L’Esperienza di Stern e Gerlach.
L’esperienza di Stern e Gerlach fu compiuta nel 1922 per riuscire a misurare il momento magnetico di un atomo.
Momento magnetico di un atomo.
Un atomo possiede un momento magnetico: infatti se consideriamo il modello di Bohr dell’atomo idrogenoide, l’elettrone descrive un orbita circolare, ed ha un momento angolare L. Una singola carica che si muove equivale ad una corrente, e quindi l’elettrone che si muove su un orbita chiusa genera una corrente in una spira a cui associamo un momento magnetico di dipolo (Teorema di Ampere).
Una corrente I che circola in una spira circolare di area A ha un momento magnetico di dipolo pari ad
€
μr = IA ˆ n Con
€
n ˆ
normale al piano della spira (vedi figura 1).Figura 1.
La corrente I è dovuta all’elettrone che si muove con velocità v su un orbita circolare di raggio r e quindi vale in modulo I=ev/(2πr).
L’area della spira vale A=πr2 allora avremo un momento magnetico di modulo
€
μ= IA = ev
2πrπr2 =evr 2 = eL
2m
dato che la direzione in cui ruota l’elettrone è opposta al verso della corrente avremo che
€
μv = − e 2m
L r
Le regole della quantizzazione di Bohr suggeriscono che è l’unità naturale del momento angolare e possiamo scrivere
€
μ v = − μ
BL r
h
Dove µB=e/2m ha le dimensioni di un momento magnetico ed è conosciuto come magnetone di Bohr (µB=9.27 10-24JT-10.910-20 erg/gauss).
Interazione con un campo magnetico.
Se un atomo con un momento magnetico M è posto in un campo magnetico B, l’energia di interazione sarà
€
E = −μ •v r B
Il sistema subirà una coppia torcente
€
τv = v μ× r B
Ed una forza netta F=-W Le cui componenti sono
€
Fx = r μ •∂r
B
∂x,Fy = r μ •∂r
B
∂y,Fz = r μ •∂r
B
∂z
Quindi la forza è zero se il campo magnetico è costante. Viceversa se il campo magnetico è non omogeneo risentirà di una forza proporzionale al suo momento magnetico.
L’esperimento di Stern e Gerlach
Stern e Gerlach proposero un esperimento (il cui schema è mostrato in figura 2) per poter misurare il momento magnetico di un atomo misurando la deflessione dovuta ad un campo B non omogeneo.
L’esperimento originale fu compiuto su atomi di argento. Un fascio di atomi d’argento è prodotto dal riscaldamento del metallo posto in un forno in vuoto. Il fascio esce da una piccola fessura e viene collimato da una serie di fessure. Il fascio quindi passa fra i poli di un magnete di forma tale da produrre un campo B non omogeneo. Il fascio viene rilevato facendolo incidere su uno schermo freddo.
Prendendo il magnete con la giusta forma si riesce a confinare il fascio in un piano XZ e si riesce ad ottenere che la forza sul fascio agisca solo lungo la direzione Z (
€
∂Bz
∂x = 0,∂Bz
∂y = 0,∂Bz
∂z ≠ 0,).
Figura 2.
Ora nel fascio incidente la direzione del momento magnetico
€
μr degli atomi è completamente casuale e uno si aspetterebbe che nella direzione Z potremmo ottenere ogni valore di
€
μr z compreso tra – ed . In conseguenza di ciò ci si potrebbe aspettare che il deposito sullo schermo freddo si estenda in una regione simmetrica (in Z) rispetto al punto di deflessione nulla.
Sorprendentemente Stern e Gerlach videro che si formavano due linee distinte e separate in posizioni simmetriche rispetto al punto di deflessione nulla (vedi Figura 3).
Cerchiamo di vedere se il risultato ottenuto trova spiegazione nell’ambito del modello atomico di Bohr.
Abbiamo la quantizzazione del momento magnetico lungo la direzione (Z) definita dal campo magnetico, questo inoltre implica anche la quantizzazione del momento angolare nella stessa direzione (Lz) in maniera tale da poter avere solo alcuni valori tra un valore massimo (Lz)max ed un valore minimo -(Lz)max.
La legge di Bohr per la quantizzazione del momento angolare L di un atomo suggerisce che L può assumere solo valori multipli interi di . Ovvero L=l con l un intero positivo o zero. E considerando la componente lungo la direzione Z avremo che questa potrà assumere come valore massimo Lz=l e valore minimo Lz=-l.
Figura 3
Lz sarà quindi quantizzata (Lz=m) e avrà una molteplicità di valori pari ad (2l+1) dato che m potrà assumere i valori –l,-l+1…,0,…,l-1,l. Il numero quantico m si chiama numero quantico magnetico.
Ma è importante notare che l’esperimento di Stern e Gerlach non trova spiegazione all’interno di questo schema, infatti la molteplicità per il momento angolare vale 2 (due sono le linee in cui si divide il fascio) e quindi l dovrebbe valere (2l+1=2) l=1/2, ovvero un numero non intero, non previsto dalla regola di Bohr per la quantizzazione del momento magnetico orbitale.
L’esperienza è stata riconfermata con atomi di H nello stato fondamentale.
Essendo l=0 e ml=0 per lo stato fondamentale, è stato necessario introdurre lo spin
€
S perr
spiegare l’esperimento.
La componente del vettore
€
S lungo l’asse r
€
z ) è
€
ms = ±h
2, con il che si hanno due distinti fascetti.
