Un esempio euristico: lavoro di una forza, valore di un’azione → integrale stocastico e formula di Itô

0. Preludio (1 ora) [1]

Introduzione.

• Descrizione del corso: obiettivi, prerequisiti, propedeuticità.

[13/01a]

• Un esempio euristico: lavoro di una forza, valore di un’azione → integrale stocastico e formula di Itô.

1. Richiami di calcolo delle probabilit`a (6,5 + 1,5 = 8 ore) [9]

Spazi misurabili.

• σ-algebre, generatori, basi, σ-algebra di Borel.

[13/01b]

• Applicazioni misurabili, stabilità per sup, inf, lim sup, lim inf, somma, ecc.

• σ-algebra σ(X) generata da X.

Spazi di probabilità.

• Misura, probabilità e loro proprietà.

• Completamento di uno spazio di misura.

• Variabili aleatorie, eventi, {X ∈ A}.

[14/01a]

• Valore atteso, spazi L^p, varianza, covarianza e matrice delle covarianze.

• Teoremi di convergenza (Monotona, Fatou, Dominata).

• Disuguaglianze: Jensen, Markov, Cauchy-Schwarz (e Chebychev, Hölder).

Legge di una variabile aleatoria.

• Legge di una variabile aleatoria e suo significato.

• Passaggio alla misura immagine: X ∼µ ⇒ E( f (X)) =R

f (x)µ(dx).

[14/01b]

• Assoluta continuità di misure.

• Leggi su Rⁿdiscrete e assolutamente continue (densità, trasformazioni lineari).

Indipendenza.

• Indipendenza diσ-algebre, variabili aleatorie, eventi.

• Indipendenza e scorrelazione.

[15/01a]

• σ-algebra prodotto, misura prodotto, Teorema di Fubini.

• Lemma di Borel-Cantelli.

• Esercizio: se {Xn}_n∈Nsono i.i.d. Exp(λ), si ha q.c. lim sup_n→∞Xn/ log n = 1/λ.

1

Convergenza di leggi e di variabili aleatorie.

• Convergenza debole di misure di probabilità.

[15/01b]

• Nozioni di convergenza per variabili aleatorie (in legge, in probabilità, quasi certa, in L^p) e loro relazioni (senza dimostrazione).

Funzioni caratteristiche in Rⁿ.

• Definizione e proprietà principali (principio d’identità, somma di v.a. indipendenti, teorema di convergenza di Lévy).

Leggi normali in Rⁿ.

• Definizione: funzione caratteristica, matrice delle covarianze, densità.

[15/01c]

• Variabili congiuntamente normali sono indipendenti se e solo se sono scorrelate.

• Esercizi sulle variabili normali (foglio 1, es. 1,2).

[20/01a]

• Proprietà dei vettori normali: stabilità per trasformazioni affini.

• Esercizi sulle variabili normali (foglio 1, es. 3).

[20/01b]

• Limite in L²di vettori normali è normale.

2. Moto browniano (10 + 3 = 13 ore) [22]

Processi gaussiani e moto browniano.

• Definizione elementare processo stocastico (no filtrazione). Processi gaussiani, leggi [21/01a]

finito-dimensionali determinate da media e covarianza.

• Definizione moto browniano: processo stocastico reale {B_t}_t≥0 tale che B₀ = 0, incrementi indipendenti, B_t−B_s∼ N (0, t − s) e traiettorie continue q.c.

• Densità delle leggi finito-dimensionali (enunciato) e caratterizzazione del moto [21/01b]

browniano in termini di tali leggi.

• Caratterizzazione del moto browniano: processo gaussiano con media E(Bt) = 0, covarianza Cov(B_sB_t)= s ∧ t e traiettorie continue q.c.

• Se Btè un moto browniano, lo sono anche −Bt, Bt0+t−Bt0, {Bt0−t−Bt0}_0≤t≤t

0, ^√1_cBct, tB_1/t1_(t>0)(dimostrazione lasciata come esercizio).

• Esistenza del moto browniano: costruzione di Paul Lévy.

[22/01ab₂^c]

• Continuità in zero di tB_1/t1_(t>0)(inversione temporale).

