classica del mondo fisico

Crisi della descrizione classica del mondo fisico

Radiazione in cavità (Catastrofe UV) + Effetto fotoelettrico  Fotoni hn (h=6.626 x 10 ^-34 J s

n =10 ¹⁵ Hz)

Radioattività

Superconduttività a bassa temperatura

Spettri atomici discreti  bande nei solidi

Spettri atomici



Spettri atomici (assorb e emiss) raggruppati in serie di linee spettrali



Per l’idrogeno le serie prendono il nome da Lyman, Balmer, Paschen ecc.



Differenze tra livelli energetici discreti (L m=1n, B m=2n, P m=3n e viceversa)

2

1 R n

=

E



{hkl}

Rydberg

 ^{πε me}  ^{h = eV}

= R

0

4

y

13.605

4 2π

2 2 2

Ipotesi di de Broglie

Dualismo onda particella. Elettrone è descritto anche da onda.

Relazione tra lunghezza d’onda e impulso

= h/p

Dipende dalla scala dell’oggetto con cui interagisce l’onda/particella

Se molto più grande descrizione particella altrimenti onda L’energia cinetica può allora essere scritta come

In presenza di energia potenziale l’energia totale della particella sarà la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale

E=K+U

I=V R

= p

λ 2π 

2m 2π

2m 1 2m

2 2 2

2

k

λ = p =

=

K  

 

 





Operatori quantistici

I=V R

i t z E

i p

i x p

i y p

z y x



 



 





 





 









 In meccanica quantistica gli

osservabili sono operatori che agiscono sulla funzione d'onda

Calcoliamo la lunghezza d'onda associata ad una energia di 1 eV nel caso di:

a) fotone; b) elettrone; c) neutrone a)

b)

   _μm

= m x

J =

s m

= Js E

= hc ν

= h

λ

1.24 10 1.24

1.6x10

/ 3x10

6.6x10

19 8

34 





  





E =

= h

= k λ

e

e 1.23

1.6x10 0.91x10

2

6.6x10 2m

2π

2 / 19 1 30

34







Equazione di Schrödinger

dx

= d K

2 2

2m

ˆ 



I=V R

Eψ ψ =

K ˆ

  ^{r ]ψ = Eψ}

V +

[ ²

2

2m 

 

ikx ikx + Be

Ae

ψ = ^ Particella libera non soggetta a potenziale Onda piana

Hamiltoniana nella forma più generale

2m

2 2 k

=

E 

Equazione di Schrödinger

I=V R

  ^{r ψ = Eψ}

V

+ 



 



  ²  ² 2m



ikx ikx + Be

Ae

ψ = ^ Particella libera non soggetta a potenziale Onda piana

Eq. Schrödinger

  ^{t = Ae i t = Ae iE t }

ψ ^

E ψ i

= tψ

i   /   

Elettroni liberi

Elettroni liberi di muoversi in un potenziale uniforme (zero).

Gli elettroni in un solido possono essere considerati come se fossero “liberi” sotto alcune condizioni

addizionali

  ^{r = Eψ}   ^r

]ψ V

+

[

2

2m 

 

  ^e

= V

ψ r 1

 

 

¹

3

r ψ r =

 d

Normalizzazione

V 0

k +

=

E 2m

2

 2

k

= p ψ kψ

i r

=

pψ    ovvero 



 

m

= k v 

Relazione di dispersione

Banda di energia

Le energie permesse per l'elettrone libero formano una banda continua che parte da V

in su

Relazione E-k o di dispersione

k=

V₀ Intervallo di energie proibito

Intervallo di energie permesso

V0

k +

=

E 2m

2

2

V 0

k +

=

E 2m

2

 2

Condizioni al contorno

Dobbiamo imporre delle condizioni al contorno per le soluzioni generali del problema.

L = periodicità al contorno a = passo reticolare

   

 1













ikL ikx

ikL ikx L

x ik

e e

e e e

z y x z

y L x

) (

, , ,

, 



z z z

z

y y y

y

x x x

x

N a n

L n k

N a n

L n k

N a n

L n k













2 2

2 2

2 2











a

N L



Ogni stato occupa un volume

 

V

k

Na

3 3

2 2  _ 

 

 



 



Densità degli stati DOS

La periodicità impone che gli stati stazionari siano a valori di k discreti (L=N_ia)

I valori di k sono quindi equispaziati ed ogni stato elettronico occupa un volume nello spazio k pari a

Il numero di stati in un intervallo d³k intorno a k per unità di volume è N(k) d³k duplicità di spin

La relazione di dispersione è isotropa rispetto a tutte le direzioni e quindi ci interessa conoscere la densità degli stati in funzione del modulo |k|.

