Forme quadratiche 18/12

Forme quadratiche 18/12

Riassunto

Una forma lineare è un applicazione lineare f : Rⁿ → R. Segue che

f (x1, . . . , xn) = a¹x1 + · · · + aⁿxn = Av,

dove A è la ‘matrice’ (a₁ · · · aⁿ) che rappresenta f e v il vettore colonna ^t(x₁ · · · xⁿ). Se A non è nullo, Im f = R e quindi kerf sarà un sottospazio di dimensione n− 1 di Rⁿ. Mentre f è CL di x1, . . . , xn, una forma quadratica è CL di x₁², . . . , x_n², x₁x₂, x₁x₃, . . . e quindi una funzione Rⁿ → R del tipo

q(x₁, . . . , x_n) =

n

X

i,j=1

a_ijx_ix_j,

unicamente determinata da una matrice simmetrica A = (a^ij).

Per n = 2, 3 otteniamo

q(x, y) = a₁₁x²+ 2a₁₂xy + a₂₂y²

q(x, y, z) = a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz.

In generale,

q(x₁, . . . , x_n)= ^tvA v

e la funzione q può essere semplificata diagonalizzando A, come nell’esempio che segue. In particolare, se gli autovalori di A sono tutti positivi,

q(x₁, . . . , x_n) > 0 se v 6= 0.

In questo caso, la forma quadratica si dice definita positiva.

Esempio

Abbiamo visto che P⁻¹AP = D, dove A = 5 2

2 8

!

, P = 1

√5

1 −2 2 1

!

, D = 9 0 0 4

! .

La matrice simmetrica A definisce la forma quadratica q(x, y)= 5x²+4xy +8y², mentre P è una matrice ortogonale: P⁻¹ = ^tP . Ponendo

(X Y ) = (x y)P, equivale a x y

!

= P X Y

! , otteniamo

q(x, y) = (x y)A x y

!

= (x y)P D^tP x y

!

= (X Y )D X Y

!

= 9X²+ 4Y², dove la trasformazione







x = ^√1₅(X − 2Y ) y = ^√1₅(2X + Y )

definisce una rotazione, angolo θ con cos θ = ^√1₅ e sinθ = ^√2₅. Qui, vediamo la conica q(x, y) = 1, equivale a 9X² + 4Y² = 1 .

X Y

Θ

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

-1.0 -0.5 0.5 1.0

y