ATTIVIT `A 7 Stabilire dove risultano continue e derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 1. f (x) =

(1)

ATTIVIT ` A 7

Stabilire dove risultano continue e derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 1. f (x) = ^log(x

²

_{x 1} ^3x+2)

2. f (x) = ^log(1+x _{|1 x|}

²

⁾ 3. f (x) = (1 + sin x) ^x 4. f (x) = arctan _x+1 ^|2x|

5. f _↵ (x) = e ^{2x x}

²

|x| ^↵ al variare di ↵ > 0

Sia f (x) funzione definita in R con f(x) · x > 0 per ogni x 2 R, x 6= 0, derivabile in x ⁰ = 0 ^(d) . Fornire delle condizioni sufficienti sulla funzione affinch´e le seguenti a↵ermazioni risultino vere e un controesempio per cui risultano false.

A. g(x) = ^»

³

f (x) `e derivabile in x ₀ = 0 B. h(x) = e ^|f(x)| `e derivabile in x 0 = 0

(d)

Quanto vale f (0)?

31

(2)

RISOLUZIONE

1. La funzione f (x) = ^log(x _{x 1}

²

^3x+2) `e definita in D = ( 1, 1) [ (2, +1) e in tale dominio risul- ta continua e derivabile in quanto composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue e derivabili. Per determinarne la derivata in ogni x 2 D possiamo quindi applicare le regole di derivazione ottenendo

f ⁰ (x) =

2x 3

x

²

3x+2 (x 1) log(x ² 3x + 2) (x 1) ²

2. La funzione f (x) = ^log(1+x _{|1 x|}

²

⁾ risulta definita in ogni x 2 D = R \ {1}, dato che x ² + 1 > 0 per ogni x 2 R, e in tali punti risulta continua, poich´e composizione e rapporto di funzioni continue.

Risulta inoltre derivabile in ogni x 2 D dato che risulta composizione e rapporto di funzioni derivabili. Osservato che

f (x) = 8 <

:

log(1+x

²

)

x 1 se x > 1

log(1+x

²

)

x 1 se x < 1 otteniamo

f ⁰ (x) = 8 >

<

> :

2x

1+x2

(x 1) log(1+x

²

)

(x 1)

²

se x > 1

2x

1+x2

(x 1) log(1+x

²

)

(x 1)

²

se x < 1

3. La funzione f (x) = (1 + sin x) ^x

²

pu´ o essere riscritta come f (x) = e ^x

²

log(1+sin x) . Risulta quindi definita in ogni R tale che sin x 6= 1 (dato che sin x + 1 0 per ogni x 2 R) cio`e per ogni x 6= ⇡ + 2k⇡ = (2k + 1)⇡, k 2 Z, dov’`e continua e derivabile in quanto composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue e derivabili. Per determinarne la derivata in ogni x 6= ⇡ + 2k⇡ = (2k + 1)⇡, k 2 Z possiamo applicare le regole di derivazione. Si ha

f ⁰ (x) = e ^x

²

log(1+sin x) Ä

2x log(1 + sin x) + x ^{2 cos x} _{1+sin x} ^ä 4. La funzione

f (x) = arctan _x+1 ^|2x| =

( arctan _x+1 ^2x se x 0

arctan _x+1 ^2x = arctan _x+1 ^2x se x < 0

`e definita in D = R \ { 1} e in tale dominio risulta continua in quanto composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue. Risulta certamente derivabile in ogni x 2 D tale che x 6= 0, dato che in tali punti la funzione risulta composizione di funzioni derivabili e la sua derivata vale

f ⁰ (x) = 8 >

<

> :

1 1+ (

_x+1^2x

)

²

2(x+1) 2x

(x+1)

²

= _(x+1) ²

2

+4x

²

se x > 0

1 1+ (

_x+1^2x

)

²

2(x+1) 2x

(x+1)

²

= _(x+1) ²

2

+4x

²

se x < 0

Nel punto x = 0 verifichiamo la derivabilit` a applicando la definizione. Ricordando che arctan y ⇠ y per y ! 0, abbiamo

lim

x!

¹₂^±

f (x) f (0)

x = lim

x !0

^±

arctan _x+1 ^|2x|

x = lim

x !0

^±

± arctan _x+1 ^2x

x = lim

x !0

^±

± _x+1 ^2x

x = lim

x !0

^±

± _x+1 ² = ±2 Ne segue che la funzione non `e derivabile in x = 0, in tale punto presenta un punto angoloso.