ψ ( x+L,y,z ) =ψ ( x,y,z ) ψ ( x,y+L,z ) =ψ ( x,y,z ) ψ ( x,y,z+L ) =ψ ( x,y,z )

;

L

= πn k

n N

= n L

= πn k

N N N N L

= πn k

z z z

i i i

y y y

z y x x

x x

2

0 2

2









VL

L =

3 3

2π  8π



 





  ³ ₃³ ₃ ³₃

8π /

8π

2 d k

L = k d

=V k d k N

N (k)dk= 2 4 πk²dk

8π³ = k²dk

2π^{2 2m}₀





=

k  dE

V

= E

dk ⁰

2

2m





Densità degli stati DOS

DOS nulla

  ^{E m}

 ^{E V}



N  

V0 E

DOS (J-1 m-3)

Densità degli stati N(E) è il numero di stati elettronici disponibile per unità di energia per unità di volume. Non è costante!

Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE

   

3 2

2 / 1 0 2

/ 3

2 0

π 

V E

= m E

N 

Condizioni periodiche al contorno, cubo di lato L

L³ Volume del solido m₀ massa dell'elettrone

  _{ }

2 2 2 1

π

= V k

N  ^k 

Densità degli stati N(k) è il numero di stati elettronici disponibile per unità di volume.

E’costante!

k=

V₀

V0

k +

=

E 2m

2

2

Densità degli stati DOS

Calcoliamo la densità degli stati di elettroni che si muovono in un potenziale nullo con una energia di 0.1 eV.

La densità degli stati in un sistema 3D è:

Convertendo i valori di energia in eV otteniamo

che per E=0.1 eV vale

N(E)=2.15 x 10²¹ eV^-1 cm^-3

 

 





2

2 / 30 3

3 2

2 / 1 2 / 3 0

1.07x10 1.05x10

0.91x10 2

2









m J

dE E

= dE π Js

E kg

= π dE

E

= m dE E

N 

 





N ^{  }



 



 



 2 3 21

2 / 3 19

56 10 6.8x10

1.6x10 1.07x10 1

Valore indicativo, non ha vero senso.

Bisognerebbe integrarlo su un

Elettroni nell'atomo

Gli elettroni in un atomo sono soggetti al potenziale coulombiano del nucleo ed eventualmente degli altri elettroni. Ci sono due intervalli di energie di interesse.

Stati liberi Quando l'elettrone possiede un'energia cinetica sufficiente per superare l'attrazione del nucleo. Tutti i valori di energia sono permessi.

Stati legati Sono gli stati stazionari dell'atomo che abbiamo visto danno origine alle transizioni atomiche

caso dell'idrogeno

Generalmente si assume l'energia del vuoto come zero dell'energia

Gli stati legati hanno energia negativa, quelli liberi positiva

E _n =E _vac − R _y 1 n ²

E

= 0

Elettroni in un solido cristallino

Gli stati a energia più bassa, stati di core, rimangono abbastanza imperturbati e simili agli stati di core dell'atomo

Gli elettroni di valenza sono quelli coinvolti nel

legame molecolare. Nell’esempio del diamante ogni atomo di carbonio ha quattro legami covalenti con 4 altri posti ai vertici di un tetraedro equilatero

A bassa temperatura gli elettroni sono legati nei loro legami tetraedrici. Aumentando la temperatura

questi legami possono delocalizzarsi e gli elettroni

contribuire alla conduzione.

Elettroni in un solido cristallino

 I livelli energetici più alti, elettroni di valenza, si allargano in bande di

energie permesse.

 Le bande permesse possono essere separate da intervalli energetici proibiti.

Gap di energia

In un atomo, se applichiamo un campo elettrico l'elettrone non si muoverà perché soggetto al potenziale del nucleo. E' come se avesse una massa

molto grande

In un cristallo l'elettrone obbedirà ad una relazione di dispersione E-k anche se questa sarà più complicata.

All'interno di ogni banda permessa l'elettrone si comporta come se fosse libero salvo che risponde con una massa inerziale differente. Massa

efficace m

Distribuzione degli elettroni negli stati

Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi?

Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile)

Funzione di distribuzione di Fermi-Dirac

Probabilità che uno stato permesso a energia E sia occupato

f(E) ≤ 1 e monotono decrescente.

E

è l'energia di Fermi e rappresenta l'energia del livello per cui si ha probabilità di occupazione ½.

Il livello di Fermi è determinato conoscendo la densità degli stati N(E) e la densità degli elettroni.

Quando (E-E

)»k

T si ricade nella distribuzione di Boltzmann

 

kT E E

e +

= E f



1

1

Metalli Semiconduttori Isolanti

Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no?

Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile) e seguendo la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac.

A T=0 gli elettroni disporranno nelle bande via via a maggiore energia. L'energia che separa gli stati occupati da quelli non occupati è l'energia E

(T=0).

