Funzioni simmetriche Maurizio Cornalba

(1)

Funzioni simmetriche Maurizio Cornalba

9/3/2012

Sia A un anello commutativo, e siano X 1 , X 2 , . . . , X n indeterminate su A. Per ogni multiindice J = (j ₁ , . . . , j _h ) poniamo

X ^J =

h

Y

i=1

X _i ^j

ⁱ

= X ₁ ^j

¹

X ₂ ^j

²

· · · X _h ^j

^h

Il grado del monomio X ^J ` e P j _i . Ogni polinomio nelle X a coefficienti in A si scrive in modo unico sotto la forma

X

J

a _J X ^J

dove gli a _J sono elementi di A, tutti nulli salvo che per un numero finito di multiindici J . Il grado di un tale polinomio ` e il massimo dei gradi dei monomi X ^J tali che a J 6= 0.

Un polinomio P ∈ A[X ₁ , . . . , X _n ] si dice simmetrico se

P (X _{τ (1)} , X _{τ (2)} , . . . , X _{τ (n)} ) = P (X 1 , X 2 , . . . , X n )

per ogni permutazione τ ∈ S n . I polinomi simmetrici vengono chiamati anche funzioni simmetri- che. ` E chiaro che somme e prodotti di polinomi simmetrici sono simmetrici; dunque le funzioni simmetriche costituiscono un sottoanello di A[X ₁ , . . . , X _n ]. I seguenti polinomi sono simmetrici e vengono chiamati funzioni simmetriche elementari:

σ 0 (X 1 , . . . , X n ) = 1 σ ₁ (X ₁ , . . . , X _n ) = X

j

X _j

σ 2 (X 1 , . . . , X n ) = X

j

1

<j

2

X j

1

X j

2

. . . σ i (X 1 , . . . , X n ) = X

j

1

<j

2

<···<j

i

X j

1

X j

2

· · · X _j

_i

. . .

σ _n (X ₁ , . . . , X _n ) = X ₁ · · · X _n

Lemma 1. Siano α 1 , . . . , α n elementi di un anello commutativo B e sia X una indeterminata su B. Allora

n

Y

i=1

(X − α i ) =

n

X

h=0

(−1) ^h σ _h (α 1 , . . . , α n )X ^n−h

in B[X].

Dimostrazione. Svolgendo il prodotto Q(X − α _i ) si ottiene una somma di prodotti di n termi-

ni, l’i-esimo dei quali ` e X o −α _i . In altre parole, Q(X − α _i ) ` e somma di termini del tipo

X ^n−h (−α i

1

) · · · (−α i

h

) = (−1) ^h X ^n−h α i

1

· · · α _i

_h

con i 1 < · · · < i h . Da qui la tesi.

(2)

Teorema 1. L’anello delle funzioni simmetriche in A[X 1 , . . . , X n ] ` e A[σ 1 , . . . , σ n ]; in altre parole, ogni funzione simmetrica ` e un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari, e viceversa. Inoltre σ ₁ , . . . , σ _n sono algebricamente indipendenti su A.

Dimostrazione. ` E chiaro che ogni elemento di A[σ ₁ , . . . , σ _n ] ` e una funzione simmetrica. Viceversa, sia F una funzione simmetrica. Dobbiamo mostrare che F ` e esprimibile come un polinomio in σ 1 , . . . , σ n . Scriviamo F = P F _h , dove F h ` e la componente omogenea di grado h di F , cio` e la somma di tutti i monomi di grado h che compaiono in F . E chiaro che gli F ` _h sono polinomi simmetrici. Nella dimostrazione possiamo quindi supporre che F sia omogeneo, cio` e somma di monomi tutti dello stesso grado. Se I = (i 1 , . . . , i n ) e J = (j 1 , . . . , j n ) sono multiindici diremo che I ` e maggiore di J , e scriveremo I > J , se c’` e h tale che i _` = j _` per ogni ` < h e i _h > j _h . In questo caso diremo anche che il monomio X Î ` e maggiore di X ^J e scriveremo X Î > X ^J . Notiamo che, se X ^H ` e un altro monomio, X ^H X Î = X ^H+I > X ^H+J = X ^H X ^J . Ne segue che, se X ^K > X ^H , allora X ^K X Î > X ^H X ^J .

