Fisica 2 Elettrostatica

Fisica 2

Elettrostatica

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lezione

Programma della lezione

• Capacità elettrica

• Condensatore piano

• Condensatore cilindrico

• Costante dielettrica

• Cariche indotte nel dielettrico

• Energia elettrostatica

• Composizione di capacità

Capacità elettrica

• E’ il rapporto tra la carica presente su un conduttore e la sua differenza di potenziale

• Ha le dimensioni di carica diviso ddp

• La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad

V C  Q

   

V F  C

Condensatore piano

• Data una carica Q, per trovare C si determina

preventivamente il campo E e da questo si trova il potenziale V

• Per il condensatore piano si usa anche il principio di sovrapposizione per i

campi generati dalla

carica +Q sul primo piatto e –Q sul secondo

• Poiché le densità di carica sui due piatti sono uguali in modulo, otteniamo

infine

0

0 2

2 





_{ }













 E E E_tot

0

  Etot

Condensatore piano

• Cioè il campo E è costante tra le due piastre

• La ddp tra i due piatti è

• E la capacità è

A d d Q

dl Edl

l d E V

0 0

0  





 _{ }











  











 

d A V

C _ Q _ ⁰

Condensatore cilindrico

• Applichiamo la legge di Gauss ad una

superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L, coassiale al conduttore interno

• Da cui ricaviamo il campo

 

0

| int



E 



r r

E 1

) 2 (

0

 

0

2 )

( 

rL ^L r

E 

Condensatore cilindrico

• La ddp è

• E la capacità è

















 





 r

r L

dr Q Edr r

l d E

V ln

2 1

2₀ ₀

 









r r C L

ln 2



Campo elettrico nella materia

• Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un

dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante r (maggiore di 1) che dipende dalla natura del

dielettrico

• Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore

• Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore

r vuoto

E E





r vuoto

V V

 

C r

C  ₀

Campo elettrico nella materia

• La carica libera sulle piastre del condensatore polarizza il

dielettrico, che si carica

superficialmente con cariche legate

• La carica libera produce il campo

• La carica legata produce il campo

• Il campo del dielettrico

diminuisce il campo delle piastre del condensatore

• Si ottiene così il campo risultante

libera



legata



0 0



 E 





legata

E 

legata

tot E E

E  ₀ 

Campo elettrico nella materia

• Poiché sappiamo che il campo totale vale

• Possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata

• Dato che campo e densità superficiali sono

proporzionali, otteniamo anche

0

1 E E

r r

legata



 



r tot

E E

 ⁰



libera r

legata r





   ^{ 1}

Costante dielettrica

• 

prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale

• Il prodotto  = 



prende il nome di

costante dielettrica del materiale

Energia elettrostatica

• Data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V, un aumento di carica dq

comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a

• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è

C dq Vdq q

dU_e  

C dq Q

C U q

Q e

2

0 2

 1





Energia elettrostatica

• Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature

• Il lavoro speso per caricare il condensatore

può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E

• Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico

• Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica

A Q

E 





 

QV

U_e ²

2 1 2

1 2

1    



Ed

V 

Energia elettrostatica

• La quantità Ad è il volume compreso tra le piastre

• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume

• Relazione di validità generale

2

2 1 E Ad

u_e  U^e  

Composizione di capacità

• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno la stessa caduta di

potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q₁ e su 2 la carica Q₂

• Vogliamo trovare un singolo

condensatore di capacità C che a parità di ddp V accumuli la stessa carica totale Q=Q₁+Q₂

• La capacità del condensatore equivalente è quindi la somma

delle capacità dei condensatori 1 e 2

CV Q 

V C V

C Q

Q







2

1

C

C

C  

Composizione di capacità

• Composizione in serie. La ddp ai capi di 1 è V₁ e ai capi di 2 è V₂. Su 1 si accumula la carica Q₁ e su 2 la carica Q₂

• Poiché tra i due condensatori la carica inizialmente è nulla, per la conservazione della carica avremo che Q₁ è uguale a Q₂

• Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che su una ddp pari alla

somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la stessa carica Q

• L’inverso della capacità del condensatore equivalente è quindi la somma degli inversi delle capacità dei condensatori 1 e 2

2 1

2

1 C

Q C

V Q

V   

C V  Q

2 1

1 1

1

C C

C  