1. Sia X uno spazio topologico e siano K 1 , . . . , K n sottoinsiemi compatti di X. Dimostrare che il sottoinsieme

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 8

28 Novembre 2013

1. Sia X uno spazio topologico e siano K ₁ , . . . , K _n sottoinsiemi compatti di X. Dimostrare che il sottoinsieme

Y :=

n

[

i=1

K _i

di X ` e compatto.

2. Sia X uno spazio topologico e sia f : X → R un’applicazione localmente limitata (ossia tale che per ogni x ∈ X esiste un intorno U x di x in X con f | U

: U x → R limitata).

Provare che se X ` e compatto allora f ` e limitata.

3. Sia {X _i } _i∈I una famiglia di spazi topologici e sia X := Q

i∈I X _i lo spazio prodotto.

Dimostrare che

(a) se X i ` e localmente connesso per archi per ogni i ∈ I e X i ` e connesso per archi per quasi ogni i ∈ I allora X ` e localmente connesso per archi;

(b) se X 6= ∅ e X ` e localmente connesso per archi allora X i ` e localmente connesso per archi per ogni i ∈ I e X _i ` e connesso per archi per quasi ogni i ∈ I.

4. Provare che se X ` e uno spazio topologico 2-numerabile e B ` e una base di aperti di X allora esiste una sottofamiglia numerabile di B che ` e una base di aperti di X.

5. Siano σ e τ due topologie su un insieme X tali che σ ⊂ τ . Mostrare che se (X, σ) ` e di Hausdorff e (X, τ ) ` e compatto allora σ = τ .

6. Sia f : X → Y un’applicazione da uno spazio topologico X compatto e di Hausdorff in uno spazio topologico Y e sia Γ _f ⊂ X × Y il grafico di f . Provare che Γ _f ` e compatto e di Hausdorff se e soltanto se f ` e continua.

7. Sia X uno spazio topologico e sia {A _i } _i∈I un ricoprimento di X localmente finito (ossia tale che ogni punto di X ha un intorno che interseca A _i solo per un numero finito di indici i). Mostrare che se X ` e compatto allora {A <sub>i</sub> } <sub>i∈I</sub> ` e finito.

8. Sia τ cof la topologia cofinita su R. Provare che (R, τ ^cof ) ` e compatto.

9. Sia σ la topologia su R che ha per base gli intervalli della forma [a, b) con a < b e sia I := [0, 1].

(a) Provare che I ` e chiuso in (R, σ).

(b) Mostrare che I non ` e compatto in (R, σ).

10. Su R ² euclideo si consideri la relazione di equivalenza

(x, y) ∼ (x ⁰ , y ⁰ ) se x ² + y ² = x ⁰² + y ⁰² .

Stabilire se il quoziente R ² / ∼ ` e compatto.