Capitolo 1

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Le macchine sincrone e relativi modelli

1.1

Capitolo 1

Le macchine sincrone e relativi modelli

1.1 Struttura semplificata della macchina sincrona

Le macchine sincrone sono delle macchine elettriche atte alla conversione dell’energia meccanica in energia elettrica e viceversa, esse sono composte da una parte fissa detta statore generalmente esterna e una parte interna, generalmente rotante detta rotore. Le macchine sincrona di potenza maggiore di qualche kW presentano una struttura trifase, ovvero sono presenti 3 avvolgimenti simmetrici sfasati nella macchina di 120°. Questi avvolgimenti sono generalmente costituiti da un elevato numero di spire collegate in serie tra di loro e quindi sono distribuite nello spazio, questa soluzione può essere facilmente resa equivalente a quella di un avvolgimento unico, non distribuito nello spazio, avente un numero minore di spire, tutto questo attraverso il coefficiente di avvolgimento. Quindi la struttura statorica semplificata prevede 3 spire equivalenti sfasate di 120° nella macchina

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Le macchine sincrone e relativi modelli

1.2

La struttura rotorica è utilizzata per creare un campo magnetico, essa è composta nella sua forma più semplice da un blocco di ferro massiccio in cui sono presenti degli avvolgimenti tutti aventi lo stesso asse, quindi questa grosso induttore è utilizzato per creare un importante flusso perpendicolare alle spire rotoriche. Il valore di induzione al traferro ha un andamento sinusoidale. Il materiale statorico è prevalentemente ferro laminato, la laminazione necessaria per un contenimento delle correnti parassite. Un’immagine dello statore è proposto in figura 2. In figura 3 si trova un rotore presente in dipartimento.

Figura 2-statore di un grande turboalternatore

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1.3

Modelli per lo studio delle macchine

I modelli classici per lo studio a regime sinusoidale simmetrico delle macchine sincrone sono 3 ovvero: 1. Metodo di Behn-Eschemrburg

2. Metodo di Potier 3. Metodo di Blondel

Tutti e tre i modelli si basano sulla considerazione di macchina trifase simmetrica e che venga esercita in modo da generare una terna trifase di correnti simmetrica ed equilibrata, sotto queste ipotesi i modelli possono avere la struttura di un monofase equivalente.

1.2 Metodo di Behn-Eschemburg

(liberamente ispirato a http://www.webalice.it/egidiorezzaghi)

Il modello scinde le componenti del flusso concatenato con gli avvolgimenti statorici come se fossero generate separatamente da rotore e statore. Pertanto, alla forza magneto motrice prodotta dalla corrente di eccitazione viene associato un flusso concatenato con la fase di riferimento detto



0, la

cui ampiezza viene determinata per mezzo della curva di risposta a vuoto (ovvero andamento della tensione a vuoto al variare della corrente di eccitazione a velocità nominale). In maniera analoga, alla forza magneto motrice generata dalla terna equilibrata di correnti statoriche si ad una certa corrente statorica viene associato un flusso concatenato con la fase di riferimento detto



1, che viene espresso

come prodotto della corrente della stessa fase per la così detta “induttanza sincrona”

.

Il flusso sinusoidale complessivo



tche si concatena la fase di fase di riferimento risulterà quindi dalla somma

vettoriale



t=



0+



1. La f.e.m. generata a carico negli avvolgimenti d'indotto della macchina risulta

dalla relazione:

𝐸 = 𝑑

𝜙

𝑡 𝑑𝑡 La f.e.m. generata dalla reazione d'indotto vale:

𝐸𝑖 = 𝑑

𝜙

_𝑖

𝑑𝑡

In termini vettoriali viene quindi assunto che la f.e.m. a carico risulti esprimibile come composizione vettoriale delle f.e.m. prodotte dal flusso a vuoto e dal flusso di reazione

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1.4 𝐸⃗ = 𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐸0 ⃗⃗⃗ 𝑖

(Figura 4-equazione 1)

La figura 4 mostra i diagrammi vettoriali relativi ai flussi concatenati, alle f.e.m. ed alle correnti nei tre casi di corrente d'indotto: in fase, in quadratura in ritardo, in quadratura in anticipo rispetto alla 𝐸0 . A vuoto:

Figura 5-digrammi vettoriali relativi ai flussi concatenati nei tre casi: in ritardo, in anticipo, a vuoto

