(b) Al variare di h ∈ R, sia U

(1)

(b) Al variare di h ∈ R, sia U

h

il sottoinsieme di M

2×2

( R) deﬁnito da U

_h

:=

{

A ∈ M

2×2

( R) | A

[ 1 2 h 0

]

=

[ 0 0 h 0

]}

.

Si determini per quali h U

_h

` e sottospazio vettoriale di M

₂_×2

( R); per tali h, se ne calcoli la dimensione e se ne esibisca una base.

(c) Si consideri il sottospazio vettoriale V

_k

di M

₂_×2

( R) deﬁnito da V

_k

:=

{

B ∈ M

2×2

( R) | B

[ k k + 1 0 2k + 1

]

∈ AntSym(R) }

,

con k ∈ R parametro.

Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

, e si stabilisca se C ∈ V

k

.

(d) Nei casi in cui dim V

_k

= 1 si stabilisca se il generatore individuato in (c) sia una matrice invertibile e, in caso aﬀermativo, se ne calcoli l’inversa.

(e) Si deteminino le dimensioni di U

₀

∩ V

k

e U

₀

+ V

_k

.

2. Nello spazio aﬃne A

⁴

, al variare di λ ∈ R, si considerino la retta r

λ

passante per i punti P

₀

= (λ, 2, 0, 6) e P

₁

= (0, 1, 2λ, 3) e la retta s

_λ

di equazione cartesiana

 



 

x − λy + 1 = 0 y + z − 1 = 0 3y − w = 0

.

(a) Si studino le posizioni relative di r

_λ

e s

_λ

al variare di λ ∈ R.

(b) Nei casi in cui r

_λ

e s

_λ

sono incidenti, si determinino le equazioni parametriche e cartesiane del piano contenente le due rette.

Sarti

(2)

{[ 1 1 1 1

] ,

[ 0 3 2 4

] ,

[ 0 −5

−4 0

] ,

[ 0 13 8 −6

]}

.

(b) Al variare di h ∈ R, sia U

h

il sottoinsieme di M

₂_×2

( R) deﬁnito da U

_h

:=

{

A ∈ M

2×2

( R) |

[ 1 h 2 0

] A =

[ 0 h 0 0

]}

.

Si determini per quali h U

h

` e sottospazio vettoriale di M

2×2

( R); per tali h, se ne calcoli la dimensione e se ne esibisca una base.

(c) Si consideri il sottospazio vettoriale V

_k

di M

₂_×2

( R) deﬁnito da V

_k

:=

{

B ∈ M

2×2

( R) |

[ k 0

k + 1 2k + 1 ]

B ∈ AntSym(R) }

,

con k ∈ R parametro.

Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

, e si stabilisca se C ∈ V

k

.

(d) Nei casi in cui dim V

_k

= 1 si stabilisca se il generatore individuato in (c) sia una matrice invertibile e, in caso aﬀermativo, se ne calcoli l’inversa.

(e) Si deteminino le dimensioni di U

₀

∩ V

k

e U

₀

+ V

_k

.

2. Nello spazio aﬃne A

⁴

, al variare di λ ∈ R, si considerino la retta r

λ

passante per i punti P

₀

= (2, 0, 6, λ) e P

₁

= (1, 2λ, 3, 0) e la retta s

_λ

di equazione cartesiana

 



 

λx − w − 1 = 0 x + y − 1 = 0 3x − z = 0

.

(a) Si studino le posizioni relative di r

_λ

e s

_λ

al variare di λ ∈ R.

(b) Nei casi in cui r

_λ

e s

_λ

sono incidenti, si determinino le equazioni parametriche e cartesiane del piano contenente le due rette.

Burgnich

(3)

(b) Al variare di h ∈ R, sia U

h

il sottoinsieme di M

2×2

( R) deﬁnito da U

_h

:=

{

A ∈ M

2×2

( R) | A

[ 1 2 h 0

]

=

[ 0 0 0 h

]}

.

Si determini per quali h U

_h

` e sottospazio vettoriale di M

₂_×2

( R); per tali h, se ne calcoli la dimensione e se ne esibisca una base.

(c) Si consideri il sottospazio vettoriale V

_k

di M

₂_×2

( R) deﬁnito da V

_k

:=

{

B ∈ M

2×2

( R) | B

[ k − 1 k

0 2k − 1

]

∈ AntSym(R) }

,

con k ∈ R parametro.

Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

, e si stabilisca se C ∈ V

k

.

(d) Nei casi in cui dim V

_k

= 1 si stabilisca se il generatore individuato in (c) sia una matrice invertibile e, in caso aﬀermativo, se ne calcoli l’inversa.

(e) Si deteminino le dimensioni di U

₀

∩ V

k

e U

₀

+ V

_k

.

2. Nello spazio aﬃne A

⁴

, al variare di λ ∈ R, si considerino la retta r

λ

passante per i punti P

₀

= (0, 6, λ, 2) e P

₁

= (2λ, 3, 0, 1) e la retta s

_λ

di equazione cartesiana

 



 

z − λw + 1 = 0 x + w − 1 = 0 y − 3w = 0

.

(a) Si studino le posizioni relative di r

_λ

e s

_λ

al variare di λ ∈ R.

(b) Nei casi in cui r

_λ

e s

_λ

sono incidenti, si determinino le equazioni parametriche e cartesiane del piano contenente le due rette.

Facchetti

(4)

{[ 1 1 1 1

] ,

[ 0 3 2 4

] ,

[ 0 −5

−4 0

] ,

[ 0 10 6 −10

]}

.