32

(3)

5. La funzione f _↵ (x) = e ^{x x}

²

|x| ^↵ risulta definita e continua in R per ogni ↵ > 0. Riguardo alla derivabilit` a, risulta derivabilie in ogni x 6= 0 con

f _↵ ⁰ (x) =

( e ^{2x x}

²

(2 2x)x ^↵ + ↵e ^{2x x}

²

x ^{↵ 1} se x > 0 e ^{2x x}

²

(2 2x)( x) ^↵ ↵e ^{2x x}

²

( x) ^{↵ 1} se x < 0 In x = 0 abbiamo

x lim !0

^±

f _↵ (x) f _↵ (0)

x = lim

x !0

^±

e ^{x x}

²

|x| ^↵

x = lim

x !0

^±

|x| ^↵

x = lim

x !0

^±

±|x| ^{↵ 1} = 8 >

> <

> >

:

0 se ↵ > 1

±1 se ↵ = 1

±1 se ↵ < 1 Possiamo quindi concludere che la funzione risulta derivabile in x = 0 se e solo se ↵ > 1 e in tal caso f _↵ ⁰ (0) = 0. Per ↵ = 1 abbiamo che x = 0 `e punto angoloso, mentre per 0 < ↵ < 1, x = 0 `e una cuspide.

Osserviamo che a↵ermare che f (x) · x > 0 per ogni x 2 R, x 6= 0, significa che f(x) > 0 se x > 0 e f (x) < 0 se x < 0. Poich´e la funzione `e derivabile in x ₀ = 0, sar` a anche continua in x ₀ = 0 e dunque risulta f (0) = 0 ^(e) , in particolare otteniamo che lim

x !0 f (x) = f (0) = 0 e la funzione `e infinitesima per x ! 0.

A. La funzione g(x) = ^»

³

f (x) `e continua in x 0 = 0 con g(0) = 0 e sar` a derivabile in tale punto se e solo se esiste finito il limite

x!0 lim

g(x) g(0)

x = lim

x!0

»

3

f (x) x

e quindi se e solo se ^»

³

f (x) ha ordine di infinitesimo maggiore o uguale a 1. Quindi condizione sufficiente affinch´e g(x) risulti derivabile in x ₀ = 0 `e che f (x) abbia ordine infinitesimo maggiore o uguale a 3. g(x) non sar` a invece derivabile in x ₀ = 0 se f (x) ha ordine di infinitesimo minore di 3, per esempio per f (x) = x.

Esistono altre funzioni potenza a esponente razionale f (x) per le quali sono verificate le ipotesi richieste e per le quali g(x) = ^»

³

f (x) non `e derivabile in x = 0?

B. La funzione h(x) = e ^|f(x)| `e continua in x ₀ = 0 con h(0) = 1 e sar` a derivabile in tale punto se e solo se esistono finiti e uguali i limiti

x lim !0

^±

h(x) h(0)

x = lim

x !0

^±

e ^|f(x)| 1

x = lim

x !0

^±

|f(x)|

x = ± lim

x !0

^±

f (x) x

dato che e ^y 1 ⇠ y per y ! 0 e f(x) ! f(0) = 0 per x ! 0. Tale condizione `e verificata se e solo se

x lim !0

^±

f (x) x = 0

e dunque se e solo se f (x) ha ordine di infinitesimo maggiore di 1. Quindi condizione sufficiente affinch´e h(x) risulti derivabile in x ₀ = 0 `e che f (x) abbia ordine infinitesimo maggiore di 1. h(x)

(e)

infatti, dal Teorema della permanenza del segno f (0) = lim

x!0⁺

f (x) 0 e f (0) = lim

x!0

f (x)  0, da cui f(0) = 0

33

(4)

non `e invece derivabile in x ₀ = 0 se f (x) ha ordine di infinitesimo minore o uguale a 1, per esempio per f (x) = x.

Esistono altre funzioni potenza a esponente razionale f (x) per le quali sono verificate le ipotesi richieste e per le quali h(x) = e ^|f(x)| non `e derivabile in x = 0?

Le risposte alle precedenti domande...

Osserviamo che f (x) = x

^mⁿ

con m, n 2 N primi tra loro è definita in R se n è dispari, verificherà f (x) · x > 0 per ogni x 6= 0 se anche m è dispari. Sarà inoltre derivabile in x 0 = 0 se e solo se ^m _n > 1.

