SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

(1)

ESERCIZI SVOLTI

SISTEMI DI EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

Il metodo di sostituzione

Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema di primo grado nelle incognite x e y:





−

= +

=

−

1 3 4

4 2

y x

Quando il sistema da risolvere è dato nella forma normale, cioè nella forma:

ax by c a x b y c

+ =

 ′ + ′ = ′

 ( oppure 0

' ' ' 0)

+ + =

 + + =



la prima cosa da fare è quella di isolare, in una delle due equazioni, una delle due incognite: la x oppure la y. Se si sceglie una variabile anziché l’altra, il risultato finale non cambia, tuttavia le difficoltà di calcolo possono risultare maggiori in un caso e minori nell’altro. In generale, potendo scegliere, è preferibile isolare la variabile che ha coefficiente 1 o -1. Nel nostro caso isoliamo la y dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione:

( )

2 4 2 4

4 3 2 4 1

4 3 1

y x

x x

x y

= −



= −

 ⇒

 + = −  + − = −

 

Ora, dopo aver ricopiato la prima equazione, svolgiamo i calcoli indicati nella seconda equazione e poi ricaviamo la x:

"

" "

4 6 12 1 10 11 11

x x x x 10

 ⇒ ⇒

 + − = −  =  =

  

Abbiamo così trovato il valore numerico della prima incognita. Per ricavare il valore della y basterà sostituire alla x della prima equazione il valore ¹¹

10: 2 4

11 10

y x

x

= −

 ⇒

 =



2 y= ¹ 11

⋅10

5

11 20 9 9

4

5 5 5

11 11

11

10 10

10

y y

x x

x

 −  = − = −  = −

  

 ⇒ ⇒

  

 =  =  =

  



Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema: 11 9

;

S = − . Se vogliamo verificare che la

(2)

sistema iniziale rispettivamente i valori ¹¹ ⁹

10 e −5 e constatare quindi che le due uguaglianze ottenute risultino vere:

11 9 11 9

2 4 4

10 5 5 5

22 27

11 9

4 3 1 1

5 5

10 5

 ⋅ − − =  + =

 

   ⇒ 

 

 

 ⋅ + ⋅ − = −  − = −

   



20

⇒

4

5¹

1 1

4 4 4 vera

1 1 vera.

5 1

5

 =

  =

 ⇒

 − = −

− = −



La soluzione 11 9 10; 5

 − 

 

  è stata pertanto verificata.





−

=

− +

+

−

=

−

y x x

y

y x x

4 5

3

1 2

2 4

Risolvo

La prima cosa da fare è quella di ridurre il sistema alla forma “normale”, ossia 0

' ' ' 0

+ + =

 + + =

 .

A tal fine spostiamo tutti i termini contenenti le variabili a sinistra dell’uguale e tutti i gli altri a destra:

4 2 2 1 2 3

3 4 5 4 5 5

x x y x y

y x x y x y

− + = + + =

 

 + + + = ⇒  + =

 

La variabile che meglio si presta ad essere isolata è la y della prima equazione: isoliamola e sostituiamo nella seconda equazione:

2 3 2 3

2 3

" "

4 5 5 4 5( ) 5 4 x 10 15 5 6 10

y x y x

y x

x x x x

= =

 ⇒ ⇒ ⇒

 + =  + =  − + = − = −



− +

+ 

 −

− +

 Dalla seconda equazione ricaviamo

3

=5

x che sostituita nella prima permette di ricavare y:

5 1

2 3 2 3

3 3

5 5

3 3

y x y

x x

= − +  = − ⋅ + = −

 

 ⇒

 = 

  =

 

Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema: 5 1 3; 3 S = − .

(3)









= −

−

− + =

− 2 2 1

1

2 2 3 4 2

3

y x

y y

x x

Risolvo. Trattandosi di un sistema di equazioni a coefficienti frazionari, prima di tutto elimineremo i denominatori, poi ridurremo il sistema a forma normale ed infine attaccheremo con le fasi risolutive.

Eliminiamo i denominatori:

3 3 6 ( ) 8 6

2 6 ( ) 8 6

2 4 2 4 4

1 2 4 1 2 4 1

1 2 2 2 2

x y y x x y y

x x x y y

x y x y x

y

+ − + −

 − = −  =

   − + = −

 ⇒ ⇒

 −  − −  − = −

 − =  =

 

 

Riduciamo a forma normale:

5 5 8

4 3

x y

+ =

− − = −



Isoliamo la x dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima:

( )

5 3 4 5 8 15 7

3 4 3 4 7 7 15 15

7 17

3 4 3 4

15 15

y y y

x y

y y

x y x

− + =

 − = −

 ⇒ ⇒

 = −  = −

 



 =  =

 ⇒

 

 = −  = − ⋅ =

 

Infine: 17 7 15 15; S  

=  .









− −

=

− +

4 20 3

2 1 3

1 x x y

y x

(4)

( ) ( ) _^^ − =

=

⇒ +





−

=

= +

⇒ −









−

= − + =

−

60 4 15

8 3 2 20

3 4 12

6 3 2 2 12

20 3 4 12 12

6 6 6

3 2 2

y x

y x x

y x

x y x

y x

ricavando la x dalla prima equazione e sostituendo nella seconda equazione abbiamo:







=

= −

 ⇒





=

−

= −

⇒









− =

−

= −

⇒









=

−



 



⋅ −

= −

0 2

3 8 0

53 2

3 8

2 120 2

8 45 120

2 3 8

60 2 4

3 15 8

2 3 8

y x y y

x y y

y x y

y y x y

Sostituendo y=0 nella prima equazione ricaviamo 8 3 0

2 4 0 x y

 = − ⋅ =



 =

. Quindi: ^S ⁼{( )^{4; 0} }^.

Esercizio 5. Risolvere il seguente sistema lineare:





= +

=

− 32 8 4

200 250

100 y x

y x

Risolvo. Entrambe le equazioni possono essere semplificate dividendo ciascun membro della prima equazione per 50, per 4 quelli della seconda:





= +

=

− 8 2

4 5 2

y x

Ricavando la x dalla seconda equazione e sostituendo nella prima equazione abbiamo:

( ) ⁴ ⁴

2 8 2 5 4 16 4 5 4 9 12 3

8 2 8 2 3 4 16

8 2 8 2 8 2

3 3

y y y y y y y

x y x y

x y

x y x

 =

 

− − =

  − − = − = − =

 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 = −  = −  = −  

  

  = −  = − =

Concludiamo scrivendo la soluzione del sistema: 16 4 3 3; S  

=  .

(5)

Esercizio 6. Risolvere il seguente sistema lineare:

( )







= +

−

− =

− − 3

6 1 3 2

6 1 2

3

1 2 2

y x

y x x

y

Risolvo. Cominciamo con l’eliminare i denominatori dalla prima equazione:

( ) ( ) ( )

( )

2 2

3 1 3 2 1 6 12 1 36

6 6

3

3 9 2 12 12 1 2 36

3

y x x y

x y

y x x x y

x y

 − − − − −

 = ⇒

 + =



 − − + = + − −

⇒ ⇒

 + =





= +

=

⇒ +

3 11 27 24

y x

Ricaviamo la y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima:

( )





−

=

−

=

⇒ −





−

=

− +

x y

x x

y

x x

3 70 3

3

11 3

27 24

Dalla prima equazione ricaviamo 3

=70

x , per cui:

70 3

70 61

3 3 3

x y

 =

 = − = −



Pertanto: 70 61 3 ; 3 S= − 

 

 