Si assume che la f.e.m. di reazione d'indotto 𝐸𝑖 risulti avere ampiezza proporzionale alla corrente d'indotto I ed in ritardo di 90° sulla stessa. La 𝐸𝑖 è legata da I dalla seguente equazione:

Dove

Sostituendola nelle equazione 1 si ha:

La XI è una reattanza e prende il nome di reattanza fittizia di reazione d'indotto. Tale reattanza fittizia è posta in serie al generatore ideale di f.e.m. sinusoidale E0, e può essere assunta constante in prima

grossolana approssimazione oppure dipendente dal valore della corrente di eccitazione per migliorare l’accuratezza del modello, in particolare nel caso in cui la FMM di reazione di indotto assume entità modesta in rapporto a quella di eccitazione. E’ inserita in serie alla xi e quindi anche a E0 una resistenza

denominata R0 che tenga conto della resistenza statorica relativa alla fase analizzata. I fenomeni

relativi flussi dispersi autoindotti sono modellati attraverso una reattanza denominata Xd.Il modello risultante detto di Behn-Eschemburg è riportato in figura 6

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1.5

Figura 6-modello di Behn-Eschemrburg

In tale modello è possibile unire le due reattanze

𝑋𝑆 = 𝑋𝐼 + 𝑋𝐷

La Xs prende il nome di reattanza sincrona

Figura 7-modello di Behn-Eschemrburg completo

Modello di Potier

(liberamente ispirato a http://www.webalice.it/egidiorezzaghi/) Il modello di Potier ha la struttura riportata in figura 8

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1.6

Figura 8-Modello di Potier

dove E è la forza elettromotrice indotta a carico dovuta all’effettivo flusso complessivo Φ . A tale circuito equivalente corrispondono l’equazione ed il diagramma vettoriale di Potier (per disegnarlo si è ipotizzata l’erogazione di corrente su di un carico ohmico-induttivo con sfasamento ψ):

Figura 9-diagramma vettoriale d macchina

Il modello richiede la determinazione dei valori di R0, XD ed E dipende, dalla corrente di eccitazione,

dalla corrente erogata e dello sfasamento d’uscita a causa della reazione d’indotto, oltre che dalla velocità di rotazione a cui è legata la frequenza.

La caratteristica di magnetizzazione ricavata con la prova a vuoto rappresenta il legame esistente tra la corrente di eccitazione Ie e la forza elettromotrice a vuoto E0 ma, è anche il legame esistente tra

la E0 e la forza magnetomotrice a vuoto F0 essendo quest’ultima direttamente proporzionale alla corrente di eccitazione perché pari al prodotto tra tale corrente ed il numero di spire Ne di ciascun polo induttore.

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1.7

Il modello di Potier ha come aspetto centrale quello di considerare la caratteristica di magnetizzazione ricavata con la prova a vuoto non solo come il legame tra la f.e.m. a vuoto E0 e la

forza magnetomotrice di eccitazione F0, ma anche come il legame tra la f.e.m. a carico E e la forza magnetomotrice equivalente complessiva Feq che agisce a carico (che dipende sia dalla corrente d’eccitazione che dalla reazione d’indotto). Attraverso tale considerazione è, ad esempio, possibile ricavare la f.e.m. a vuoto E0 necessaria al fine di avere una desiderata tensione d’uscita VY con

l’erogazione di una desiderata corrente I sfasata di un desiderato angolo



(tutto questo senza dover supporre lineare il sistema e quindi tenendo conto del tipico funzionamento in saturazione dell’alternatore).

Il procedimento si riassume nei seguenti passi:

1) utilizzando l’equazione di Potier si ricava la effettiva f.e.m. a carico E:

2) utilizzando la caratteristica di magnetizzazione a vuoto, nota la f.e.m. E si ricava la corrente di eccitazione Ieq (è la corrente di eccitazione che servirebbe negli avvolgimenti induttori per sostenere l’erogazione desiderata in assenza della reazione d’indotto)

Figura 10-carrateristica a vuoto

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1.8

dove la corrente Iie prende il nome di corrente di controeccitazione ovvero la corrente che dovrebbe

circolare nell’induttore per produrre gli stessi effetti prodotti dalla reazione d’indotto. Supposta nota la corrente di controeccitazione (il cui valore si può determinare mediante la caratteristica swattata che verrà esposta nel paragrafo successivo), risulta immediato determinare la corrente di eccitazione Ieo:

E’ importante osservare che il modello di Potier permette di tenere conto della non linearità del sistema e questo grazie al fatto di comporre i flussi ma bensì le forze magnetomotrici. Per identificare il modello di Potier occorre quindi conoscere la reattanza di dispersione XD e la

forza magnetomotrice di reazione d’indotto FI (oppure la corrente di controeccitazione Iie). Per determinare tali grandezze oltre alla misura della resistenza dell’indotto, alla determinazione delle caratteristiche di magnetizzazione e di cortocircuito serve una ulteriore prova per la determinazione della caratteristica swattata.

