1.2 Lavoro di un campo

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 22 marzo 2015

1 Campi vettoriali.

1.1 Caccia ai capi conservativi.

Stabilire se i seguenti campi F sono conservativi nell'insieme I indicato. In caso positivo, calcolare un potenziale.

1.

F =

(x + y)²; − x²+ y²


, I =(x, y) ∈ R²: x, y ≥ 0 2.

F = x − y³; x³+ y³
, I = (x, y) ∈ R²: x, y ≥ 0 ∧ x²+ y²≤ 1 3.

F = yp

1 + 2xy; xp

1 + 2xy

, I =(x, y) ∈ R²

1.2 Lavoro di un campo

Calcolare il lavoro del campo F sulla curva regolare γ, percorsa una sola volta in senso antiorario.

1.

F =

(x + y)²; − x²+ y²


, γ = f rontiera del triangolo A (1; 0) B (0; 1) O (0; 0) 2.

F = x − y³; x³+ y³
, γ = f rontiera di I = (x, y) ∈ R²: x, y ≥ 0 ∧ x²+ y²≤ 1 3.

F = yp

1 + 2xy; xp

1 + 2xy

, γ = f rontiera di I =(x, y) ∈ R²: x, y ≥ 0 ∧ x²+ y²≤ 1 4.

F = yp

1 + 2xy; xp

1 + 2xy

, γ = f rontiera di I =(x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 4 5.

F =

 −y

x²+ y²; x x²+ y²



, γ = semicirconf erenza centrata nell⁰origine di raggio 3

1.3 Esercizi vari su potenziale e lavoro

1. Dato il campo F = ax sin (πy) ; x²cos (πy) + bye^−z; y²e^−z
stabilire per quali valori di a, b ∈ R il campo è conservativo il tutto il suo dominio. Per i valori di a e b trovati, determinare un potenziale ϕ di F e calcolare il lavoro di F lungo la linea γ denita da γ (t) = cos t; sin 2t; sin²t
con t ∈ [0; 2π].

2. Dimostrare che il campo F = (x + y; x − z; z − y) è conservativo nel suo dominio. Calcolare poi il lavoro compiuto dal campo lungo qualsiasi curva regolare che abbia inizio in A (1; 0; −1) e termine in B (0; −2; 3) in almeno due modi dierenti.

3. Determinare una funzione f : R³7→ R con f ∈ C¹tale che il campo F = (f (x, y, z) ; z; y) sia conservativo in R³.

1

1.4 Green, Stokes, Gauss.

1. Calcolare il usso dal campo F = (x; y; z) uscente dalla supercie ∂D, frontiera dell'insieme D = n

(x, y, z) ∈ R³: x²+ y²≤ 9 ∧ 0 ≤ z ≤p

9 − x²− y²o

attraverso la denizione di usso e attraverso il teorema di Gauss.

2. Calcolare il usso di F = (x; y; z) entrante nella frontiera ∂D dell'insieme D, descritto dalle relazioni:

D =(x, y, z) ∈ R³: x²+ y²≤ 4z ∧ 0 ≤ z ≤ 1 3. Calcolare il usso di F = −2x³y; −¹₂x⁴

uscente dalla frontiera dell'insieme D = (x, y) ∈ R³: x²+ y²≤ 1 . 4. Calcolare il usso del campo F = x³e^−z; 3xz; 3x²e^−z
uscente dall'emisfero superiore della sfera x²+

y²+ z²= 16.

5. Calcolare il usso del rotore di F = (x; y; xy) uscente dalla supercie graco della funzione f denita da z = ^x₉²+^y₄² e limitata al dominio D = (x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 4 .

6. Calcolare il usso del rotore del campo F = (y; 0; x) uscente dalla supercie Σ descritta dalle seguenti

relazioni: (

z = 1 − x²− y²

0 ≤ z ≤ ¹₂ (1.1)

7. Calcolare il usso del rotore di F = y²; xy; xz
entrante nella supercie Σ descritta dalle seguenti

relazioni: (

x²+ y²+ z²= 1

z ≥ 0 (1.2)

8. Calcolare il usso del rotore di F = (y − z; yz; −xz) uscente dalla supercie Σ formata dalle 5 facce che non appartengono al piano z = 0 di un cubo di lato unitario posto nel primo ottante.

2