SUL MOT() DI UN PUNTO ABBANDONATO NELL'INTERNO DI UN CILINDRO CIRCOLARE RETTO.
Nota di G i u l i o A n d r e o l i (Napoli).
Adunanza del?5 gennaio x92o,
I. In una Memoria ') Df~Nf~S KONIG e A. Sz0cs si sono o&upati di ricercare quale fosse il moto d'un punto abbandonato nelrinterno d'un cubo, non soggetto a forze e quindi moventesi con velocit~t costante, nell'ipotesi che la riflessione sulle pared avvenga come per corpi perfettamente elastici.
In questa Nota trattiamo lo stesso problema, considerando invece il moto d'un punto abbandonato nell'interno di un cilindro circolare retto d'altezza b e raggio di base r.
Tal~ problema equivale all'altro di studiare il moto d'una coppia di punti di cui uno si muove con velocitY, costante su un segmento riflettendosi agli estremi, e l'altro in un cerchio: basta proiettare il moto rispettivamente sull'asse e sulla base del cilindro.
Noi ricercheremo quindi:
I ~ ,per quail condizioni iniziali la traiettoria 6 chiusa e quale essa sia (traiettorie periodicbe).
2 ~ per quali condizioni iniziali la traiettoria 6 densa su una superficie, e quale sia tale superficie (traiettorie dense in superfide).
Mentre nel caso del KO~IG vi 6 un solo tipo di queste ultime, qui se ne presen- tano due del tutto diversi.
Riguardo alla riflessione su un punto S dello spigolo (incontro della superficie la- terale col cerchio base) supporremo, analogamente a quanto f a i l K61~IG, che le due rette d'arrivo e di partenza sieno simmetriche rispetto alla tangente al cerchio nel punto S: e quindi simmetriche rispetto alla bisettrice dell' angolo formato dal diametro pas-, sante per S e della generatrice passante anche per S; essendo poi ambedue contenute in un piano con tale bisettrice.
2. Sia dato ora un punto P nell'interno del cilindro ed una semiretta r' uscente
~) D. K6UlG et A. Sz0cs Mouvement d'un point abandonn~ et Vintirieur d'un cube [Rendiconti del Cirr Matematico di Palermo, t. XXXVI (2 ~ semestre 1913) , pp. 79-90].
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da e~so P. Se r' ~ par~fllela nll'asse del cilindro ~ ovvio che la traiettoria consiste pre- cisamcnte nel segmento di rett.a r determinata da r ' e compreso fra le due basi: poich~
r ~ appunto normale a tali basi.
Quindi si ha una prima categoria di traiettorie periodiche: rette parallele alle ge- neratrici~ traiettorie G.
Escluso tale cas% la retta r incontra il cilindro indefinito in clue punti
Poe P;
ove il secondo ~ quello determinato dalla semiretta r'.
Assumeremo come
numeri caratteristici
della rctta r:i ) l'angolo dledro minore di =, formato dai due piani per Po, P~ e per l'asse.
2) la distanza p fra due piani normali all'asse e passanti per Po, P , . 3) la distanza ~ di Po dal piano base.
Possiamo subito osservare che alia traiettotia considerata come avente origine in P possiamo sostitujre la stessa traiettoria avente per6 origine in Po; e che la posizione del piano" assiale passante per Po non muta nulla alla forma della traiettoria, essendo il cilindro di rotazione.
Inoltre, si pu6 osservare che partendo dall'altra retta, che nel punto
Po
si ottiene con la riflessione dellaP, Po,
si ha un'altra semi-traiettoria percorsa in scnso contrario alla prim a.Indicando con
Po,
Pz, P~, " " i punti successivi della prima semi-traiettoria, non pi~ nel cilindro limitato dalle basi, ma in quello illimitato, ed indicando conPo, P_,,
P ~ , . . . i punti successivi nella seconda semi-traiettoria, noi veniamo ad avere la suc- cessione di punti
. . . P - , , P-~, Po, P , , P~, . . .
tali che i segmenti P~P~+z, compongono tutti a'ssieme la traiettoria completa nei due sensi.
Inoltre, l'ipotesi da noi fatta sulla eventuale riflessione negli spigoli, permette senza nessun eccezione di riguardare tutta la traiettoria ottenuta nel cilindro limitato, come derivata da quella che percorrerebbe il punto nel cilindro indefinito, salvo a riportare il tutto nel primo mediante riflessioni (simmetrie) su piani normali all'asse e situati ad una distanza h, 2b, 3 h, . . . ; - - h, - - 2h, - - 3 b; . . . .
Infine, il variare della coordinata ~ ha una leggera influenza sulla forma della traiettoria net cilindro limitato, senza mutare nulla al fatto di essere periodica o densa in superficie; mentre nel caso del cilindro indefinito a cui ci riduciamo essa non ha nessuna influenza, po[ch6 il cilindro stesso ~ invariante (come per le rotazioni attorno all'asse) per traslazioni qualunque parallele alFasse.
