Programma del corso di TEORIA DEI GRUPPI

Programma del corso di TEORIA DEI GRUPPI

tenuto dalla Prof. Mercede MAJ e dal dott. Antonio TORTORA nell'anno accademico 2017/2018

Richiami, prime definizioni e risultati

Gruppi. Esempi. Gruppo simmetrico di grado n. Gruppi di matrici. Gruppi di simmetrie, gruppi diedrali. Sottogruppi. Sottogruppo generato da una parte. Sottogruppo di Frattini e sua caratterizzazione come insieme dei non generatori.. Prodotto di sottogruppi. Identita’ di Dedekind. Laterali sinistri e laterali destri. Trasversali sinistri e trasversali destri. Indice di un sottogruppo. Proprieta’ dell’indice. Teorema di Poincare’. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Derivato di un gruppo.

Coniugio tra elementi di un gruppo, centro di un gruppo. Centralizzante di un sottoinsieme, equazione delle classi. Nocciolo e chiusura normale di un sottogruppo. Coniugio tra sottogruppi di un gruppo. Normalizzante di un sottogruppo.

Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Gruppi periodici, aperiodici, misti. p-gruppi, p-gruppi abeliani elementari, p-sottogruppi di Sylow di un gruppo.

Omomorfismi e teoremi di omomorfismo. Automorfo di un gruppo. Esempi. Automorfo interno di un gruppo e suo isomorfismo con G/Z(G).

Sottogruppi caratteristici e pienamente invarianti. Esempi. Prodotti diretti e prodotti semidiretti. Esempi.

Nozioni fondamentali e Teorema di Cayley. Gruppo simmetrico di grado n e suo ordine. Permutazioni pari, gruppo alterno di grado n e suo ordine. Cicli: esempi, proprietà e decomposizione di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti. Sistema di generatori del gruppo simmetrico e del gruppo alterno di grado n.Struttura ciclica e classe di

coniugio di una permutazione. Sottogruppi e sottogruppi normali del gruppo simmetrico e del gruppo alterno di grado 3 e 4. Teorema di Galois sulla semplicita’ del gruppo alterno di grado n, per n> 5.

Azione di un gruppo su di un insieme

Definizione di azione e di rappresentazione di permutazioni. Esempi e legame tra i due concetti. Orbite e stabilizzanti. Lagame tra la cardinalita’ dell’orbita di un elemento e l’indice del suo stabilizzante. Esempi. Applicazioni.

Il teorema di Sylow. Applicazioni del Teorema di Sylow. Gruppi di ordine pq. Argomento di Frattini-Capelli.

Sulla struttura di un gruppo

Serie di un gruppo, raffinamenti, serie di composizione, fattori di composizione. Lemma di Zassenhaus (dim facoltativa), Teorema di Schreier. Teorema di Jordan-Holder.

Gruppi abeliani

Struttura dei gruppi abeliani finiti. Gruppi abeliani liberi. Gruppi abeliani proiettivi. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generabili. Gruppi abeliani divisibili. Gruppi abeliani iniettivi. Struttura dei gruppi abeliani divisibili.

Gruppi risolubili

Serie abeliane e serie norm

Definizione di gruppo risolubile. Esempi. Serie derivata e sue proprietà. Derivato del gruppi simmetrico. Caratterizzazione della risolubilita’ in termini di serie

derivata. Sottogruppi e quozienti di un gruppo risolubile. Risolubilita’ dei gruppi di ordine pq, p2_{q, p}2_q2_{. Fattori principali di un gruppo finito, fattori di composizione e}

fattori principali di un gruppo risolubile finito.

Enunciato del Teorema di Burnside e del Teorema di Feit-Thompson.

Il teorema di Schur-Zassenhaus. I Teoremi di Hall sui gruppi risolubili finiti.

Gruppi nilpotenti

Definizione di gruppo nilpotente. Esempi. Serie centrale superiore . Serie centrale inferiore (dim facoltativa). Caratterizzazione della nilpotenza in termini della serie centrale superiore. Caratterizzazione della nilpotenza in termini della serie centrale inferiore (dim facoltativa). Sottogruppi e quozienti di un gruppo nilpotente,

prodotto diretto di due gruppi nilpotenti. Proprieta’ dei gruppi nilpotenti.

Caratterizzazioni dei gruppi nilpotenti finiti. Teorema di Fitting (dim facoltativa). Gruppi supersolubili (dim facoltative).

Testi consigliati

M. CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ Lezioni di Algebra, Liguori 1996

J. F. HUMPHREYS A Course in Group Theory, Oxford University Press, 2001

D.J.S. ROBINSON An Introduction to Abstract Algebra , de Gruyter, 2003

D.J.S. ROBINSON A Course in the Theory of Groups, Springer Verlag, 1996