Quindi, la risposta alla prima domanda `e SI: `e sufficiente scegliere m, n 2 N primi tra loro e dispari tali che ^m _n > 1 ma per i quali ^m _n < 3, in modo tale che ord(x

^mⁿ

) < 3 per x ! 0. Per esempio possiamo scegliere m = 5 e n = 3, ovvero la corrispondente potenza f (x) = x

⁵³

ATTIVIT `A 7 Stabilire dove risultano continue e derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 1. f (x) =

ATTIVIT ` A 7

Stabilire dove risultano continue e derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 1. f (x) = log(x

x 1 3x+2)

2. f (x) = log(1+x |1 x|

) 3. f (x) = (1 + sin x) x 4. f (x) = arctan x+1 |2x|

5. f ↵ (x) = e 2x x

|x| ↵ al variare di ↵ > 0

Sia f (x) funzione definita in R con f(x) · x > 0 per ogni x 2 R, x 6= 0, derivabile in x 0 = 0 (d) . Fornire delle condizioni sufficienti sulla funzione affinch´e le seguenti a↵ermazioni risultino vere e un controesempio per cui risultano false.

A. g(x) = »

f (x) `e derivabile in x 0 = 0 B. h(x) = e |f(x)| `e derivabile in x 0 = 0

Quanto vale f (0)?

31

RISOLUZIONE

1. La funzione f (x) = log(x x 1

3x+2) `e definita in D = ( 1, 1) [ (2, +1) e in tale dominio risul- ta continua e derivabile in quanto composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue e derivabili. Per determinarne la derivata in ogni x 2 D possiamo quindi applicare le regole di derivazione ottenendo

f 0 (x) =

2x 3

x

3x+2 (x 1) log(x 2 3x + 2) (x 1) 2

2. La funzione f (x) = log(1+x |1 x|

) risulta definita in ogni x 2 D = R \ {1}, dato che x 2 + 1 > 0 per ogni x 2 R, e in tali punti risulta continua, poich´e composizione e rapporto di funzioni continue.

Risulta inoltre derivabile in ogni x 2 D dato che risulta composizione e rapporto di funzioni derivabili. Osservato che

f (x) = 8 <

:

log(1+x

)

x 1 se x > 1

log(1+x

)

x 1 se x < 1 otteniamo

f 0 (x) = 8 >

<

> :

(x 1) log(1+x

)

(x 1)

se x > 1

(x 1) log(1+x

)

(x 1)

se x < 1

3. La funzione f (x) = (1 + sin x) x

pu´ o essere riscritta come f (x) = e x

f 0 (x) = e x

log(1+sin x) Ä

2x log(1 + sin x) + x 2 cos x 1+sin x ä 4. La funzione

f (x) = arctan x+1 |2x| =

( arctan x+1 2x se x 0

arctan x+1 2x = arctan x+1 2x se x < 0

`e definita in D = R \ { 1} e in tale dominio risulta continua in quanto composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue. Risulta certamente derivabile in ogni x 2 D tale che x 6= 0, dato che in tali punti la funzione risulta composizione di funzioni derivabili e la sua derivata vale

f 0 (x) = 8 >

<

> :

1 1+ (

)

2(x+1) 2x

(x+1)

= (x+1) 2

+4x

se x > 0

1 1+ (

)

2(x+1) 2x

(x+1)

= (x+1) 2

+4x

se x < 0

Nel punto x = 0 verifichiamo la derivabilit` a applicando la definizione. Ricordando che arctan y ⇠ y per y ! 0, abbiamo

lim

x!

f (x) f (0)

x = lim

x !0

arctan x+1 |2x|

x = lim

x !0

± arctan x+1 2x

x = lim

x !0

Stabilire dove risultano continue e derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 1. f (x) = ^log(x

_{x 1} ^3x+2)

2. f (x) = ^log(1+x _{|1 x|}

⁾ 3. f (x) = (1 + sin x) ^x 4. f (x) = arctan _x+1 ^|2x|

5. f _↵ (x) = e ^{2x x}

|x| ^↵ al variare di ↵ > 0

Sia f (x) funzione definita in R con f(x) · x > 0 per ogni x 2 R, x 6= 0, derivabile in x ⁰ = 0 ^(d) . Fornire delle condizioni sufficienti sulla funzione affinch´e le seguenti a↵ermazioni risultino vere e un controesempio per cui risultano false.

