai seguenti dati:

Dati geometrici:

Lato del cubo: l = 15 cm;

Costanti del materiale:

Coefficiente di diffusione: D = 0.15 cm;

Sezione di assobimento macroscopica: Σ

_a

=0.02 cm

^-1

;

Condizioni al contorno:

(8)

Si è assunta la semicorrente entrante dalla faccia 1 del cubo costante ed unitaria in tutti i punti della faccia 1. Si sono invece assunte nulle le semicorrenti entranti dalle altre facce del cubo e la sorgente esterna.

Attraverso i dati a disposizione è stata calcolata la matrice di risposta del sistema e si sono applicate le condizioni al contorno, ottenendo le semicorrenti uscenti dalle sei facce del cubo.

Qui sotto sono riportati i grafici con gli andamenti delle semicorrenti uscenti dalle facce 1, 2 e 3, che sono stati ottenuti interpolando i valori nei 25 nodi di ogni faccia

Figura 5.1: Semi-corrente entrante attraverso la faccia 1. Figura 6.2: Semi-corrente uscente dalla faccia 1.

Figura 7.3: Semi-corrente uscente dalla faccia 3. Figura 8.4: Semi-corrente uscente dalla faccia 4.

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.65 0.7 0.75 0.8

x / l z / l

Semi-corrente uscente dalla faccia 1: Ju1

0 0.2

0.4

0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

y / l z / l

0

0.2 0.4

0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x / l z / l

Semi-corrente uscente faccia 3

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2

Semi-corrente entrante attraverso la faccia 1: Je1

x / l z / l

(9)

Problema 2:

Come seconda applicazione si è considerato il problema 1, in cui si è però modificato il valore del coefficiente D, aumentandolo di un fattore moltiplicativo pari a dieci, ossia ora D = 1.5 cm. Gli altri dati sono invece uguali a quelli corrispondenti del problema 1. Si sono quindi ottenuti i seguenti andamenti delle semi-correnti uscenti dalle facce 1, 3, 4:

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2

x / l z / l

Figura 6.1: Semi-corrente entrante attraverso la faccia 1. Figura 6.2: Semi-corrente uscente dalla faccia 1.

Figura 6.3: Semi-corrente uscente dalla faccia 3. Figura 6.4: Semi-corrente uscente dalla faccia 4.

E’ possibile fare un confronto tra i risultati ottenuti nel problema 1 e quelli ottenuti nel problema 2.

Innanzitutto si osserva che le semi-correnti uscenti da tutte e tre le facce 1, 2, 3 nel problema 1 assumono valori tutti positivi. Ciò invece non si verifica nel problema 2, dove la semi-corrente assume anche valori negativi, in particolare in prossimità degli spigoli. Tale risultato è dovuto al fatto che la teoria della diffusione è approssimata: infatti essa è valida se il libero cammino medio dei neutroni è di gran lunga inferiore alle dimensioni del dominio in cui i neutroni diffondono. Nel problema 2 si è aumentato il valore del coefficiente di diffusione D di un fattore moltiplicativo pari a dieci, di conseguenza è anche aumentato il libero cammino medio dei neutroni e perciò il risultato nel problema 2 risente dell’approssimazione della teoria della diffusione. Inoltre nei punti degli spigoli che la faccia 1 ha in comune con le facce 2 e 4, ossia nei punti della faccia 1 che hanno x = 0

0

0.2 0.4

0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x / l z / l

0 0.2

0.4

0.6 0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4

y / l z / l

0

0.2 0.4 0.6

0.8 1

0 0.5

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

x / l z / l

(10)

o x = 1 e z qualsiasi, la semi-corrente entrante presenta una forte singolarità. Infatti se questi punti sono visti come appartenenti alla faccia 1, allora in essi è imposta una semi-corrente entrante positiva. Se invece questi punti sono considerati appartenenti alla faccia 2 o alla faccia 4, allora in essi è imposta una semi-corrente entrante nulla. Infine l’equazione stazionaria della diffusione è un’equazione di tipo ellittico, quindi presenta le difficoltà matematiche che affliggono questo tipo di equazioni in prossimità dei punti della frontiera a curvatura infinita (come sono appunto gli spigoli del cubo).

Come già osservato, nel problema 2 rispetto al problema 1 i neutroni hanno un libero cammino medio maggiore e ci si può rendere conto di ciò osservando per esempio i grafici relativi alla semi- corrente uscente dalla faccia 4 nei due problemi. Nel problema 2 tale semi-corrente è giustamente maggiore, perché i neutroni, avendo un libero cammino medio maggiore, riescono in maggior numero a raggiungere la faccia 4 e a guadagnare l’uscita dal dominio V.

Infine si può osservare che la semi-corrente uscente dalla faccia 3 nel problema 1 ha la forma di una campana, mentre nel problema 2 essa ha ancora la forma di una campana, ma rovesciata ( il colore rosso individua nel grafico valori maggiori della semi-corrente). Tale risultato è conseguenza della semi-corrente uscente dalla faccia 1: essa, come osservato, assume valori negativi, il che vuol dire che vi sono dei neutroni che entrano. Tali neutroni fuoriescono dal dominio tramite le altre facce della frontiera e fanno sì che la semi-corrente uscente dalla faccia 3 abbia l’andamento ottenuto.

