(a) Determinare lo sviluppo in serie di Fourier delle funzioni f (x

UNIVERSIT `A DI ROMA “TOR VERGATA”

Laurea in FISICA

CALCOLO 2 Prof. P. Cannarsa

II Esonero Edificio Scienze, 13 gennaio 2016, h 11:00, Aula 22

Esercizio 1.

(a) Determinare lo sviluppo in serie di Fourier delle funzioni f (x) = π − |x|, g (x) = x² con x ∈ [−π, π].

(b) Dimostrare la relazione 1

π Z π

−π

f (x) g (x) dx = a₀^fa₀^g

2 +

∞

X

k=1



a_k^fa_k^g+ b_k^fb_k^g ,

avendo indicato conn a_k^f, b_k^fo

e {a_k^g, b_k^g} i coefficienti di Fourier delle rispettive funzioni. Qui le funzioni f e g sono continue, periodiche di periodo 2π e regolari a tratti.

(c) Applicare la relazione del punto precedente alle funzioni f e g del punto (a) per verificare che

∞

X

k=1

1

(2k − 1)⁴ = π⁴ 96.

(d) Posto

SN =

N

X

k=1

1

k⁴, RN =

N

X

k=1

1 (2k − 1)⁴ e osservato che

S2N = RN+ 1 16SN, calcolare

lim

N →∞SN =

∞

X

k=1

1 k⁴.

Esercizio 2.

Determinare tutte le funzioni f ∈ L¹(R) ∩ C (R) che risolvono l’equazione integrale Z ∞

−∞

f (t − y) exp (−|y|) dy = exp



−t² 2



(t ∈ R).