(b) Al variare di h ∈ R, sia U

h

il sottoinsieme di M

2×2

( R) deﬁnito da U

_h

:=

{

A ∈ M

2×2

( R) |

[ 1 h 2 0

] A =

[ 0 0 0 h

]}

.

Si determini per quali h U

_h

` e sottospazio vettoriale di M

₂_×2

( R); per tali h, se ne calcoli la dimensione e se ne esibisca una base.

(c) Si consideri il sottospazio vettoriale V

_k

di M

₂_×2

( R) deﬁnito da V

_k

:=

{

B ∈ M

2×2

( R) |

[ −k 0

1 − k 1 − 2k ]

B ∈ AntSym(R) }

,

con k ∈ R parametro.

Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

, e si stabilisca se C ∈ V

k

.

(d) Nei casi in cui dim V

_k

= 1 si stabilisca se il generatore individuato in (c) sia una matrice invertibile e, in caso aﬀermativo, se ne calcoli l’inversa.

(e) Si deteminino le dimensioni di U

₀

∩ V

k

e U

₀

+ V

_k

.

2. Nello spazio aﬃne A

⁴

, al variare di λ ∈ R, si considerino la retta r

λ

passante per i punti P

₀

= (6, 2, 0, λ) e P

₁

= (3, 1, 2λ, 0) e la retta s

_λ

di equazione cartesiana

 



 

λy − w − 1 = 0 y + z − 1 = 0 x − 3y = 0

.

(a) Si studino le posizioni relative di r

_λ

e s

_λ

al variare di λ ∈ R.

(b) Nei casi in cui r

_λ

e s

_λ

sono incidenti, si determinino le equazioni parametriche e cartesiane del piano contenente le due rette.

Bedin

(5)

(b) Al variare di h ∈ R, sia U

h

il sottoinsieme di M

2×2

( R) deﬁnito da U

_h

:=

{

A ∈ M

2×2

( R) | A

[ 1 2 h 0

]

=

[ h 0 0 0

]}

.

Si determini per quali h U

_h

` e sottospazio vettoriale di M

₂_×2

( R); per tali h, se ne calcoli la dimensione e se ne esibisca una base.

(c) Si consideri il sottospazio vettoriale V

_k

di M

₂_×2

( R) deﬁnito da V

_k

:=

{

B ∈ M

2×2

( R) | B

[ −k 1 − k 0 1 − 2k

]

∈ AntSym(R) }

,

con k ∈ R parametro.

Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

, e si stabilisca se C ∈ V

k

.

(d) Nei casi in cui dim V

_k

= 1 si stabilisca se il generatore individuato in (c) sia una matrice invertibile e, in caso aﬀermativo, se ne calcoli l’inversa.

(e) Si deteminino le dimensioni di U

₀

∩ V

k

e U

₀

+ V

_k

.

2. Nello spazio aﬃne A

⁴

, al variare di λ ∈ R, si considerino la retta r

λ

passante per i punti P

₀

= (λ, 0, 2, 6) e P

₁

= (0, 2λ, 1, 3) e la retta s

_λ

di equazione cartesiana

 



 

x − λz + 1 = 0 y + z − 1 = 0 3z − w = 0

.

(a) Si studino le posizioni relative di r

_λ

e s

_λ

al variare di λ ∈ R.

(b) Nei casi in cui r

_λ

e s

_λ

sono incidenti, si determinino le equazioni parametriche e cartesiane del piano contenente le due rette.

Guarneri

(6)

{[ 1 1 1 1

] ,

[ 0 3 2 4

] ,

[ 0 −5

−4 0

] ,

[ 0 13 8 −6

]}

.

(b) Al variare di h ∈ R, sia U

h

il sottoinsieme di M

2×2

( R) deﬁnito da U

_h

:=

{

A ∈ M

2×2

( R) |

[ 1 h 2 0

] A =

[ 0 0 0 h

]}

.

Si determini per quali h U

_h

` e sottospazio vettoriale di M

₂_×2

( R); per tali h, se ne calcoli la dimensione e se ne esibisca una base.

(c) Si consideri il sottospazio vettoriale V

_k

di M

₂_×2

( R) deﬁnito da V

_k

:=

{

B ∈ M

2×2

( R) |

[ k − 1 0 k 2k − 1

]

B ∈ AntSym(R) }

,

con k ∈ R parametro.

Al variare di k ∈ R, si determinino la dimensione e una base di V

k

, e si stabilisca se C ∈ V

k

.

(d) Nei casi in cui dim V

_k

= 1 si stabilisca se il generatore individuato in (c) sia una matrice invertibile e, in caso aﬀermativo, se ne calcoli l’inversa.

(e) Si deteminino le dimensioni di U

₀

∩ V

k

e U

₀

+ V

_k

.

2. Nello spazio aﬃne A

⁴

, al variare di λ ∈ R, si considerino la retta r

λ

passante per i punti P

₀

= (6, λ, 2, 0) e P

₁

= (3, 0, 1, 2λ) e la retta s

_λ

di equazione cartesiana

 



 

y − λz + 1 = 0 z + w − 1 = 0 x − 3z = 0

.

(a) Si studino le posizioni relative di r

_λ

e s

_λ

al variare di λ ∈ R.

(b) Nei casi in cui r

_λ

e s

_λ

sono incidenti, si determinino le equazioni parametriche e cartesiane del piano contenente le due rette.

Picchi