Pagina 10

Errata Corrige

Pagina 10

Problema 1.1 - domanda 2 F= eE_A =2.76× 10⁻¹⁵N

Pagina 11

Problema 1.2 - testo domanda 3 + figura

3) il lavoro del campo elettrostatico per uno spostamento

rigido del dipolo elettrico dal punto A (– a,d) al punto B (a,d) W

– + x

q

O q

A(–a,d) B(a,d)

d=2a y

Problema 1.2 - domanda 2 F x

( )

dx

u_x= −d − pi E x

( )

⎡⎣ ⎤⎦

dx = − 2 p 4πε₀

q₁ a+ x

( )

(

)

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥ u_x

Pagina 12

Problema 1.2 - domanda 2 F= −2 p q

(

)

4πε₀a³

u_x=

(

)

Pagina 14

Problema 1.3 - domanda 1

U_e= − pu_xi E

(

)

F= q₀E ⇒ E = F

q₀ = 2.55kV/m ⇒ E_y= E²− E_x² = 1.8 kV/m Problema 1.3 - domanda 3

V_P = q

4πε₀a− q

4πε₀a+ q₃

4πε₀a 2 = q₃

4πε₀a 2 =254V

E_c^∞

( )

Pagina 19

Problema 2.1 - figura

C

B A

+ + + + + + + + + + + + + + +

σ

σ

λ R

P

P

2d –

+ + + + + + + + + + + + + + +

γ

Pagina 20

Problema 2.1 - domanda 3

W = −e(V_B− V_A)= −e −E

(

)

0

2R=0.54× 10⁻¹⁷ J= 33.8 eV

Pagina 22

Problema 2.3 - domanda 2 V₂− V₁= − 

E₊+  E₋

( )

P₁ P₂

∫

= − λ

2πε₀rdr− σ 2ε₀

d 2 d−a

∫

d 2 2

∫

2a− σ 2ε₀

d 2− a

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =4.65 kV

Pagina 27

Problema 2.7 - domanda 2 ΔV = − 

Eid

∫

(

)

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ dx =

0 x₁

∫

2πε₀lnd− x₁ d

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= −188 V

Pagina 31

Problema 2.10 - domanda 1 E= λ

2πε₀x_P − σ 2ε₀ = mg

q tanθ = 7.1 kV/m

x_P = qλ cosθ

π 2mgε

(

)

Problema 2.10 - domanda 3 ΔV = V_P− V_piano= − σ

2ε₀

(

)

0

lnx_P

d =786 V

 =d− x_P

sinθ =44 cm

v= −2qΔV

m − 2g 1− cosθ

( )

Pagina 33

Problema 2.11 - domanda 3 E_c= E_c,0−qσ z₀

ε₀ =2.53× 10⁻¹⁵J

Pagina 35

Problema 2.13 - domanda 2 V₂− V₁= − E dx

x1

x₂

∫

R

∫

(

)

∫

= λ2πε₀ − dx x

R a− R

∫

dx x− a

R

∫

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= λ

2πε₀ ln R a− R+1

2ln R a− R

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=− 75 V Problema 2.13 - domanda 3

v= −2qΔV

m =5.13× 10⁶ m/s

Pagina 38

Problema 2.15 - domanda 2 v= −2qκ E_dx₀

m +v₀² =1.48× 10⁴ m/s

Pagina 40

Problema 2.17 - domanda 2 E_d = q₁+ q_G

4πκε₀r² = 183 V/m Problema 2.17 - domanda 3

3) La differenza di potenziale fra la superficie interna e il punto P è V_interna− V_P = − 

E₀• ds

R₃ R₂

∫

∫

∫

∫

= − q₁+ q_d 4πε₀r²dr

R₃ R₂

∫

∫

4

3π r

(

)