Ora sia X ^K , K = (k ₁ , . . . , k _n ), il massimo monomio che compare (con coefficiente non nullo) in F . Dato che F ` e simmetrico, in F compaiono anche tutti i monomi X ^K

^τ

, dove τ ` e una permutazione e K τ = (k τ

1

, . . . , k τ

n

). Quindi k 1 ≥ k ₂ ≥ · · · ≥ k _n . ` E chiaro che il massimo monomio che compare in σ _i ` e X ₁ · · · X _i . Il massimo monomio che compare in σ ₁ ^d

¹

· · · σ _n ^d

ⁿ

` e il prodotto dei massimi monomi dei fattori, ed ` e quindi X ^J , J = (j 1 , . . . , j n ), dove j i = d i + d i+1 + · + d n . Se poniamo d 1 = k 1 − k ₂ , d 2 = k 2 −k ₃ , . . . , d n = k n , allora d i +· · ·+d n = k i , e quindi il massimo monomio che compare in σ ^d ₁

¹

· · · σ ^d _n

ⁿ

` e X ^K . Ne segue che il massimo monomio che compare in F −a _K σ ₁ ^d

¹

· · · σ _n ^d

ⁿ

` e strettamente minore di X ^K . Iterando questo procedimento si conclude che F ` e una combinazione lineare di monomi nelle funzioni simmetriche elementari, cio` e un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari. Questo dimostra la prima delle affermazioni del teorema.

Ora mostriamo che le funzioni simmetriche elementari sono algebricamente indipendenti. Ra- gioniamo per assurdo supponendo che ci sia un polinomio non nullo P (X 1 , . . . , X n ) = P a _I X ^I tale che P (σ ₁ , . . . , σ _n ) = 0. Per ogni multiindice D = (d ₁ , . . . , d _n ) definiamo un altro multiindice K(D) = (k 1 , . . . , k n ) ponendo k i = d i + · · · + d n . Il massimo monomio che compare in σ ^d ₁

¹

· · · σ ^d _n

ⁿ

` e X ^K(D) . Notiamo che se K(D) = K(D ⁰ ) allora D = D ⁰ . Sia D il multiindice, tra quelli per cui a _D 6= 0, per cui X ^K(D) ha grado massimo ed ` e massimo. Per quanto si ` e osservato, il monomio X ^K(D) compare in P (σ ₁ , . . . , σ _n ) con coefficiente a _D , il che ` e assurdo.

Definiamo nuove funzioni simmetriche p 1 , p 2 , . . . ponendo

p k (X 1 , . . . , X n ) =

n

X

i=1

X _i ^k .

E importante osservare che, come del resto le funzioni simmetriche elementari σ ` i , le p i godono della propriet` a che p i (X 1 , . . . , X _h , 0, . . . , 0) = p i (X 1 , . . . , X _h ).

Proposizione 1 (Identit` a di Newton). Per ogni intero k > 0

k−1

X

i=0

(−1) ⁱ σ _i p _k−i + (−1) ^k kσ _k = 0 .

Dimostrazione. Per k = n basta sommare, al variare di j, le identit` a

n

X

i=0

(−1) ⁱ σ _i (X ₁ , . . . , X _n )X _j ⁿ⁻ⁱ = 0 .

(3)

Per k > n ci si riduce al caso precedente ponendo X n+1 = · · · = X _k = 0 nell’identit` a di Newton per k = n. Resta da trattare il caso k < n. Ci serve la seguente osservazione.

Lemma 2. Sia f (X ₁ , . . . , X _n ) una funzione simmetrica omogenea di grado k tale che f (X ₁ , . . . , X _k−1 , 0, . . . , 0) = 0 .

Allora f ` e un multiplo di σ _k .

La dimostrazione del lemma ` e semplice. Per il teorema 1, f = hσ _k +P (σ ₁ , . . . , σ _k−1 ), dove P ` e un polinomio. Quindi 0 = f (X 1 , . . . , X k−1 , 0, . . . , 0) = P (σ 1 (X 1 , . . . , X k−1 ), . . . , σ k−1 (X 1 , . . . , X k−1 )).

Dato che le funzioni simmetriche elementari sono algebricamente indipendenti, sempre per il teo- rema 1, questo implica che il polinomio P ` e nullo.

Possiamo ora concludere la dimostrazione della proposizione 1. Poniamo f = P k−1

i=0 (−1) ⁱ σ i p k−i . L’identit` a di Newton per n = k − 1 ci dice che f (X 1 , . . . , X _k−1 , 0, . . . , 0) = 0, e quindi il lemma appena dimostrato ci assicura che f ` e un multiplo di σ _k . La costante di proporzionalit` a ` e (−1) ^k−1 k, come risulta dall’identit` a di Newton per k = n, che d` a

Funzioni simmetriche Maurizio Cornalba

Funzioni simmetriche Maurizio Cornalba

9/3/2012

Sia A un anello commutativo, e siano X 1 , X 2 , . . . , X n indeterminate su A. Per ogni multiindice J = (j 1 , . . . , j h ) poniamo

X J =

h

Y

i=1

X i j

= X 1 j

X 2 j

· · · X h j

Il grado del monomio X J ` e P j i . Ogni polinomio nelle X a coefficienti in A si scrive in modo unico sotto la forma

X

J

a J X J

dove gli a J sono elementi di A, tutti nulli salvo che per un numero finito di multiindici J . Il grado di un tale polinomio ` e il massimo dei gradi dei monomi X J tali che a J 6= 0.

