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PRIMA PROVA PARZIALE DI ANALISI MATEMATICA 1

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Academic year: 2021

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PRIMA PROVA PARZIALE DI ANALISI MATEMATICA 1

Ing. Aerospaziale (Canale A) A.A. 2019/2020, 23 Novembre 2019

Tema 1

Cognome e Nome:

...

Matricola:

...

1 2 3

ESERCIZIO 1. [5 punti] Studiare il carattere (la convergenza semplice ed assoluta) della serie

X

n=1

αn

n

n − 1 ln n

al variare di α ∈ R, specificando i criteri usati e le argomentazioni principali.

ESERCIZIO 2. [6 punti] Studiare al variare di α > 0 il limite `α .

= lim

x→0+

sen(xα) + cosh(√

x) · ln(1 − sinh(x)) ln(cosh(3x)) + x3ln x . (Si ricordino gli sviluppi asintotici: cos(y) = 1 −y22 + o(y3), cosh(y) = 1 +y22 + o(y3), ln(1 + y) = y −y22 + o(y2), sen(y) = y −y63 + o(y4), sinh(y) = y + y63 + o(y4), per y → 0).

Determinare lo sviluppo asintotico di: sen(xα) + cosh(√

x) · ln(1 − sinh(x)), ln(cosh(3x)) + x3ln x, per x → 0:

(Se esiste)

`α=

(2)

ESERCIZIO 3. [7 punti] Si consideri la funzione definita da f (x) =p

(x − 1) |3 − x| . (i) Determinare il dominio della funzione.

Dom(f ) =

(ii) Determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui

(iii) Calcolare la derivata prima della funzione

f0(x) =

e stabilire in quali intervalli la funzione `e monotona crescente, ed in quali intervalli

`e monotona decrescente.

(iv) Determinare eventuali punti di massimo o di minimo relativo ed assoluto di f .

(v) Determinare l’immagine di f : Im(f ) =

e tracciare il grafico approssimativo della funzione.

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