4πκε₀r² dr

R₂ R₁

∫

= − q₁+ q_d 4πε₀r²dr

R₃ R₂

∫

∫

R₂ R₁

∫

∫

=q₁+ q_d 4πε₀

R₃− R₂ R₃R₂ + q₁

4πκε₀

R₂− R₁ R₂R₁ − ρ

6κε₀

(

)

0

R₂− R₁

R₂ == 17.27 V per cui il lavoro è dato da

W =ΔU = q₂

(

)

Problema 2.18 - domanda 2 V₁− V₂ = − 

E• dr

R₂ R1

∫

∫

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dr

R₁ R2

∫

R₁ R2

∫

R₁ R2

⎡

∫

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ =

= ρ3ε₀

R₂²− R₁²

( )

2 + R₁³ 1 R₂ − 1

R₁

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥= 2.54 kV

Pagina 45

Problema 3.1 - domanda 3

′

q₁= 4πε₀R₁V= − 5 nC σ₁′=ε₀E₁= −159nC/m²

′

q₂ = 4πε₀R₂V = −10 nC σ′₂=ε₀E₂= − 79nC/m²

′

q₃= 4πε₀R₃V = − 20 nC σ′₃=ε₀E₃= − 40nC/m²

Pagina 48

Problema 3.3 - domanda 4 E_c

( )

0R= 112eV

Pagina 52

Problema 3.6 - domanda 1 E₁= 1

4πε₀κ q₁ R₁²

u_r = − 90 V/m

( )

E₂ = 1 4πε₀

q₂ R₂²

u_r =

(

)

⎧

⎨⎪⎪

⎩

⎪⎪

Problema 3.6 - domanda 2 V₂ = − 

E₂• dr

∫

∫

E₂• dr −  E₁• dr

∫

∫

∫

∫

= q₂

4πε₀R₂ + q₁ 4πε₀κ

1 R₁− 1

R₂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= 22.5 V Problema 3.6 - domanda 3

E_c

( )

0

(

)

Pagina 53

Problema 3.7 - figura

q

d R

R

C

C

r

d v

–+

κ

Pagina 58

Problema 3.10 - domanda 4 4) La carica ...

Pagina 61

Problema 3.13 - domanda 2 V₊− V₋= V₁− V₂ =q₁

C = q₁

2πε₀κrLdr

R₁ R2

∫

lnR₂ R₁

Pagina 62

Problema 3.13 - domanda 3 V_P − V₂= − q₁+ q₂

2πε₀rLdr

R₂ R_P

∫

R₂ = −419V e quindi

V_P − V₁= V_P − V₂+ V₂− V₁= V_P− V₂− V

(

)

Pagina 64

Problema 3.15 - domanda 2 2) La forza elettrostatica ...

Pagina 67

Problema 4.1 - domanda 1 E=E₀

κ = σ

κε₀ = 9.04 kV/m

Pagina 68

Problema 4.3 - testo

... di costante dielettrica relativa κ = 2.5 ...

Problema 4.9 - testo

piano sottile isolante caricato con una densità di carica σ = 0.8 µC/m². ...

Problema 4.9 - domanda 1 E₁= E − σ

2ε₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u_x = −15 kV/m

( )

E₂ = E + σ 2ε₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u_x= 75.3 kV/m

( )

Pagina 77

Problema 4.10 - domanda 1 C_i= C₁+ C₂ =ε₀ Σ

2d

(

)

Pagina 79

Problema 4.12 - domanda 3

3) La carica ai capi di C1 prima e dopo il cortocircuito è data da q_i = C₁V₁= C₂V₂ =ε₀E₂Σ = 35.4 nC

q_f =C₁E = κε₀Σ

dE = 177 nC

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Pagina 81

Problema 4.14 - figura

E

C

C

C

R

E

C

C

C

R

(a) (b)

