Probabilita' mediante l'analisi combinatoria
Dn,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)
Nel calcolo del numero di modalita' con cui si presenta un evento e' utile talvolta utilizzare le definizioni del calcolo combinatorio
Dn,k =Disposizioni semplici ( senza reimmissione )di n oggetti a k a k (o di classe k)
Se ho n oggetti distinti (le lettere dell'alfabeto) e voglio contare quante quadruple (k=4) distinte (che tengon conto dell'ordine) si possono costruire utilizzando (senza reimmissione) gli n oggetti devo
calcolare
n*(n-1)*(n-2)*(n-3)=143640
Introducendo la notazione n!=(n-1)(n-2)...1 e generalizzando ad un k qualsiasi ottengo
Dn,k =n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n–k)!
DR n,k =Disposizioni con ripetizione (con reimmissione) di n oggetti a k a k (o di classe k) =nk
Probabilita' mediante l'analisi combinatoria
Pn=Permutazioni di n oggetti
Se k=n le Disposizioni si chiamano permutazioni Dn,n =Pn =n!
ovvero le Permutazioni di n oggetti sono il numero di tutte le n-ple che si possono costruire, tenendo conto dell'ordine, utilizzando tutti
gli n oggetti (senza reimmissione -ripetizione)
Esempio: gli oggetti sono le lettere dell'alfabeto italiano ,il numero di permutazioni possibili e' P21 =21!
Esempio: quanti sono gli anagrammi di LUCIA? 5!=120
Probabilita' mediante l'analisi combinatoria
Pn=Permutazioni di n oggetti con elementi ripetuti
Se degli n oggetti m sono uguali il numero delle permutazioni e' ridotto P
n(m) = Pn/Pm=n!/m!
Se degli n oggetti m sono di tipo A, r di tipo B ...
il numero delle permutazioni e' ridotto a Pn(m,r,..) = n!/(m!r!..)
Esempio: gli anagrammi di Massimo sono 7!/(2!2!)=420
Probabilita' mediante l'analisi combinatoria
Cn,k=Combinazioni semplici di n oggetti a k a k (o di classe k) k)
Cn,k sono tutte le k-uple che non tengono conto dell'ordine che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti:
quindi si tratta di dividere le Dn,k per il numero di permutazioni Pk=k! ovvero
Cn,k=Dn,k/k!= n!/(n–k)!k!
i numeri Cn,k vengono anche detti( per un motivo che chiariremo piu' avanti) “coefficienti binomiali e indicati con (nk))=n!/(n–k)!k!
Le variabili casuali o aleatorie
Intuitivamente un numero casuale o aleatorio e' un numero sul cui valore non siamo certi per carenza di informazioni (ad esempio la durata di un
macchinario,il valore di un titolofra 2 giorni...)
Nella teoria della probabilita' il numero aleatorio e' definito formalmente con riferimento ad un esperimento casuale o
aleatorio. Consideriamo ancora il risultato di un esperimentocasuale , (lancio di una moneta o di un dado...)e sia S il suo spazio
campionario.
Si puo' associare ad ogni evento semplice ( o complesso) di S un numero reale positivo legandolo ad una caratteristica dell'evento.
Il numero associato e' una variabile casuale ( o aleatoria) poiche' e' stato riferito al risultato di un esperimento esso stesso casuale.
L'intervallo di valori di X e' detto spazio campionario numerico
Esempio :lancio di 2 dadi indipendenti
Sia S e' lo spazio campionario dell'esperimento lancio di 2 dadi indipendenti e si osservi la somma delle facce in ogni lancio
si puo' immaginare di raccogliere in un unico evento complesso gli eventi semplici che danno la stessa somma e associare a detto evento
complesso il numero reale positivo somma X delle facce (1,6) (2,5) 3,4) (4,3) (5,2) (6,1) →7
La variabile aleatoria X puo' assumere i valori interi da 2,..., 12.
Legge di probabilita' di un numero aleatorio Xi
La probabilita' di Xi ,che si indica P(Xi), e' la Probabilita' dell'evento elementare o complesso Ei a cui e' stata associata la variabile Xi
Se gli eventi Ei sono mutualmente eclusivi ed costituiscono una partizione dello spazio S ovvero E1∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ∪...=S
la condizione di P(Ei)=1
equivale alla condizione di normalizzazione P(Xi)=1
Esempio: distribuzione di probabilita' della variabile somma dei numeri che appaiono sulle facce superiori nel lancio di 2 dadi
simmetrici
E' facile verificare che le probabilita' P(Xi) sono : P(2)=1/36, P(3)=2/36, P(4)=3/36, P(5)=4/36, P(6)=5/36
P(7)=6/36, P(8)=5/36, P(9)=4/36, P(10)=3/36, P(11)=2/36 , P(12)=1/36
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' di una variabile aleatoria discreta
●
● Siano Xi N variabili aleatorie discrete e siano state definite le loro probabilita' P(Xi) che soddisfano le condizioni:
● a) 0⩽P(Xi)⩽1
● b) Σ P(Xi) = 1 dove la Σ e' estesa a tutto lo spazio campionario delle variabili Xi ( i =1,N).