.q. Ora, nel caso di moto del punto nel ciiindro indefinito, le coordinate dci punti 9 . - P - ~ , V-~, Po, P i , /'~, . . .
si ottengono facilmente con queste considerazioni.
Osserviamo il segmento P _ , P ; esso riflettendosi in P sulla parete del cilindro d:i luogo al segmento P P + , ; ora la riflessione nel punto P avviene precisamente come s e a l cilindro fosse sostituito il piano tangente in P " Quindi P P + , risulter~t simmetrico di P .... P. rispetto alia normale al cilindro in P ; ed essendo il cilindro di rotazione, il segmento P P,+, avr~t le stesse coordinate (~, p) di P+~ P , .
Quindi tutti i segmenti
P , P . . . . ( n = o , + I , i 2 . . . . ) hanno le stesse coordinate (x, p): ci6 che equivale a dire che essi sono situati a di- stanze eguali su un'elica cilindrica, che per una rotazione ~ porta una traslazione p ; dunque, tale elica avr~. sulle generatrici del cilindro un'inclinazione } la cui tangente
data dal rapporto della traslazione p all'arco d'ampiezza :~ e raggio r; cio~
tg ~ = -P--- .
r ~
Ora, se facciamo quelle simmetrie intorno at piani gi~ detti per ridurci al cilindro limitato e se un punto Pk deve venire a coincidere con Po, occorre anz'itutto che Pk e Po sieno sulta stessa generatrice; p o i k dovr~t essere un numero pari (poich~ bisogna fare un numero pari di simmetrie rispetto a piani paralleli per avere una traslazione);
infine kp deve essere multiplo di b.
La prima condizione dice che k~. ~ multiplo di 2::, la seconda che kp sia multiplo di b; cio~ per la periodicifft della traiettoria (condizione sufficiente) si deve avere:
- - --.~ 2 ~ ; p ~ - - . 2 b m (~., , ; m. n primi fra loro).
1~ chiaro che tall condizioni sono anche necessarie oltre che sufficienti; infatti se nel dlindro limitato la traiettoria ~ periodica, in quello illimitato (avuto mediante quelle simmetrie) il punto Pk si trover5 sulla stessa generatrice di Po e si ritorna alle condi- zioni trovate.
Quindi :
Si hanno, oltre Ie traiettorie G, anche e solo le traiettorie periodiche ,4, se i numeri caratteristici ~, p, sono della forma:
g. m
- - . 2 h .
~ t - - - q . 2 r . ; v P - - n
La traiettoria si chiude dopo n. ~ riflessioni suUe pareti laterali.
Due casi limiti si hanno, e sono interessanti; il primo se ~ - - o, p = -m-m 2 b;
n
l'altro per ~ = --~-~. 2 ~, p = o.
Nel primo si hanno ovviamente delle traietto~'ie tutte contenute in un piano as- siale; e si possono ritrovare considerando traiettorie periodiche in un rettangolo di lati b, 2 r.
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Nel secondo invece tutta la traiettoria 6 contenuta in un piano normale all'asse, e rappresenter~t un poligono stellato dovuto a riflessioni sulla circonferenza intersezione del piano col ciUndro.
Infine 6 facile vedere che il caso: 0~ qualunque, p = oo conduce alle traiettorie evidenti considerate sin dal principio: traiettorie G.
4. Esaminiamo che cosa avviene nell'ipotesi the ~ o p sia commensurabile rispet- tivamente con % b; mentre p o ~ non lo sia con h, r~.
In tal caso si avranno due tipi ( B e B ) di traiettorie dense in superficie, do- vute a
= ~----.2r~; b ~ ---m2b (traiettorie B ) --fi I s ' - 2 rr ; h - - - - 2 h m (traiettorie B2).
'~ n
Infatti, consideriamo le traiettorie B, : 6 chiaro che se ~ 6 commensurabile con
( )
~ ~--" ~ 2 ~ , dcpo ~ riflessioni sul cilindro illimitato si avr~i un P~ situato sulla stessa generatrice di Po; P~+I sulla stessa di P , . . . , P2~ sulla stessa di P~, P o e cosl via.
Per le considerazioni gi~ fatte i segmenti PoP~,
P~P~+,, P~P ....
sono tutti pa- ralleli e complanari. E cosl i segmenti: P~Pr§ Pr+~P,+~+,, P,+2~Pr§ . . . .Quindi, ritornando al cilindro limitato, pur non potendosi avere un P che coin- cida con un Po, si avranno per6 successivi punti d'impatto sulla sup~rficie laterale, che saranno densi ovunque sulla porzione di" generatrice passante per P o e compresa fra le basi, altri punti densi ovunque sulle porzioni di generatrici comprese fra le basi e passanti per P , P=, . . . ,
P~_.