κ κ

κ

κ

Pagina 90

Problema 4.20 - domanda 4 ΔU_e= ′U_e− U_e= ′q²

2 1 C_P + 1

′ C_S

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−q² 2

1 C_P + 1

C_S

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= 1.41×10⁻⁹J

Pagina 96

Problema 5.4 - domanda 2 q= i t ⇒ t =q

i = q jΣ = q

nevΣ = 1.75s

Problema 5.4 - domanda 3 U= NE_c= nτE_C = nΣvtE_C = CΔT

ΔT = nΣvtE_C

C =8× 10⁻⁴ K

Pagina 101

Problema 5.9 - domanda 1 V_C = E − R₁i

i= E R₁+ R₂

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ V_C = E R₂ R₁+ R₂

Pagina 107

Problema 6.3 - testo

Una particella positiva ferma (m/q = 1.56 × 10^–9 kg/C) ...

Pagina 110

Problema 6.5 - domanda 2 x_P = L = v₀t_P

y_P =1 2

eE mt_p²

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ y x

( )

2 eE mv₀² x²

Pagina 116

Problema 6.10 - figura

v

Q B

e P v

θ

R e

+

x

y

+

E d e θ

Pagina 124

Problema 7.2 - domanda 1 B₁= µ⁰i

2π 2 d 3

u_x= µ⁰i πd 3

u_x= 0.15 µT

( )

B₂ =  B₃= µ⁰i

2π 2 d

u_y= µ⁰i πd

u_y= 0.26 µT

( )

Pagina 130

Problema 7.6 - domanda 3 B₁= W₁

2m cosθ = 40 µT B₂ = W₂

2m cosθ = 20 µT

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

Problema 7.8 - domanda 1

alla corrente che circola sulla semiretta y  B₁= µ⁰i

4π Ru_x alla corrente che circola sulla semiretta x 

B₂ = µ⁰i 4π R

u_y alla corrente che circola sulla spira 

B₃= µ⁰i 2R

u_x

Pagina 133

Problema 7.9 - domanda 1 B_x = − µ⁰i₁

2π R₁− µ⁰i₂

2π R₂ = − 7.87 µT B_y= 0

B_z = µ⁰i₁ 2R₁ +µ₀i₂

2R₂ = 24.7 µT

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪

Pagina 139

Problema 7.13 - domanda 2

2) La forza è repulsiva fra conduttore cavo e filo 2 e attrattiva fra i due fili, quindi

Pagina 141

Problema 7.15 - domanda 3

W = ΔU_m = −mB_Ocos

( )

Pagina 149

Problema 8.1 - testo

Una bobina quadrata composta da N = 12 spire di lato d = 20 cm ruota attorno ad un lato con velocità angolare ω costante in una regione di spazio in cui c’è un campo magnetico uniforme B = 2 T. La resistenza della bobina è R = 2.5 Ω e la potenza media dissipata nella bobina in un periodo è PR,med = 0.4 W. Calcolare

Pagina 151

Problema 8.3 - testo

3) l’energia dissipata nella spira per effetto Joule fra l’istante

t0 e l’istante t WR

Pagina 157

Problema 8.8 - domanda 4 P_R = P_m=W_m

t =Fx

t =Fv= 0.39 mW

Pagina 163

Problema 8.13 - testo

3) la carica che fluisce nel circuito per una rotazione θ2 = π/4 q

Pagina 166-167

Problema 8.16 -

Un spira conduttrice quadrata di lato a = 10 cm, massa m = 20 g e resistenza complessiva R = 0.2 Ω si trova all’istante t = 0 appena al di fuori di una zona R, di larghezza L = 30 cm, in cui agisce un campo magnetico uniforme d’intensità B = 0.3 T perpendicolare al circuito stesso. Tramite un impulso ad un certo istante la spira comincia a penetrare in R con velocità iniziale v0 = 6 cm/s. Sapendo che l’energia dissipata nella spira fra il tempo t = 0 e l’istante t1 in cui comincia ad uscire dalla regione R è WR = 2.2 × 10^–5 J, calcolare:

1) la carica che ha attraversato la spira in questo tempo q 2) la velocità della spira all’istante t1 v 3) il tempo impiegato dalla spira a fare il suo percorso t1