[22/01^c₂]

• Esercizi sul moto browniano (foglio 2, es. 1,2).

[27/01a]

• Esercizi sul moto browniano (foglio 2, es. 3).

[27/01b]

• Legge dei grandi numeri per il moto browniano (corollario dell’inversione temporale).

• Variazione quadratica del moto browniano.

• Funzioni a variazione finita e integrale di Stieltjes.

[28/01a]

• Le traiettorie del moto browniano sono q.c. a variazione infinita su ogni intervallo.

• (Ir)regolarità delle traiettorie del moto browniano: legge del logaritmo iterato (solo [28/01b]

enunciato) e sue conseguenze (non differenziabilità).

• Filtrazione naturaleσ({Xu}_0≤u≤s) di un processo stocastico X.

• Definizione equivalente di moto browniano: sostituire “incrementi indipendenti”

[29/01a]

con “B_t−B_sè indipendente da G_s:= σ({Bu}_0≤u≤s)”.

• Processi stocastici indipendenti. Processi congiuntamente gaussiani sono indipen- denti se e solo se sono scorrelati.

• Moto browniano multidimensionale.

[29/01b]

• Continuità delle traiettorie e misurabilità di sup_t∈[0,1]B_t,R₁

0 B_tdt, inf{t> 0 : Bt= 0}.

• Il moto browniano come applicazione a valori in C([0, ∞), R^d): la misura di Wiener.

[29/01c]

• Il principio di invarianza di Donsker (enunciato).

• Esercizi sul moto browniano (foglio 3, es. 2)

• Esercizi sul moto browniano (foglio 3, es. 1,3) [03/02a]

3. Processi stocastici (5,5 + 1,5 = 7 ore) [29]

Processi stocastici.

• Definizione di filtrazione {Ft}_t∈Te di processo stocastico {Xt}_t∈Tadattato.

[03/02b]

• Processi (q.c.) continui, cad, cadlag. Processi misurabili e progressivamente misurabili.

• Leggi finito-dimensionali, modificazioni e indistinguibilità.

• Processo continuo e adattato ⇒ progressivamente misurabile.

[04/02a]

• Ipotesi standard per una filtrazione, ampliamento standard.

Moto browniano (reprise).

• Definizione {F_t}_t-moto browniano: processo stocastico adattato con B₀= 0, Bt−B_s [04/02b]

indipendente da Fs, Bt−Bs∼ N (0, t − s) e traiettorie q.c. continue.

• Proprietà di Markov semplice per un {Ft}_t≥0-moto browniano n-dimensionale.

• Se B è un {F_t}_t-moto browniano, è anche un {F_t+}_t-moto browniano.

[05/02a]

• Legge 0-1 di Blumenthal.

• Tempi d’arresto e loro proprietà. Tempo d’ingresso in un chiuso/aperto (enunciato).

• Se X è progressivamente misurabile eτ tempo d’arresto, X_τè una v.a. F_τ-misurabile [05/02b]

(enunciato).

• Approssimazione di un tempo d’arrestoτ con una successione decrescente di tempi d’arresto discreti {τn}_n∈N.

• Proprietà di Markov forte per il moto browniano.

• Principio di riflessione: legge di sup_t∈[0,1]Bt. [05/02c]

• Esercizi sul moto browniano (foglio 4, es. 1)

• Esercizi sul moto browniano (foglio 4, es. 2) [10/02a]

4. Speranza condizionale e martingale (4,5 + 1,5 = 6 ore) [35]

Speranza condizionale e martingale.

• Richiamo definizione e proprietà principali della speranza condizionale [10/02b]

• Definizione di (sub,super)martingale e proprietà basilari.

[11/02a]

• Se B= {Bt}_t≥0è un moto browniano, i processi {B_t}_t≥0, {B²_t −t}_t≥0, {e^{λBt−λ2t/2}}_t≥0sono martingale.

Martingale a tempo discreto.

• Tempi d’arresto. (Sub)martingale arrestate restano (sub)martingale.

[11/02b]

• Teorema d’arresto per tempi d’arresto limitati.

• Disuguaglianza massimale.

Martingale a tempo continuo.

