Esercizio 1. Soluzione: Ognuno dei numeri naturali da contare dipende da 4 variabili: x1

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Esercizio 1. Soluzione: Ognuno dei numeri naturali da contare dipende da 4 variabili:

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

(rispettivamente il valore della prima, della seconda, della terza e delle quarta cifra). La x

1

ha 9 valori possibili (le cifre da 1 a 9); fissato un valore per x

1

, la x

2

ha 9 valori possibili (sempre le cifre da 1 a 9); fissato un valore per x

1

e x

2

, la x

3

ha 1 valore possibile (lo stesso valore scelto per x

2

); fissato un valore per x

1

, per x

2

e per x

3

, la x

4

ha 8 valori possibili (le cifre da 1 a 9 tranne quella scelta come valore di x

1

). Per il principio delle scelte multiple la risposta al quesito è il prodotto 9918 = 648 .

Esercizio 2. Soluzione: Ognuno dei numeri naturali da contare dipende da 4 variabili:

x

1

= la posizione della cifra 5;

x

2

,x

3

,x

4

= rispettivamente i valori delle rimanenti 3 cifre.

La x

1

ha 4 valori possibili (le 4 posizioni dalla prima alla quarta); fissato un valore per x

1

, la x

2

ha 5 valori possibili (le 5 cifre 1,2,3,4,6); fissato un valore per x

1

e x

2

, la x

3

ha 5 valori possibili (idem); fissato un valore per x

1

, per x

2

e per x

3

, la x

4

ha 5 valori possibili (idem).

Per il principio delle scelte multiple la risposta al quesito è il prodotto 4555 = 500 .

Esercizio 3. Soluzione: Ogni funzione dipende da 10 vaiabili (ogni variabile rappresenta la scelta del corrispondente dell’elemento mediante la funzione). La prima variabile (che rappresenta la scelta del corrispondente dell’elemento aA) ha un numero di valori possibili

= 5 (le 5 consonanti m,n,p,q,r). Fissato un valore della prima variabile, il numero di valori possibili della seconda variabile (che rappresenta la scelta del corrispondente dell’elemento eA) è sempre = 5 e così procedendo fino alla quinta variabile. Fissato un valore delle prime 5 variabili, il numero di valori possibili della sesta variabile (che rappresenta la scelta del corrispondente dell’elemento mA) è invece = 10 (tutti e 10 gli elementi di A, vocali e consonanti) e così procedendo fino alla decima ed ultima variabile.

Per il principio delle scelte multiple, il numero di funzioni richieste dal primo quesito è il prodotto 555551010101010 = 5

⁵

10

⁵

=50

⁵

.

Per contare solo le funzioni biunivoche basta contare quelle iniettive (ricordare che se

dominio e codominio sono insiemi finiti di eguale cardinalità, ogni funzione è iniettiva  è

surgettiva) e si deve tener conto che il numero delle possibili immagini va dunque

diminuendo: le scelte per valori delle variabili che rappresentano i corrispondenti delle

vocali sono in numero di 5,4,3,2,1, e analogamente per le consonanti sono in numero di

54321, dunque il numero delle funzioni biunivoche è 5432154321 = (54321)

²