Il Dipolo Elettrico Il Dipolo Elettrico
Dipolo Elettrico: due cariche (puntiformi) +q e –q (stesso modulo, segno opposto) a distanza a.g pp )
Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo qa che va da q a +q
qa che va da –q a +q
Dato un punto P molto distante dal dipolo : r >> a Dato un punto P molto distante dal dipolo : r >> a
ϕϕ
θ ‘
r2 - r1 ≅ a cosθ ’ ≅ ≅
E
V di d d i di E
V non dipende da ϕ quindi Eϕ ∝
Per θ = 0, E // asse z,
Per θ = π/2, E
Per θ = π, … // p ! E
Anche per un sistema di più cariche (se neutro) si può definire un
di di l P d Σ Σ
momento di dipolo, P = da, con q+ = Σ qi+ , q- = Σ qi- e a = vettore tra i “baricentri” delle cariche – e +.
Momenti di quadrupolo, octupolo,…..
Forza agente su un dipolo g p
Se E è niforme allora F E F F 0
Se E è uniforme, allora F2 = q+ E = - F1 , Ftot = 0, ma c’è il momento torcente della coppia di Forze:
M = - pE sin(θ) uz
Lavoro di M per ruotare di θ il dipolop p
U( θ ) minima per
θ =0 ! -1 < 0 !
Per θ iniziale ≠ 0, moto oscillatorio, armonico per piccoli θ
S E è if E ≠ E (E < E ) aa Se E non è uniforme E1 ≠ E2 (E1 < E2)
Oltre a M c’è anche F netta Oltre a M c è anche F netta
se
a
Il dipolo si orienta e si sposta.
Il verso della forza dipende dalla derivata di E ( se E cresce o cala con x)
Angolo piano e angolo solido
Porzione di piano individuata da due semirette con l’origine in comune:
Angolo (piano) :
Angolo solido : Porzione di spazio individuata da quattro semirette (non complanari) con l’origine in comune:
dΣ0 porzione di sup. sferica
rad rad
AB ≈ r dθ, O’AO = O’DO = π/2, AD ≈ r’ d φ = r sin(θ) dφ
r’
Area ABCD ≈ r 2sin(θ) dθ dφ = d Σ0
= sin(θ) dθ dφ
strad
Legge di Gauss gg
Il campo elettrostatico di una carica è conservativo, allora anche il campo di N cariche o di una distribuzione continua di cariche è conservativo.
Consideriamo il flusso infinitesimo d Φ di un vettore (E) attraverso Consideriamo il flusso infinitesimo d Φ di un vettore (E) attraverso una superficie infinitesima dΣ
d Φ = E ⋅ u
nd Σ = E d Σ cos( θ ) = E d Σ = E d Σ
0E
nd Σ E d Σ
0d Σ
0porzione di sup. sferica
d Φ =
Legge di Gauss: il Flusso del campo elettrico attraverso una superficie Legge di Gauss: il Flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica netta all’interno, divisa per ε0
Dato che E è additivo e gli integrale si sommano, la legge vale anche per N cariche discrete o una distribuzione continua di carica.
Q è la somma di tutte le cariche interne, con il loro segno
L h D fl l
Le carche esterne non contano. Danno un flusso totale = zero.
Riprendiamo il teorema della Divergenza
Φ
Σ (v) ≡ =Applichiamolo alla Legge di Gauss
La carica Q contenuta nel volume
τ
racchiuso da Σ si può scrivere per cuiDato che
(x,y,z)
Equazione di Poisson Equazione di Poisson
Se ρ = 0
Equazione di Laplace
La Legge di Gauss è molto utile quando, per motivi di simmetria, l’integrale del Flusso è facile. Altrimenti…
Esempi
1) E costante e // a n su tutta la superficie Σ (chiusa)
Se Σ è una sfera
2) Sfera vuota di raggio R, uniformemente carica (solo) in superficie: σ = cost Campo in P, che dista r dal centro della sfera?
Ogni coppia di punti simmetrici dà un campo
i fi i i // l i h di d
infinitesimo sempre // al raggio e che dipende solo dalla distanza.
Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.
La sua sup. = 4 π r2 e il flusso di E è Φ(E) = E 4π r2 = per cui
come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera!
inoltre
Sulla sup. della sfera (r = R): E Dentro la sfera (r < R) Q = 0, E = 0
Il potenziale fuori va come 1/r
è ll fi i d
Dentro è costante e alla superficie, deve raccordarsi con quello fuori.
3) Sfera piena, uniformemente carica nel volume : ρ = cost
Stesse considerazioni sulla geometria:
prendiamo due volumetti simmetrici...
E(r) è sempre radiale e dipende solo dalla distanza.
Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.
La sua sup. = 4 π r2 e il flusso di E è E 4π r2 = per cui come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera.
E
E
r
per r ≥ R, è come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera.
concentrata nel centro della sfera.
per r = R: V (R) =
per r < R, R ≡ r !, E = , all’interno
4) Filo indefinito uniformemente carico (cilindro di raggio R << lunghezza) 4) Filo indefinito uniformemente carico (cilindro di raggio R lunghezza) densità di carica lineare λ = q / h = cost +
+ +
Per simmetria E deve essere ⊥ al filo, dipendere solo da r ed essere uguale lungo il filo.
+ + + +
Il flusso di E attraverso le basi è nullo, E ⊥ un
+ + +
Prendiamo un cilindro arbitrario di raggio r e altezza h:
n
Vale lontano dai bordi o se il filo è indefinito!
R non può essere 0 !
5) Superficie indefinita, uniformemente carica: σ = q / S = cost.
Prendiamo un cilindro di sezione Σ, con l’asse perpendicolare alla sup. , di altezza h.
p p p ,
La carica nel cilindro è quella sulla parte di superficie all’interno del cilindro Σ: q = σ Σ superficie all interno del cilindro Σ: q σ Σ
Come già visto.
(Finchè x è << delle dimensioni “ laterali ”della superficie)
N B Il E h l fl è ll t t l ò h N.B. Il campo E che compare nel flusso è quello totale, può anche derivare da altre cariche .
Es: E1 ≠ E2. ma concordi e uniformi.
+ +
E1 + E σ Prendiamo un cilindretto…
+ + + +
E1 E2
+ +