La determinazione del triangolo di Potier di



e di X

D

Per la determinazione del triangolo di Potier è sufficiente conoscere la caratteristica di magnetizzazione a vuoto Eo = f(Ie), la caratteristica di cortocircuito Icc = f(Ie) ed un punto P della

caratteristica swattata collocato dopo il ginocchio e relativo ad una arbitraria corrente erogata. La procedura è la seguente:

1) si individua sul piano il punto P in figura 12 della caratteristica swattata di ascissa Ieo ed

ordinata VY ed allo scopo è necessaria una sola misura a carico swattato eseguita per la corrente

erogata I (nella pratica la prova per essere accettabile richiede che sia condotta per un fattore di potenza non superiore a 0,2 in ritardo);

2) sulla caratteristica di cortocircuito si individua il punto B avente ordinata pari ad I, quindi si legge la sua ascissa rappresentata dal segmento O_A e dal valore Iecc;

3) a partire dal punto P si traccia il segmento P_U parallelo e uguale al segmento O_A;

4) a partire dalla estremità U del segmento P_U si traccia la semiretta r parallela al primo tratto lineare della caratteristica di magnetizzazione e si individua l’intersezione R con la caratteristica stessa; 5) dal punto R si traccia la perpendicolare t al segmento U_P individuando il punto di intersezione Q; 6) il triangolo rettangolo QPR è il triangolo di Potier

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1.9

Figura 11-caratteristica a vuoto e triangolo di potier

Individuato il triangolo di Potier è immediato determinare  ed XD

𝑅_𝑄 = 𝑋𝑑∗ 𝐼 𝑋𝑑= 𝑅_𝑄 𝐼 𝑃_𝑄 = 𝛼 ∗ 𝐼 𝛼 =𝑃_𝑄 𝐼

Dato il fattore di potenza d’uscita dell’alternatore cos, la tensione d’uscita V e la corrente erogata I, essendo nota la reattanza di dispersione XD si può legare la tensione d’uscita VY con la forza

elettromotrice effettiva E mediante le relazioni:

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1.10

Concludendo si può dire che il modello di Potier permette di tener conto dei fenomeni della saturazione magnetica dando così risultati più precisi che non il modello di Behn Eschemburg, ma rimane la condizione riguardante l’isotropia della macchina che è soddisfatta solo se il rotore è a poli lisci. Nel caso di macchina a poli salienti, se si desidera un modello meglio approssimante, si dovrà ricorrere alla teoria di Park-Blondel.

Metodo di Blondel

(liberamente ispirato a http://laeman.altervista.org/Blog/lecture-notes/)

Il metodo di Blondel si applica alle macchine sincrone anisotrope, come in figura 13

Figura 12-immagine di macchina sincrona anisotropa

Le espansioni polari sono sagomate in modo tale da produrre almeno a vuoto un profilo di campo di induzione al traferro il più possibile sinusoidale:

Figura 13-espansioni polari e relativa induzione al traferro

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1.11

A questo campo Be corrisponde un flusso concatenato con una delle fasi statore ψse pari a

Ψse assume un andamento sinusoidale nel tempo avente pulsazione pari a p volte la velocità del angolare del rotore, dando quindi luogo a una fem indotta e0

Se la macchina è chiusa su un carico si genera una corrente Is sinusoidale:

Dove ψ è proprio lo sfasamento tra is e E0 . Fino a questo punto non ci sono differenze tra una macchina

a rotore liscio ed una a poli salienti. La f.m.m. di statore (proporzionale alla corrente Is) si decompone

lungo l’asse polare (questa parte della f.m.m. prende il nome di f.m.m. diretta) e l’asse interpolare (questa parte della f.m.m. prende il nome di f.m.m. in quadratura).

La is:

Ponendo:

si possono determinare gli andamenti dei campi di induzione magnetica al traferro in funzione dovuti alle correnti Id,Iq:

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