,

v

v

B L

Soluzione

1) La variazione del flusso del campo magnetico attraverso la spira è nullo una volta che quest’ultima è completamente entrata in R: da quel momento, mentre si muove completamente immersa nella regione, non circola corrente nella spira e quindi la sua velocità rimane costante. La carica si ottiene dalla legge di Felici ricordando che il flusso iniziale è nullo

q= Ba²

R = 15 mC

2) L’energia dissipata è pari alla diminuzione di energia cinetica della spira W_R= 1

2mv₀²−1 2mv² v= v₀²−2W_R

m =3.74 cm/s

3) Su ciascun lato della spira agisce la forza data dalla II legge elementare di Laplace. Le forze agenti sui lati orizzontali si compensano, mentre la forza agente sul lato verticale all’interno della regione R non è compensata da un’analoga forza sul lato opposto finché anche quest’ultimo non entra. Quindi mentre sta entrando l’equazione del moto della spira e la sua soluzione sono

mdv

dt = iaB = −B²a²

R v ⇒ ln v

v₀ = −B²a² mR t= −t

τ con τ = mR

B²a² = 4.44 s e il tempo per entrare è quindi

t_A= −τ ln v v₀ =2.1 s

Il tempo per attraversare la spira a velocità costante è t_B= L− a

v =5.3 s

t₁= t_A+ t_B= −τ ln v₀ +

v =7.4 s

Pagina 169

Problema 8.18 - testo

...R con velocità iniziale v0; il tempo impiegato...

...

3) la velocità iniziale della spira v0

4) l’energia dissipata nella spira fra gli istanti t0 e t2 WR

Problema 8.18 - domanda 1 v₁= v₂ = L− a

Δt = 2 cm/s

Pagina 170

Problema 8.18 - domande 3 e 4

3) Ricordiamo dal problema 8.17 che la velocità del circuito mentre entra od esce da una regione a campo magnetico costante varia con la distanza x secondo la legge

v x

( )

La velocità iniziale determinata dall’impulso è quella per cui v(a) = v1 e quindi v₀= v₁+B²a³

mR = 4.25 cm/s

4) L’energia dissipata è pari all’energia cinetica persa W_R= 1

2mυ₀²−1

2mυ₂² =1.4× 10⁻⁵ J

Pagina 171-172

Problema 8.20 -

Una spira conduttrice quadrata PQRS di lato  = 1.5 m, realizzata con filo di rame, di sezione Σ = 1 mm² e resistività ρ = 1.67 × 10^–8 Ωm, si trova in una regione in cui agisce un campo B = 0.3 T uniforme e perpendicolare al piano della spira stessa. Come mostrato in figura, la spira viene deformata completamente tirando i due estremi della diagonale PR tramite due forze 

F,eguali e opposte,parallele alla diagonale fintanto che essa assume il suo valore massimo P′R = ′ 2 . Sapendo che la velocità della spira, che si mantiene costante durante la deformazione, è v = 0.15 m/s e che l’energia dissipata sulla spira durante il processo è WR = 0.5 W, calcolare:

1) la carica che percorre la bobina dall’istante iniziale a quello finale q 2) la corrente media che percorre la spira durante il processo imed

3) l’intensità media delle forze agenti sulla spira Fmed

R S

P F

Q

R P

F

B

Soluzione

1) L’area della figura alla fine del processo diventa nulla, per cui la variazione di flusso del campo magnetico è ΔΦ = B ² = 0.675 Tm²

La resistenza del circuito è R_S =ρ4

Σ = 0.1Ω

per cui, utilizzando la legge di Felici, si ha q=Φ_i−Φ_f

R_S = B

(

)

R_S = B²

R_S = 6.75 C

2) L’estremo P della spira si sposta dalla posizione P alla posizione P′percorrendo il tratto d con velocità costante per cui l’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento è dato da

Δt = d

v= − 2 2 v = 

v 1− 2 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= 2.9 s

L’intensità media di corrente durante il processo è quindi i_med = q

Δt =2.3 A

3) L’energia meccanica utilizzata per la deformazione viene completamente dissipata in calore per effetto Joule.