Problema 3:

Come terza applicazione si è considerato il problema caratterizzato dai seguenti dati:

Dati geometrici:

Lato del cubo: l = 15 cm;

Costanti del materiale:

Coefficiente di diffusione: D = 0.15 cm;

Sezione di assobimento macroscopica: Σ

_a

=0.02 cm

^-1

; Condizioni al contorno:

Si è assunta la semicorrente entrante dalla faccia 1 del cubo unitariasolo in alcuni punti della faccia 1, e nulla in tutti gli altri punti della faccia 1. Nel dettaglio:

dove il numero tra parentesi individua il nodo. In tutti gli altri punti della faccia 1 la semi-corrente entrante è nulla.

1 2 3 4 5

11

21 12

22 13

23 14

24 15

25

6 7 8 9 10

16 17 18 19 20

x

z

FACCIA 1

( ) ( ) ( )

2

1 2 3 1 n

cm sec

6 7 8 1 n

cm sec

11 12 13 1 n

cm sec

J J J

+ + +

= = =

Figura 7: Semi-corrente entrante attraverso la faccia 1

(11)

Si sono inoltre assunte nulle le semi-correnti entranti dalle altre facce del cubo e la sorgente esterna.

Si sono quindi ottenuti i seguenti andamenti delle semi-correnti uscenti dalle facce 1, 3, 4:

Figura 8.1: Semi-corrente entrante attraverso la faccia 1. Figura 8.2: Semi-corrente uscente dalla faccia 1.

Figura 8.3: Semi-corrente uscente dalla faccia 3. Figura 8.4: Semi-corrente uscente dalla faccia 4.

Conclusioni:

Il metodo di collocazione presenta alcuni problemi, tutti riconducibili alla singolarità della funzione di Green ed alla singolarità ancora più forte della sua derivata rispetto alla normale esterna alla frontiera. Infatti quando i nodi r ed

_i

r coincidono, allora

_k

^R ( ^{r r}

ⁱ

^,

^k

) ^{= −} ^r

ⁱ

^r

^k

⁼ ⁰ e quindi la funzione di Green diverge. Pertanto è necessario elaborare “ricette” ad hoc per calcolare gli elementi M ed

_ii

N . Inoltre, per aumentare la precisione dei risultati forniti dal metodo di

_ii

collocazione, si è infittito il numero di elementi (e di conseguenza dei nodi), definendone 25 × 25=625 su ogni faccia invece dei 25 considerati nell’esempio appena presentato. Ebbene,

0.2 0.4

0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x / l z / l

0.2 0.4

0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x / l z / l

0.2

0.4

0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(1-x) / l (1-z) / l

0.2 0.4

0.6 0.8

0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y / l z / l

(12)

calcolando la funzione di trasferimento ^J ^ɶ

ⁿ^±

( ^{r r}

ⁱ

^,

^k

) , si sono ottenuti valori non plausibili e tale risultato è dovuto alla singolarità in corrispondenza degli spigoli della funzione di Green e della sua derivata rispetto alla normale esterna alla frontiera. Infatti tale problema si è per esempio manifestato nel calcolo di ^J ^ɶ

ⁿ^±

( ^{r r}

ⁱ

^,

^k

) ^{in cui} ^{r ed}

ⁱ

r appartengono a due facce aventi in comune uno

^k

spigolo e sono tra loro vicini ( R ( r r

i

^,

k

) = − r

i

r

k

→ ⁰ ).

Nonostante i problemi che qui accennati, l’applicazione del metodo di collocazione è stata molto

importante, perché ha permesso di ottenere due risultati fondamentali. Innanzitutto il metodo di

collocazione applicato alla teoria elaborata, avendo consentito di portare a conclusione tutta la

procedura di calcolo e avendo fornito risultati finali corretti, ha dato una dimostrazione della

validità della teoria sviluppata e di un suo possibile impiego pratico. Inoltre l’esecuzione completa

di tutto il procedimento di calcolo ha permesso di individuare e di testare tutte le caratteristiche

della procedura. Questi risultati non sono fini a se stessi, ma si sono rivelati molto utili anche per lo

sviluppo dell’altra tecnica che è stata adottata: la tecnica dei momenti.

(13)

CONCLUSIONI

Per la presente tesi ci si era inizialmente posti come target la determinazione, attraverso il metodo dei momenti, della matrice di risposta di una regione omogenea a forma di cubo rappresentante uno spezzone di assembly omogeneizzata. Purtroppo a causa del breve tempo a disposizione non si è riusciti a raggiungere tale obiettivo. Infatti per gli integrali di influenza si sono ottenuti risultati buoni con almeno sei cifre esatte, tuttavia si sono poi riscontrati problemi per la verifica dei momenti relativi alla funzione di trasferimento,

1 2 1 2

, , ' ' n l l l l

J ɶ

^±

. Infatti per tali momenti non sono disponibili valori di confronto ed il programma Mathematica solo in casi particolari calcola tali integrali quadrupli. Perciò ci si è dovuti restringere solo all’applicazione del metodo di collocazione, che ha rappresentato comunque un momento importante per le motivazioni indicate al fondo del capitolo IV. Nonostante le difficoltà incontrate, si rimane convinti dell’efficacia del metodo elaborato BEM-RM con lo sviluppo in polinomi di Legendre.

1) RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE INTEGRALE DI FRONTIERA

CAPITOLO IV

SOLUZIONE DELL’EQUIAZIONE INTEGRALE DI FRONTIERA MEDIANTE IL METODO DI COLLOCAZIONE