● L'insieme degli N valori P(Xi ) costituiscono una distribuzione di probabilita' discreta.
● L'assegnazione della Probabilita' alle variabili Xi puo' procedere, come nell'esempio precedente ,a partire dallo spazio degli eventi Ei o direttamente
assegnando ad ogni Xi una probabilita' P(X i ) soddisfi le condizioni a) e b).
●
Esempio lancio di 3 monete indipendenti
Si associ ad ogni evento dello spazio campionario S il numero totale X di teste che possono essere 0,1,2,3 .
La variabile aleatoria Xi puo' quindi assumere i valori 0,1,2,3
Si assegna alla Xi la probabilita' P(Xi) che e' la Probabilita' definita sull'insieme da cui la Xi proviene come mostrato in figura
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' di una variabile aleatoria continua
Se la variabile casuale X puo' assumere tutti i valori in un intervallo continuo (a,b) ,la variabile e' detta continua. Si noti che la variabile
casuale continua e' un'astrazione: essa non osservabile nella realta'.
Cio' non toglie che le variabili casuali continue abbiano grande impotanza nella statistica come modelli approssimati di situazioni
reali.
Esempio variabile continua
Si supponga di voler considerare l'altezza di adulti maschi estraendo un campione a caso da una popolazione. L'altezza di una popolazione e' di per se'
una variabile continua , ma la misura di un numero finito della variabile altezza estratta dai un campione porta ad un numero discreto di valori .Pur tuttavia si
puo' immaginare di procedere intuitivamente assegnando a intervalli contigui della variabile altezza una probabilita' che soddisfi la definizione assiomatica.
Rappresentazione della distribuzione di probabilita' per variabili aleatorie continue-
La rappresentazione grafica che corrisponde ad una suddivisione in intervalli dello spazio campionario di una variabile aleatoria continua e' un istogramma a intervalli, ossia con
rettangoli aventi per basi segmenti uguali all'ampiezza ∆ dell'intervallo scelto e per altezza la probabilita' dell'intervallo diviso ∆.
Si immagini ora di prendere intervalli sempre piu' piccoli . Il profilo del grafico diventa sempre piu' regolare mentre resta invariato il significato
dell'altezza e dell'area dell'istogramma il cui valore totale e' 1.
L'istogramma e' normalizzato ad 1 ovvero che la probabilita' che una variabile X sia compresa nell'intero range o spazio
campionario e' la certezza.
Funzione densita' di probablita'
Spingendo al limite →0 l'intervallo ∆
si puo' immaginare che la spezzata diventi una curva continua f(x) detta Funzione di densita’ di probabilita’.L'area f(x)dx del rettangolo infinitesimo evidenziato in figura e' la probabilita' che la variabile X sia compresa fra x e
x+dx
Definizione di funzione densita' di probabilita'
Si chiama funzione densita' di probabilita' di una variabile casuale continua X definita nell'intervallo (a,b) una funzione
che possiede le seguenti proprieta':
a) f(x)≥0
b) ∫ab f(x)dx =1
Valore atteso e varianza di una distribuzione di probabilita'
Si definisce valore atteso o media della variabile casuale X ,il numero
E(X)= Σi Xi P(Xi) per distribuzioni discrete
E(X)=∫ab X f(x)dx per distribuzioni continue.
Indicando con µ il valore E(X)
si definisce varianza di X , e si indica con σ2
σ2 =Σi (Xi ‒ µ)2 P(Xi) per distribuzioni discrete
2 = ∫ab (X µ)2 f(x)dx per distribuzioni continue.
Momenti
Per una variabile casuale X (discreta o continua)avente una
funzione di distribuzione di probabilita' P(X) ( funzione di densita' di probabilita' f(x))e' possibile introdurre i cosidetti momenti (rispetto
all'origine) µk di ordine k
µk =E(Xk)
Il momento di ordine 1 e' il valore atteso E(X)=µ Il momento di ordine 2
µ2=E(X2)= Σi Xi2 P(Xi) per distribuzioni discrete
µ2=E(X2)=∫ab X2 f(x)dx per distribuzioni continue.)
-Calcolo della varianza σ2 =µ2–µ2
Dalla definizione di varianza
σ2 =Σi (Xi– µ)2 P(Xi) per distribuzioni discrete sviluppando il quadrato si ottiene:
σ2 =Σi (Xi2–2µXi+ µ2) P(Xi)=
= Σi (Xi2) P(Xi)–2µ Σi Xi P(Xi)+µ2Σi P(Xi)=
=E(X2)–2µΕ(X)+ µ2=E(X2)– µ2
la dimostrazione procede analogamente per distribuzioni continue