Il lavoro meccanico fatto per deformare la spira è pertanto W_R= 2F_medd= 2F_medvΔt

e quindi la forza agente è F_med = W_R

2vΔt = 0.57 N

Pagina 188

Problema 9.13 . Soluzione 1) L’autoflusso del toroide è Φ t

( )

( )

∫

( )

r

∫

( )

per cui l’energia potenziale immagazzinata all’istante iniziale è U_m= 1

2Li₀² = µ⁰N²a 4π lnr+ b

r i₀² = 20 mJ L= µ⁰N²

2π a lnr+ b

r = 0.4 mH

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2) Osservando che il campo magnetico è confinato nel volume del toroide, il flusso del campo magnetico attraverso la bobina è dato da

Φ_b

( )

Bi u_NdΣ

∫

( )

r

∫

r i t

( )

N N_bi₀e⁻

t τ

per cui la forza elettromotrice indotta è E_i

( )

dt = LN_b Nτ i₀e⁻

t

τ =0.16e⁻

t τ V

3) Il lavoro è dato dall’energia dissipata per effetto Joule sulla resistenza della bobina nel periodo in cui vi circola corrente

W_R= E_i²

( )

0

∫

LN_bi₀

⎛ Nτ

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

e⁻²

t τdt

0

∫

⁽

⁾

q= R_b =

NR_b =40µC

Pagina 201

Problema 10.2 - domanda 3 I_t =1

2ε₀κ vE_t² ==1 2ε₀κ c

nE_t² = 1

2cε₀nE_t²= n 2Z₀ E_t² E_t = 2Z₀

n I_t = 2Z₀ n

P_t

Σ_t = 2Z₀ n

P_i− P_r Σ_i

cosθ_i

cosθ_t =550 V/m

Pagina 203

Problema 10.3 - domanda 1 I_r = RI_i = 12 W/m²

Problema 10.4 - domande 1 e 2 θ_i =53.06^o e θ_t =36.94^o

P_r =P_i 2R_σ =P_i

2

sen²

(

)

sen²

(

)

I_r =P_r Σ_i = 1

2Z₀ E_r² =77 W/m²

E_r = 2Z₀I_r =238V/m e B_r = E_r

c =0.8µT P_i= P_r+ P_t ⇒ P_t = P_i− P_r =9.61 mW

Pagina 207

Problema 10.8 - testo

L’ampiezza del campo magnetico della luce uscente da P3 è B3 = 333 nT.

Pagina 217

Problema 11.4 - domanda 1 δ = k

(

)

(

)

λ₀ _A

(

)

Pagina 220

Problema 11.8 - testo

Il coefficiente di riflessione è R= 0.28 su ...

Pagina 222

Problema 11.8 - domanda 3 n= R+ 1

1− R =3.24 d_max =1

4 λ

n=38 nm

Problema 11.8 - domanda 3 d_min = λ

2n=76 nm

Problema 12.1 - domanda 3

I_A I_B =

sen φ_A 2

⎛⎝⎜ ⎞ φ_A ⎠⎟

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

2

sen φ_B 2

⎛⎝⎜ ⎞ φ_B ⎠⎟

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

2 = φ^B φ_A

sen φ_A 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

sen φ_B 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

2

=

λ_Asen π λ_A b senθ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

λ_Bsen π λ_B b senθ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

2

= 20.2

Pagina 232

Problema 12.4 - testo

b) tale massimo principale è appena separato secondo Rayleigh dal massimo principale dello stesso ordine di una lunghezza d’onda che differisce da λ1 di Δλ = 0.075 µm

Pagina 236

Problema 12.1 - domanda 4 Na2π

λ senθ_min = 2 ′mπ con m′= 1, 2