Due casi sono possibili:

• Una banda permessa è completamente piena di elettroni mentre la seguente banda permessa è separata da un gap di energia E

ed è

vuota.

• La più alta banda occupata è solo parzialmente occupata.

Conduzione

Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni nella banda non possono condurre alcuna corrente

Gli elettroni sono fermioni e le bande sono simmetriche per inversione spaziale.

Per ogni stato k (2m

v=hk) ce ne è un altro a -k.

In assenza di forza esterna, per un elettrone che si muove in un verso ce ne è un altro che si muove nel verso opposto.

In presenza di una forza esterna, se non ci sono stati disponibili in cui un elettrone può spostarsi rompendo la simmetria tra +k e -k, non può

esserci corrente netta.

Questo spiega la distinzione tra metalli (banda semipiena) e isolanti dt k

= d

F



Conduzione

La banda che a 0 K normalmente è piena di elettroni nei

semiconduttori è detta banda di valenza mentre la banda vuota superiore è detta banda di conduzione.

I metalli hanno una conducibilità molto alta a causa del numero molto alto di elettroni che possono partecipare alla corrente di trasporto. E' difficile alterare la conducibilità dei metalli.

I semiconduttori, invece, hanno conducibilità nulla a 0 K e cmq bassa a temperatura normale, ma è possibile alterare la loro

conducibilità di ordini di grandezza.

Per questo i semiconduttori possono essere usati come dispositivi

attivi mentre i metalli sono relegati ad essere usati come componenti

passivi come interconnessioni, contatti, etc.

Conduzione

La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il livello di Fermi è detta Funzione di lavoro (Work Function e

)

La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il fondo della banda di conduzione è detta Affinità elettronica (Electron Affinity e

)

e

e e

e

Livello di Fermi

Semiconduttore T=0 K Banda di valenza piena

Banda di conduzione vuota

Non c'è conduzione

Semiconduttore T>0 K

Banda di valenza con qualche vuoto

Banda di conduzione con qualche elettrone

Sia la banda di valenza che quella di conduzione possono concorrere al trasporto

Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ?

  



 

 







 

 







 

 



0

1  

E

B

F

T k

E exp E

+

dE E

= N n

N(E) densità degli stati

n numero di elettroni nella banda per unità di volume

A T=0

 





  



3π 2

2 m E E

= dE E

π E

= m E

dE E

N

=

n

F

  

 _{ }

Ha senso solo per i metalli (E_F>E₀)

Livello di Fermi

La situazione è più complicata

Per i metalli dove il numero di portatori è alto l'espressione è ancora valida n è la densità di elettroni di conduzione calcolata precedentemente.

Questo determina l'energia di Fermi

T>0

   

0 2

0

3π

2m n

= E

E





Esempio:

Un metallo ha 4.52x10²² elettroni per cm³ . Calcoliamo l’ Energia del livello di Fermi E_F a 0 K.

Assumiamo E₀=0 eV

Li

 

  

eV J

kg m

= Js E

7 . 4 10

94 . 2

10 52

. 4 10 3π

0.91 2

10 05

. 1

19

3 / 3 2 28

2 30

- 34 2







 





 

e 3

A

÷ cm

A ρ N N

=

n ∼ 10

10

Livello di Fermi

La situazione è più complicata

Per i metalli dove il numero di portatori è alto l'espressione è ancora valida n è la densità di elettroni di conduzione calcolata precedentemente.

Questo determina l'energia di Fermi

T>0

   

0 2

0

3π

2m n

= E

E



3



e

A

÷ cm

A ρ N N

=

n ∼ 10

10

Livello di Fermi

n= ∫

E₀

∞

N ( E ) e

− E− E_F k_BT

dE

 

2 / 3 2 0

0

2 2π

c

b F

c

m kT

= N

T k

E E

e N

= n

 

 









Per i semiconduttori il numero di portatori in banda di

conduzione è molto più basso (f_c(E)<<1), la distribuzione può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann

 

 

 

 

2 2 2

2 2

0 2

/ 3 3

2 2 3 0

dx 0

x2 e 0 x2 e x 0

2 2 0

2 / 3 3

2 2 3 0

2 0

0 2

/ 3 3

2 2 3 0

0

0

2 / 1 3 0

2 2 3 0

T π k

E E

e T π k

m

= dx e

T x k

E E

e T π k

m

= dy e T y

k E E

e T π k

m

= T dE

k E E e E

π E

= m n

b F

B b x F

B

x y y

b F

B

BT k

E E y E

B F





 



 



 



 



 

 

 

 

















Caso non-degenere

Caso degenere

Se il numero di portatori è alto una buona approssimazione è quella di Joyce-Dixon

Sommario