LAVORO DI MATEMATICA Supponiamo che due giocatori,

LAVORO DI MATEMATICA

Supponiamo che due giocatori, A e B, facciano il seguente gioco: hanno un sacchetto con dieci palline numerate da 1 a 10. Si estrae una pallina: se viene un numero minore di 4 il giocatore A riceve 6 euro da B, in tutti gli altri casi B riceve 3 euro da A.

Quanto si può aspettare di guadagnare A in questo gioco? Supponiamo di fare 100 estrazioni (la pallina estratta precedentemente viene sempre rimessa nel sacchetto). I numeri minori di 4 sono 3, quindi ci si può aspettare che 30 volte su 100 A riceva 6 euro da B; ma 70 volte su 100 sarà B a ricevere 3 euro da A (è come se A ricevesse −3 euro da B). Il quadagno di A nelle 100 giocate si può prevedere che ammonti a 6¿×30+(−3¿)×70 = 180¿−210¿ = −30¿. Quindi in media sulle cento giocate, il guadagno sarà −

. Il giocatore A ogni volta che fa una giocata perde 30 centesimi di euro, che ovviamente guadagna il giocatore B.

Se il gioco fosse equo, il guadagno medio di ogni giocatore dovrebbe essere nullo.

1. Un giocatore vince 2¿ con probabilità

, 4¿ con probabilità

e −15¿ con probabilità

.

(a) verica che la somma delle probabilità è 1(questo signica che non abbiamo dimenticato alcuni casi e non ne abbiamo contati alcuni più di una volta)

(b) calcola il guadagno medio del giocatore.

2. Un sacchetto contiene 7 palline rosse e 5 nere. Due giocatori, A e B, giocano nel modo seguente: fanno un'strazione casuale, se viene una pallina rossa A riceve 2¿ da B, se esce nera B riceve 3¿ da A.

(a) calcola il guadagno medio e verica che il gioco non è equo;

(b) quante palline rosse e quante palline nere si potrebbero aggiungere al sacchetto per far diventare equo il gioco?

3. Un gioco prevede che si estragga a caso una pallina da un'urna in cui si trovano 40 palline numerate da 1 a 40.

Se il numero sulla pallina è non superiore a 15 si riceve un euro, se è maggiore di 15, ma non superiore a 25 si

ricevono due euro, in tutti gli altri casi tre euro. Quanto si ricava in media da questo tipo di gioco? Quanto si

dovrebbe pagare per fare una giocata, se si volesse rispettare un vincolo di equità?