• Esistenza di modificazione cadlag, (sub)martingale arrestate restano (sub)martingale, [12/02a]

teorema d’arresto (solo enunciati).

• Disuguaglianza massimale.

• Applicazione: legge di B_τ−a,b con B moto browniano eτ⁻_a,btempo d’uscita da (−a, b).

• Martingale di quadrato integrabile: variazione quadratica.

[12/02^b₂]

• Esercizi su moto browniano e martingale (foglio 5, es.1, 3) [12/02c]

• Esercizi su moto browniano e martingale (foglio 5, es.2) [17/02^a₂]

5. Integrale stocastico (7 + 0,5 = 7,5 ore) [42,5]

• Estensione di isometrie densamente definite. Il caso delle isometrie lineari su spazi [12/02^b₂]

di Hilbert.

• Considerazioni preliminari sull’integrale stocastico. Integrale di processi semplici.

[17/02^a₂]

• Spazio M²[0, T] di processi progressivamente misurabili in L²([0, T] × Ω).

• Densità dei processi semplici in M²[0, T].

[17/02b]

• M²[0, T] è uno spazio di Hilbert.

[18/02a]

• Isometria dell’integrale per processi semplici.

• Integrale stocastico in M²[0, T].

• Prime proprietà dell’integrale stocastico.

[18/02b]

• L’ integrale stocastico, come funzione dell’estremo di integrazione, è un processo adattato.

• L’integrale stocastico per processi in M²[0, T] è una martingala di quadrato integrabile [19/02a]

e ammette una versione continua.

• Integrale stocastico e tempi d’arresto, località dell’integrale stocastico (enunciati).

[19/02b]

• Localizzazione: integrale stocastico per processi in M²_loc[0, T].

• Proprietà dell’integrale stocastico in M²_loc[0, T] (enunciati).

[19/02c]

• Martingale locali. L’integrale stocastico per processi in M²_loc[0, T] è una martingala locale.

• Martingale locali positive (risp. dominate) sono supermartingale (risp. martingale).

• Esercizi sull’integrale stocastico (foglio 6).

[24/02^a₂]

6. Calcolo stocastico e applicazioni (7,5 + 2 = 9,5 ore) [52]

• Riassunto sull’integrale stocastico. Spazi M²e M²_loc. [24/02^a₂]

• La formula di Itô per il moto browniano.

[24/02b]

• Differenziale stocastico. Processi di Itô. Formula di Itô generale (enunciato).

[25/02a]

• Moto browniano geometrico.

[25/02b]

• Supermartingala esponenziale. Criterio di Novikov (enunciato).

• Integrale stocastico, processi di Itô e formula di Itô multidimensionali (enunciati).

• Formula di Itô per il moto browniano multidimensionale, formula di integrazione [26/02a]

per parti stocastica (enunciati).

• Introduzione al problema di Dirichlet.

• Valutazione della didattica.

[26/02b]

• Il problema di Dirichlet in domini limitati.

• Transienza/ricorrenza del moto browniano in R^d.

• Esercizi sul calcolo stocastico (foglio 7, es.2).

[26/02c]

• Esercizi sul calcolo stocastico (foglio 7, es.1,3,4).

[03/03a]

• Introduzione al Teorema di Girsanov.

[03/03b]

• Dimostrazione del Teorema di Girsanov (prima parte).

• Dimostrazione del Teorema di Girsanov (seconda parte).

[04/03a]

• Applicazione: Formula di Cameron-Martin.

7. Equazioni differenziali stocastiche (4 + 1,5 = 5,5 ore) [57,5]

• Introduzione, definizione di soluzioni, nozioni di unicità.

[04/03b]

• Lemma di Gronwall.

[05/03a]

• Teorema di unicità per traiettorie ed esistenza forte con ipotesi standard.

• Teorema di esistenza forte di soluzioni con ipotesi standard.

[05/03b]

• La formula di Feynman-Kac.

[05/03c]

• Esercizi di riepilogo (foglio 8, esercizi 1 e 2).

[10/03a^b₂]

8. Rimorsi (0,5 ore) [58]

• Le diffusioni come processi di Markov.

[10/03^b₂]

• Teorema di rappresentazione delle martingale (Dambis, Dubins&Schwarz)