Un polinomio P ∈ A[X 1 , . . . , X n ] si dice simmetrico se

P (X τ (1) , X τ (2) , . . . , X τ (n) ) = P (X 1 , X 2 , . . . , X n )

σ 0 (X 1 , . . . , X n ) = 1 σ 1 (X 1 , . . . , X n ) = X

j

X j

σ 2 (X 1 , . . . , X n ) = X

j

<j

X j

X j

. . . σ i (X 1 , . . . , X n ) = X

j

<j

<···<j

X j

X j

· · · X j

. . .

σ n (X 1 , . . . , X n ) = X 1 · · · X n

Lemma 1. Siano α 1 , . . . , α n elementi di un anello commutativo B e sia X una indeterminata su B. Allora

n

Y

i=1

(X − α i ) =

n

X

h=0

(−1) h σ h (α 1 , . . . , α n )X n−h

in B[X].

Dimostrazione. Svolgendo il prodotto Q(X − α i ) si ottiene una somma di prodotti di n termi-

ni, l’i-esimo dei quali ` e X o −α i . In altre parole, Q(X − α i ) ` e somma di termini del tipo

X n−h (−α i

) · · · (−α i

) = (−1) h X n−h α i

· · · α i

con i 1 < · · · < i h . Da qui la tesi.

Teorema 1. L’anello delle funzioni simmetriche in A[X 1 , . . . , X n ] ` e A[σ 1 , . . . , σ n ]; in altre parole, ogni funzione simmetrica ` e un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari, e viceversa. Inoltre σ 1 , . . . , σ n sono algebricamente indipendenti su A.

Ora sia X K , K = (k 1 , . . . , k n ), il massimo monomio che compare (con coefficiente non nullo) in F . Dato che F ` e simmetrico, in F compaiono anche tutti i monomi X K

, dove τ ` e una permutazione e K τ = (k τ

, . . . , k τ

). Quindi k 1 ≥ k 2 ≥ · · · ≥ k n . ` E chiaro che il massimo monomio che compare in σ i ` e X 1 · · · X i . Il massimo monomio che compare in σ 1 d

· · · σ n d

` e il prodotto dei massimi monomi dei fattori, ed ` e quindi X J , J = (j 1 , . . . , j n ), dove j i = d i + d i+1 + · + d n . Se poniamo d 1 = k 1 − k 2 , d 2 = k 2 −k 3 , . . . , d n = k n , allora d i +· · ·+d n = k i , e quindi il massimo monomio che compare in σ d 1

· · · σ d n

` e X K . Ne segue che il massimo monomio che compare in F −a K σ 1 d

· · · σ n d

` e strettamente minore di X K . Iterando questo procedimento si conclude che F ` e una combinazione lineare di monomi nelle funzioni simmetriche elementari, cio` e un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari. Questo dimostra la prima delle affermazioni del teorema.

· · · σ d n

` e X K(D) . Notiamo che se K(D) = K(D 0 ) allora D = D 0 . Sia D il multiindice, tra quelli per cui a D 6= 0, per cui X K(D) ha grado massimo ed ` e massimo. Per quanto si ` e osservato, il monomio X K(D) compare in P (σ 1 , . . . , σ n ) con coefficiente a D , il che ` e assurdo.

Definiamo nuove funzioni simmetriche p 1 , p 2 , . . . ponendo

p k (X 1 , . . . , X n ) =

n

X

i=1

X i k .

E importante osservare che, come del resto le funzioni simmetriche elementari σ ` i , le p i godono della propriet` a che p i (X 1 , . . . , X h , 0, . . . , 0) = p i (X 1 , . . . , X h ).

Proposizione 1 (Identit` a di Newton). Per ogni intero k > 0

k−1

X

i=0

(−1) i σ i p k−i + (−1) k kσ k = 0 .

Dimostrazione. Per k = n basta sommare, al variare di j, le identit` a

n

Sia A un anello commutativo, e siano X 1 , X 2 , . . . , X n indeterminate su A. Per ogni multiindice J = (j ₁ , . . . , j _h ) poniamo

X ^J =

X _i ^j

= X ₁ ^j

X ₂ ^j

· · · X _h ^j

Il grado del monomio X ^J ` e P j _i . Ogni polinomio nelle X a coefficienti in A si scrive in modo unico sotto la forma

a _J X ^J

dove gli a _J sono elementi di A, tutti nulli salvo che per un numero finito di multiindici J . Il grado di un tale polinomio ` e il massimo dei gradi dei monomi X ^J tali che a J 6= 0.