A. g(x) = ^»

f (x) `e derivabile in x ₀ = 0 B. h(x) = e ^|f(x)| `e derivabile in x 0 = 0

1. La funzione f (x) = ^log(x _{x 1}

^3x+2) `e definita in D = ( 1, 1) [ (2, +1) e in tale dominio risul- ta continua e derivabile in quanto composizione, prodotto e quoziente di funzioni continue e derivabili. Per determinarne la derivata in ogni x 2 D possiamo quindi applicare le regole di derivazione ottenendo

f ⁰ (x) =

3x+2 (x 1) log(x ² 3x + 2) (x 1) ²

2. La funzione f (x) = ^log(1+x _{|1 x|}

⁾ risulta definita in ogni x 2 D = R \ {1}, dato che x ² + 1 > 0 per ogni x 2 R, e in tali punti risulta continua, poich´e composizione e rapporto di funzioni continue.

f ⁰ (x) = 8 >

3. La funzione f (x) = (1 + sin x) ^x

pu´ o essere riscritta come f (x) = e ^x

f ⁰ (x) = e ^x

2x log(1 + sin x) + x ^{2 cos x} _{1+sin x} ^ä 4. La funzione

f (x) = arctan _x+1 ^|2x| =

( arctan _x+1 ^2x se x 0

arctan _x+1 ^2x = arctan _x+1 ^2x se x < 0

f ⁰ (x) = 8 >

= _(x+1) ²

= _(x+1) ²

arctan _x+1 ^|2x|

± arctan _x+1 ^2x

± _x+1 ^2x

± _x+1 ² = ±2 Ne segue che la funzione non `e derivabile in x = 0, in tale punto presenta un punto angoloso.

5. La funzione f _↵ (x) = e ^{x x}

|x| ^↵ risulta definita e continua in R per ogni ↵ > 0. Riguardo alla derivabilit` a, risulta derivabilie in ogni x 6= 0 con

f _↵ ⁰ (x) =

( e ^{2x x}

(2 2x)x ^↵ + ↵e ^{2x x}

x ^{↵ 1} se x > 0 e ^{2x x}

(2 2x)( x) ^↵ ↵e ^{2x x}

( x) ^{↵ 1} se x < 0 In x = 0 abbiamo

f _↵ (x) f _↵ (0)

e ^{x x}

|x| ^↵

|x| ^↵

±|x| ^{↵ 1} = 8 >

±1 se ↵ < 1 Possiamo quindi concludere che la funzione risulta derivabile in x = 0 se e solo se ↵ > 1 e in tal caso f _↵ ⁰ (0) = 0. Per ↵ = 1 abbiamo che x = 0 `e punto angoloso, mentre per 0 < ↵ < 1, x = 0 `e una cuspide.

Osserviamo che a↵ermare che f (x) · x > 0 per ogni x 2 R, x 6= 0, significa che f(x) > 0 se x > 0 e f (x) < 0 se x < 0. Poich´e la funzione `e derivabile in x ₀ = 0, sar` a anche continua in x ₀ = 0 e dunque risulta f (0) = 0 ^(e) , in particolare otteniamo che lim

A. La funzione g(x) = ^»

e quindi se e solo se ^»

Esistono altre funzioni potenza a esponente razionale f (x) per le quali sono verificate le ipotesi richieste e per le quali g(x) = ^»

B. La funzione h(x) = e ^|f(x)| `e continua in x ₀ = 0 con h(0) = 1 e sar` a derivabile in tale punto se e solo se esistono finiti e uguali i limiti

e ^|f(x)| 1

dato che e ^y 1 ⇠ y per y ! 0 e f(x) ! f(0) = 0 per x ! 0. Tale condizione `e verificata se e solo se

e dunque se e solo se f (x) ha ordine di infinitesimo maggiore di 1. Quindi condizione sufficiente affinch´e h(x) risulti derivabile in x ₀ = 0 `e che f (x) abbia ordine infinitesimo maggiore di 1. h(x)

non `e invece derivabile in x ₀ = 0 se f (x) ha ordine di infinitesimo minore o uguale a 1, per esempio per f (x) = x.

Esistono altre funzioni potenza a esponente razionale f (x) per le quali sono verificate le ipotesi richieste e per le quali h(x) = e ^|f(x)| non `e derivabile in x = 0?