Matrice inversa con la tecnica della matrice aggiunta

(1)

1

ESERCIZIO 4.

(

CONTINUAZIONE

)

Matrice inversa con la tecnica della matrice aggiunta

Sia A =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

1 2 4

1 0 2

1 1 2

∈ M

3

(R) . Verificare che A è invertibile e determinare la matrice inversa A

^-1

.

E’ noto dalla teoria che se A è una matrice quadrata:

A è invertibile ⇔ det(A) ≠0

Calcoliamo detA =

1 2 4

1 0 2

1 1 2 −

tramite lo ′

SVILUPPO DI

L

APLACE

′ secondo la prima riga R

1

così :

det A = 2

₂⁰ ₁¹

- (-1)

₄² ₁¹

+1

₄² ₂⁰

ogni elemento della prima riga viene moltiplicato per il suo complemento algebrico, minore di ordine 2x2 ( a meno del segno)(*), che si sa calcolare e dunque : det A = 2(-2)+1(-2)+1(4) = -2

≠0

N.B.

Si prova che lo sviluppo del determinante può essere effettuato indifferentemente lungo qualsiasi riga e qualsiasi colonna. Era meglio sviluppare lungo R₂ o C₂dove c’è uno zero!

Vediamo ora l’algoritmo per determinare la matrice aggiunta.

(*)Vedi la pagina successiva per la precisazione

2

1.Passo dell’algoritmo : costruzione della matrice ^tA, trasposta di A

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

=

1 2 4

1 0 2

1 1 2

A

⎯ ⎯

_scambio

⎯ ⎯

_righe

⎯

_con

⎯

_colonne

⎯ ⎯ ⎯ →

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 1

2 0 1

4 2 2

tA

2.Passo dell’algoritmo : costruzione della matrice Agg(A), aggiunta di A

Agg(A) = matrice i cui elementi sono i complementi algebrici della matrice

^t

A

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 1

2 0 1

4 2 2 A

t

complemento algebrico di a_r,s è il prodotto del minore

complementare (determinante della sottomatrice 2x2 , ottenuta cancellando la riga e la colonna dell’elemento stesso a_r,s) per il numero (-1)^r+s , con r =posto di riga, s = posto di colonna.

a

11

=2 A

11

= (-1)

¹⁺¹ ₁⁰ ₁²

=-2

(A11 compl. alg. di a11)

posto di colonna

posto di riga

(2)

3

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 1

2 0 1

4 2 2

tA

a

12

=2 A

12

= (-1)

¹⁺²⁻₁¹ ₁²

= -3, …

_⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

2 8 4

0 2 2

1 3 2 Agg(A)

3.Passo dell’algoritmo : moltiplicazione della matrice Agg(A) per il numero _det(¹_A₎ Si conclude: A^-1= _det(¹_A₎ Agg(A)

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

2 8 4

0 2 2

1 3 2 2 1

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 4

2

0 1 1

2 / 1 2 / 3 1

ok!

Osservazione. Questo metodo di calcolare l’inversa , di certo più elegante della tecnica di riduzione, in realtà dal punto di vista calco- lativo richiede in generale un numero maggiore di operazioni. Basta pensare ad una matrice A 10x10, in cui sarà necessario calcolare 10x10

= 100 determinanti di matrici 9x9 ! Mentre con il metodo di riduzione si effettuano un numero di operazioni (circa) pari al calcolo di det A.

Però va notato che questo metodo nel caso di calcolo manuale di matrici 2x2 , 3x3 può a volte risultare vantaggioso.

Esercizio. Determinare A^-1 con A = _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ d c

b

a nell’ipotesi ad-bc≠0

Risposta: A^-1 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

− −

−

bc ad

a bc ad

c ad bc

b bc ad

d

4

ESERCIZIO 5.

Sistema di Cramer

Dato il sistema lineare

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

− +

=

− +

−

= + + +

0 t 4y x

0 t 3y x

1 t z y x

1 2t z 2y x

a) Provare che ha un’unica soluzione

b) Determinare la soluzione facendo uso della regola di Cramer.

a)

I sistemi che soddisfano questi requisiti:

Æ n equazioni, n incognite

Æ det(A) ≠ 0, con A matrice dei coefficienti delle incognite sono detti SISTEMI DI CRAMER e hanno 1! (un’unica) soluzione, che sappiamo essere la matrice nx1, X= A^-1b ottenuta moltipli- cando a sinistra AX= b per A^-1(A^-1esiste perché det(A)≠0.

A^-1AX= A^-1b => X= A^-1b).

a)

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

0 0 1 1

1 0 4 1

1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

A =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 4 1

1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

A′ =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 4 1

1 0 3 1

3 0 3 0

2 1 2 1

Questa operazione elemen- tare non altera det(A)

R

2

→ R

2

– R

1

4 equazioni - 4 incognite Verifichiamo: det(A)

≠

0

(3)

5

det(A) = det(A′)=

1 4 1

1 3 1

3 3 0

−

= -1(-3+12) +1(3+9)=3 ≠ 0

⇒ il sistema è di Cramer ed ha quindi un’unica soluzione.

b) La regola di Cramer, applicata ai sistemi lineari di Cramer : dice semplicentente come è fatta la matrice X= A^-1b

x1 =

det(A) Δ

₁

, x2 =

det(A) Δ

₂

,… , xn =

det(A) Δ

_n

dove Δi = det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna di A/b con la colonna dei termini noti.

x= ⁰ _det(A)⁴ ⁰ ¹ 1 0 3 0

1 1 1 1

2 1 2 1

−

= 0 perché C1= C3

analogamente si ottiene y=0, t=0, mentre

Colonna dei termini noti

6

z= ¹ _det(A)⁴ ⁰ ¹ 1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

−

= _det(A)^det(A)=1

(… il calcolo è qui particolarmente semplice, a differenza di quanto succede usualmente ! )

Conclusione: l’unica soluzione è (0,0,1,0)

Osservazione. Analogamente a quanto osservato sopra per la matrice aggiunta, la regola di Cramer per sistemi con un grande numero di incognite non è vantaggiosa dal punto di vista computa- zionale. Rispetto al metodo di riduzione richiede infatti un numero molto più elevato di operazioni, dovendo effettuare il calcolo di n+1 determinanti !

Colonna dei termini noti