Quindi la traiettoria in tal caso sar~ costituita da segmenti paralleli e densa sui ~ rettangoli costituenti un prisma regolare (stellato o no) determinati dalle basi del ci- lindro e dalle successive coppie di generatrici passanti per Po, P,; per P e per P2, . . . ,
Su tali piani, a seconda del numero pari o dispari di riflessioni subite dalle basi del cilindro, i segmenti
P Pr§
saranno paralleli a una certa direzione (di POP,) od a una ad essa simmetrica rispetto aU'asse.5. Consideriamo invece le traiettorie B~. I~ chiaro che in tal caso nessun punto P~ nel cilindro indefinito pub ritrovarsi sulla generatrice di P~, e pifi generalmente su quella d'un altro P : essendo ~ incommensurabile con ~. Ma, appunto per tale mo- tivo, si avranno sempre punti P.,, le cui generatrici siano vicine per quanto si voglia alle generatrici per P.; e questo qualunque sia r.
Invece~ essendo b commensurabile con p,
p = - - 2 b
m ndopo, n riflessioni nel cilindro limitato su!ia parete laterale, il piano normale all'asse e passante per P ritorna a coincidere con quello passante per Po"
Ora, per le considerazioni dianzi fatte sulle generatrici passanti per P e P , si avdt che i punti
. "
P-., Po, P , P,n,
. . .9 . . P = . + , , P , & + , , L , + , , . . .
9 9 ~ * , ~ 9 9 9 ~ 9 9 9 ~ 9 9 , 9 .
sono distribniti in modo uniformemente denso sulle n circonferenze intersezioni del cilindro coi piani normali all'asse e passanti per Po, P,, - . . , P.-,"
Quindi, si vede facilmente c h e l a superficie su cui la traiettoria ~ densa ~ costi- tuita da altrettante porzioni di iperboloidi rigati di rotazione; ed il cerchio di gola di tutti questi iperboloidi ~ eguale per tutti, ed ha 'come raggio la distanza minima ira Po P, e l'asse.
Casi limiti per le traiettorie B, sono: quelle per cui , - - o; si hanno allora tra- iettorie dense in un piano assiale, poicM il prisma degenera in un piano doppio.
Per le traiettorie B 2 si hanno i casi limiti in cui p = o, e si hanno allora traiet- torie dense in un piano normale all, asse: i segmenti che costituiscono tall traiettorie irtviluppano un cerchio che corrisponde a quello di gola dell'iperboloide (degenerato a' sua volta ndla corona circolare, compresa fra i detti cerchi e contata due volte).
6. Se infine n~ ~,,n~ p sono commensurabili rispettivamente con r~ ed b, si hanno punti P di cui i piani normali sono tanto vicini a quelli di Pr per quanto si voglia, e la cui generatrice ~ tanta vicina a qudla di Pr per quanto si voglia; ci6 dipende dal fatto di poter trovare un numero intero n, ed altri due c, k, tali che contemporanea- mente s i a
I(n - - c.2 b
I(n - - ,-)p - - k . 2 bl <
La traiettoria ~ densa ovunque in uno spazio (traiettorie C).
Esse per6 non penetrano mai nell'interno del cilindro coassiale al dato e che si appoggia al cerchio di gola dell'iperboloide generato dalla rotazione di Po P, attorno all'asse.
7. Riassumendo si ha quindi.
I. gi ~ una categoria di traiettorie periodiche : rette parallele alle generatrici; traiet- torie G. I punti d'impatto sul cilindro sono due, sulle dhe basi. Esse si hanno per p - - oo, o~ qualunque.
II. La coordinata ~ ~ senza influenza sulla periodicitd o suUa densifft in superficie della traiettoria.
HI. Le traiettorie periodiche, oltre le G, Sono del tipo A e si hanno per
~ - - g'2~r; p = - - z h . m
Rcnd.,Cire. Matem. Ptdermo, t. XLIV (t92o). --Stampato il 24 novembre I92o. 39
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Hanno un numero finito di punti di impatto sld cilindro.
IV. Le traiettorie dense in superficie sono di due tipi : il primo B i k dato da
cd k denso su un prisma regotare ; i punti di impatto suI cilindro sono densi su ~~n nu- mero finito di generatrici e sui Iati di due poligoni regolari, stellati o no, eguali, situati sulle due basi; il secondo B, ~ dato da
~ V ' 2 ~ ; p = m----zh
ed ~ denso su certe por~ioni di iperboIoidi rigati di rota~ione ; i punti di impatto sut ci- lindro sono densi su un numero finito di circonferen~e concentriche a quelle di base e si- tuate sulla base e su un numero finito di circonferen~e direttrici del cilindro stesso.
V. Le traiettorie dense in volume sono di un sol tipo"
2=; 2b
esse sono dense in una corona cilindrica; e i punti di impatto sono densi ovunque sulla .superficie Iaterale e densi su due corone, circolari sulle basi deI cilindro stesso. ,
Napoli, Giugno I9I 9. P
G. A~ffREOLI.