Un polinomio P ∈ A[X ₁ , . . . , X _n ] si dice simmetrico se

P (X _{τ (1)} , X _{τ (2)} , . . . , X _{τ (n)} ) = P (X 1 , X 2 , . . . , X n )

σ 0 (X 1 , . . . , X n ) = 1 σ ₁ (X ₁ , . . . , X _n ) = X

X _j

· · · X _j

σ _n (X ₁ , . . . , X _n ) = X ₁ · · · X _n

(−1) ^h σ _h (α 1 , . . . , α n )X ^n−h

Dimostrazione. Svolgendo il prodotto Q(X − α _i ) si ottiene una somma di prodotti di n termi-

ni, l’i-esimo dei quali ` e X o −α _i . In altre parole, Q(X − α _i ) ` e somma di termini del tipo

X ^n−h (−α i

) = (−1) ^h X ^n−h α i

· · · α _i

Teorema 1. L’anello delle funzioni simmetriche in A[X 1 , . . . , X n ] ` e A[σ 1 , . . . , σ n ]; in altre parole, ogni funzione simmetrica ` e un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari, e viceversa. Inoltre σ ₁ , . . . , σ _n sono algebricamente indipendenti su A.

Ora sia X ^K , K = (k ₁ , . . . , k _n ), il massimo monomio che compare (con coefficiente non nullo) in F . Dato che F ` e simmetrico, in F compaiono anche tutti i monomi X ^K

). Quindi k 1 ≥ k ₂ ≥ · · · ≥ k _n . ` E chiaro che il massimo monomio che compare in σ _i ` e X ₁ · · · X _i . Il massimo monomio che compare in σ ₁ ^d

· · · σ _n ^d

` e il prodotto dei massimi monomi dei fattori, ed ` e quindi X ^J , J = (j 1 , . . . , j n ), dove j i = d i + d i+1 + · + d n . Se poniamo d 1 = k 1 − k ₂ , d 2 = k 2 −k ₃ , . . . , d n = k n , allora d i +· · ·+d n = k i , e quindi il massimo monomio che compare in σ ^d ₁

· · · σ ^d _n

` e X ^K . Ne segue che il massimo monomio che compare in F −a _K σ ₁ ^d

· · · σ _n ^d

` e strettamente minore di X ^K . Iterando questo procedimento si conclude che F ` e una combinazione lineare di monomi nelle funzioni simmetriche elementari, cio` e un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari. Questo dimostra la prima delle affermazioni del teorema.

· · · σ ^d _n

` e X ^K(D) . Notiamo che se K(D) = K(D ⁰ ) allora D = D ⁰ . Sia D il multiindice, tra quelli per cui a _D 6= 0, per cui X ^K(D) ha grado massimo ed ` e massimo. Per quanto si ` e osservato, il monomio X ^K(D) compare in P (σ ₁ , . . . , σ _n ) con coefficiente a _D , il che ` e assurdo.

X _i ^k .

E importante osservare che, come del resto le funzioni simmetriche elementari σ ` i , le p i godono della propriet` a che p i (X 1 , . . . , X _h , 0, . . . , 0) = p i (X 1 , . . . , X _h ).

(−1) ⁱ σ _i p _k−i + (−1) ^k kσ _k = 0 .

(−1) ⁱ σ _i (X ₁ , . . . , X _n )X _j ⁿ⁻ⁱ = 0 .

Per k > n ci si riduce al caso precedente ponendo X n+1 = · · · = X _k = 0 nell’identit` a di Newton per k = n. Resta da trattare il caso k < n. Ci serve la seguente osservazione.

Lemma 2. Sia f (X ₁ , . . . , X _n ) una funzione simmetrica omogenea di grado k tale che f (X ₁ , . . . , X _k−1 , 0, . . . , 0) = 0 .

Allora f ` e un multiplo di σ _k .

La dimostrazione del lemma ` e semplice. Per il teorema 1, f = hσ _k +P (σ ₁ , . . . , σ _k−1 ), dove P ` e un polinomio. Quindi 0 = f (X 1 , . . . , X k−1 , 0, . . . , 0) = P (σ 1 (X 1 , . . . , X k−1 ), . . . , σ k−1 (X 1 , . . . , X k−1 )).

f (X ₁ , . . . , X _k , 0, . . . , 0) = (−1) ^k−1 kσ _k (X ₁ , . . . , X _k , 0, . . . , 0) .

in funzione delle σ _i e viceversa. Per esempio abbiamo p ₁ = σ ₁

p ₂ = σ ₁ p ₁ − 2σ ₂ = σ ² ₁ − 2σ ₂

p 3 = σ 1 p 2 − σ ₂ p 1 + 3σ 3 = σ ₁ ³ − 3σ ₂ σ 1 + 3σ 3

σ ₁ = p ₁ σ ₂ = 1

2 p ² ₁ − 1 2 p ₂ σ 3 == 1

6 p ³ ₁ − 1