ANALISI MATEMATICA 1 – Secondo Appello 13 febbraio 2017
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Corso di Laurea in FISICA | | | |
Test |Es1 |Es2 |Es3 |
• Una ed una sola delle quattro affermazioni `e corretta. Indicarla con una croce.
• Per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio.
• Risposta corretta: +1.5. Risposta errata: −0.25.
1. Se z = (1 + i√
3)3 allora a |z| = 16; b |z| = (1 +√
3)3; c arg z = π; d arg z = π3. 2. Quale delle seguenti affermazioni `e necessariamente vera? a Se !+∞
n=1a2n `e convergente allora!+∞
n=1a4n`e convergente; b Se per ogni n ∈ N bn+1 >2bn allora limn→+∞bn = +∞;
c Una successione limitata `e convergente; d Se!+∞
n=1an `e convergente allora!+∞
n=1a2n `e convergente.
3. Il polinomio di Taylor di grado 2 con centro in x = 1 della funzione f (x) = log(1 + 2x2) `e : a 43(x − 1) − 29(x − 1)2; b log 3 + 34(x − 1) −49(x − 1)2; c log 3 + 43(x − 1) −29(x − 1)2; d log 3 + 43x− 49x2.
4. Sia f : R → R una funzione derivabile. Quale delle seguenti affermazioni `e necessaria- mente vera per ogni x0 ∈ R? a Esistono x1 < x0 < x2 tali che f (x2) − f(x1) = f′(x0)(x2−x0); b f(x)−f(x0) = f′(x0)(x−x0)+o((x−x0)2); c lim
x→x0(f (x)−f(x0)) = 0;
d lim
x→x0
f(x) − f(x0) x− x0 = 0.
5. L’insieme degli α ∈ R per i quali esiste limx→+∞sin2(x)
xα `e: a α <0; b α = 0; c α >0;
d α̸= 0.
6. Il grafico della funzione G(x) :=
" x
0
t
sin t dt in un intorno dell’origine `e:
a −−−−−−−−−→
#
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0 ;
b −−−−−−−−−→
#
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0 ;
c −−−−−−−−−→
#
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0 ;
d −−−−−−−−−→
#
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0 .
7. Supponete che f : [−1, 2] → [0, 3] sia Riemann integrabile. Se I := %2
−1f(x)dx allora neces- sariamente: a 0 ≤ I ≤ 9; b 3f (−1) ≤ I ≤ 3f(2); c −3 ≤ I ≤ 3; d −1 ≤ I ≤ 6.
8. Se f : R → R `e continua e periodica con periodo T > 0, (cio`e f(x + T ) = f(x) per ogni x∈ R) allora %T
0 f(2x) dx = a 2%T
0 f(x) dx; b 12%T
0 f(x) dx; c 0; d %T
0 f(x) dx.
ANALISI MATEMATICA 1 – Secondo Appello 13 febbraio 2017
1a. (4 punti) Sia D ⊂ C il sottoinsieme D := {z ∈ C : |Re z| ≤√
2, |z| < 2}.
Disegnate D e calcolatene l’area.
1b. (4 punti) Studiate, in funzione di β ∈ R, la convergenza della serie:
+∞
!
n=1
nβ"
21/n2 − 1# .
ANALISI MATEMATICA 1 – Secondo Appello 13 febbraio 2017
2. (7 punti) Sia g : (−1, +∞) → R definita da g(x) := x2− x − log(1 + x).
1. Trovate quanti sono e di che ordine sono gli zeri di g in (−1, +∞) e disegnate approssi- mativamente il grafico di g (studiate segno, eventuali massimi e minimi e limiti agli estremi del dominio).
2. Determinate per quali α ∈ R `e convergente:
$ 1
0
xα
x2− x − log(1 + x)dx.
3. Cosa potete dire sulla convergenza di
$ 2
0
xα
x2− x − log(1 + x)dx?
ANALISI MATEMATICA 1 – Secondo Appello 13 febbraio 2017
3. (7 punti)
(a) Date la definizione di funzione Riemann integrabile su un intervallo [a, b].
(b) Dimostrate che: se f : [a, b] → R `e continua, non negativa e f(a) > 0 allora %b
af(x) dx > 0.
