Probabilità mediante l'analisi combinatoria D

Probabilità mediante l'analisi combinatoria

D_n,k = Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)

Nel calcolo del numero di modalità con cui si presenta un evento e' utile talvolta utilizzare le definizioni del calcolo combinatorio

D

=Disposizioni senza ripetizione di n oggetti a k a k (o di classe

Se ho n oggetti distinti (le lettere dell'alfabeto n=21) e voglio contare quante quadruple (k=4) distinte (che tengon conto dell'ordine) si possono costruire utilizzando (senza ripetizione-reimmissione) lgli n

oggetti ottengo n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=143640 quadruple Introducendo la notazione n!=(n-1)(n-2)...1

e generalizzando ad un k qualsiasi ottengo D_n,k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n!/(n–k)!

D^R _n,k = Disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k (o di classe k)

= n^k

Probabilità mediante l'analisi combinatoria

P

= Permutazioni di n oggetti distinti

Se k = n le Disposizioni si chiamano permutazioni D_n,n = P_n = n!

ovvero le Permutazioni di n oggetti distinti sono il numero di tutte le n-ple che si possono costruire, tenendo conto dell'ordine, utilizzando tutti gli n oggetti (senza ripetizione-reimmissione)

Esempi

Se gli oggetti sono le lettere dell'alfabeto italiano, il numero di permutazioni possibili è

Gli anagrammi sono permutazioni.

Gli anagrammi di LUCIA sono 5! = 120

Probabilità mediante l'analisi combinatoria

P

= Permutazioni di n oggetti di cui m sono uguali

●

Se degli n oggetti m sono uguali ,il numero delle permutazioni è ridotto P

= Pn/Pm = n!/m!

●

Se degli n oggetti m sono di tipo A, r di tipo B... il numero delle permutazioni è ridotto a

P

= n!/(m!r!..)

●

Esempio: gli anagrammi di Pippo sono 5!/3! = 20

Probabilità mediante l'analisi combinatoria

C

= Combinazioni di n oggetti a k a k (o di classe k)

C

sono tutte le k-uple che non tengono conto dell'ordine che si possono costruire utilizzando ( senza ripetizione) k fra gli n oggetti:

quindi si tratta di dividere le D

per il numero di permutazioni P

= k! ovvero

C

= D

/k! = n! / ^(n–k)!k!

i numeri C

vengono anche detti (per un motivo che chiariremo più avanti) “coefficienti binomiali” e indicati con

(

) = n!/(n–k)!k!

Distribuzione Binomiale

B

Consideriamo un esperimento casuale ripetibile (lancio di una moneta ,di un dado…) e supponiamo di ripetere l'esperimento un numero n di volte.

Supponiamo di essere interessati a una modalità dell'esperimento evento A (testa, faccia 5..) che valutiamo essere un “successo” mentre la comparsa dell’evento complementare Ā viene considerato “insuccesso”. Ci chiediamo

qual'e' la probabilità di osservare un numero intero k = 0,1,2,…n di volte la comparsa dell'evento "successo" su n prove ripetute nelle stesse condizioni

sperimentali e indipendenti fra loro.

Si suppone nota la probabiltà P(A) = p di A e P(Ā) = q di Ā con p + q = 1

Definizione:

La Distribuzione Binomiale è la risposta al problema di valutare la probabilità di osservare un numero intero

k = 0,1,2,3...,n di “successi” in n prove ripetute

nelle stesse condizioni sperimentali e indipendenti tra loro.

Un possibile risultato delle prove sia, per esempio, la sequenza AĀAĀĀAAĀĀAAAĀAAĀĀAAA

in cui su n = 20 prove ripetute e indipendenti si presentano k = 12 eventi A (“successi”)

e n - k = 8 eventi Ā (“insuccessi”).

La probabilità che si sia verificata la sequenza di eventi indipendenti A e Ā è il prodotto delle loro probabilità

la P(sequenza) = p q p q q... = p

q

L’evento k successi in n prove può presentarsi con modalità diverse tante quante sono le permutazioni di n elementi di cui k di tipo A e (n-k) di tipo Ā

ovvero n!/(k!(n-k)!)

che è stato chiamato coefficiente binomiale

e viene indicato come (

)

Coefficiente binomiale (

) = n!/(k!(n-k)!)

Si richiama alla formula dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio a+b

(a+b)

=  _k (

) ^a

^b

La probabilità di osservare un numero intero k = 0,1,2,3...,n di “successi” in n prove ripetute

e indipendenti si ottiene applicando la legge della probabilità totale per eventi disgiunti, ovvero è il prodotto di

p

q

per il numero di modalità (

)

ovvero

( ⁿ _k ) p ^k q ^(n-k)

detta Distribuzione binomiale indicata con Bn,p(k)

k = 0,1,2,3...,n è detta variabile binomiale

Esempi B _n,p (k) = ( ⁿ _k ) p ^k q ^(n-k)

B _n,p ( ^k ) n = 20 p = 0,3

Caratteristiche della distribuzione binomiale - la distribuzione binomiale è normalizzata

●

Dalla formula dello sviluppo della potenza n-esima del binomio

●

(a+b)

=  _k ( ⁿ _k ) ^a

^b

● Ponendo a=p e b=q con p+q=1 risulta

●

1 =(p+q)

=  _k ( ⁿ _k ) p

^q

●

^ma (

)p

q

= B

(k) quindi

●

1=  _k ^B

^(k)

●

La Binomiale e’ normalizzata

valor medio atteso e varianza (da Carnelli)

Distribuzione binomiale – la varianza è np(1-p) = npq

Distribuzione di Poisson

Per n  e p  0 ma np limitato = m

la distribuzione binomiale assume una forma semplice dipendente dal solo parametro m detta distribuzione di eventi rari o distribuzione di Poisson

B _n,p (k)

P _m (k) = e ^-m m ^k

k!

variabile k = 0,1,2, ……

Esercizio

Confronto fra Binomiale con Np = 5 per N crescenti e p0

con la Poissoniana P

(k)