Universit`
a di Pisa
Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Specialistica in Scienze FisicheAnno Accademico 2003-2004
Tesi di Laurea Specialistica
Gravit`
a bidimensionale e
Teoria Quantistica di Liouville
Candidato Relatore
Gabriele Vajente Prof. Pietro Menotti
Riassunto della tesi
La teoria di Liouville sulla sfera `e legata alla gravit`a bidimensionale accop-piata a campi scalari di materia e alla teoria di stringa in dimensione non critica.
A livello classico la teoria `e descritta dall’azione
S[φ] = 1 4π
Z
d2xh(∂aφ)2+ 4πµe2bφ
i
che risulta invariante sotto il gruppo conforme bidimensionale se il campo trasforma con legge
φ0(w, ¯w) = φ(z, ¯z) − Q 2 log dw dz 2 dove classicamente si ha Q = 1/b.
In una prima parte della tesi rivediamo la quantizzazione canonica del-la teoria di Liouville sul cilindro, seguendo il procedimento di Curtright e Thorn (Phys.Rev.Lett 48, 1309); la simmetria conforme rimane valida a li-vello quantistico se si modifica la legge di trasformazione del campo ponendo
Q = 1/b + b. Gli operatori di vertice e2αφ sono campi primari conformi con dimensione ∆α= α(Q − α) diversa da quella classica.
Come in ogni teoria di campo quantistica `e fondamentale disporre di uno sviluppo perturbativo. Sulla pseudosfera questo `e possibile sviluppando attorno ad un campo di background regolare. Sulla sfera invece questo non `e direttamente possibile a causa di restrizioni topologiche, legate al teorema di Gauss-Bonnet. Lo scopo di questo lavoro di tesi `e lo sviluppo di un procedimento che permetta tale approccio perturbativo. Infatti sulla sfera esiste un background classico stabile in presenza di almeno tre sorgenti puntiformi. In analogia con il problema dell’uniformizzazione delle superfici di Riemann, l’equazione classica del campo di Liouville in presenza di tali sorgenti −∆φ + 4πµ e2bφ = 4π n X i=1 αiδ2(z − zi) = 4π b n X i=1 ηiδ2(z − zi)
`e riconducibile all’equazione differenziale fuchsiana
y00+ N X i=1 1 − λ2 i 4(z − zi)2 + β1 2(z − zi) y = 0
dove i parametri λi sono completamente determinati dalle sorgenti, mentre
i parametri accessori di Poincar´e βi devono soddisfare un sistema lineare
che permette di determinarli completamente solo per N = 3. In questo caso ricaviamo esplicitamente la soluzione classica e il limite semiclassico b → 0 della funzione a tre punti. Le dimensioni conformi semiclassiche degli operatori di vertice risultano essere δα = α(1/b−α) e la costante di struttura
`e in accordo con quanto previsto dalla congettura DOZZ (Zamolodchikov e Zamolodchikov Nucl.Phys. B477, 577).
Per il calcolo delle correzioni quantistiche alla funzione a tre punti si pone il problema di ottenere la funzione di Green sul background. Questo viene fatto studiando il problema classico connesso di tre sorgenti finite e una infinitesima, perturbando la soluzione trovata precedentemente. Otteniamo una formula esplicita per la funzione di Green, che si generalizza al caso di un background stabile generico. Questo apre la strada ad uno sviluppo perturbativo della teoria.
Ricaviamo anche dei risultati semiclassici sulle funzioni a N punti, con n sorgenti finite e m infinitesime, nonch´e la forma del parametro accesso-rio corrispondente alla sorgente infinitesima. Esprimendolo in funzione del campo di Liouville imperturbato con tre sorgenti abbiamo
β4 = 2ε ∂zϕ0(z)|z=t
Riguardo il caso completamente quantistico, le funzioni di correlazione sono definite come usuale da un integrale funzionale
* Y i e2αiφ(zi) + = Z [Dφ]e−S[φ] Y i e2αiφ(zi)
che qui viene suddiviso in un contributo di background e in uno di fluttua-zione quantistica. La prima correfluttua-zione quantistica `e data dal determinante funzionale dell’operatore differenziale che compare nella parte quaadratica dell’azione del campo quantistico, ovvero −∆LB+ 1 dove ∆LB `e
l’operato-re di Laplace-Beltrami sul background classico, ovvero su una superficie a curvatura costante negativa in presenza di tre difetti conici corrispondenti alle tre sorgenti. Questo calcolo viene impostato sviluppando le tecniche di heat kernel.
