Programma del corso di TEORIA DEI GRUPPI tenuto dalla Prof. Mercede MAJ e dal dott. Antonio TORTORA nell'anno accademico 2018/2019 Richiami, prime definizioni e risultati

(1)

Programma del corso di TEORIA DEI GRUPPI

tenuto dalla Prof. Mercede MAJ e dal dott. Antonio TORTORA nell'anno accademico 2018/2019

Richiami, prime definizioni e risultati

Gruppi. Esempi. Gruppo simmetrico di grado n. Gruppi di matrici.

Gruppi di simmetrie, gruppi diedrali. Sottogruppi. Sottogruppo generato da una parte. Sottogruppo di Frattini e sua

caratterizzazione come insieme dei non generatori. Gruppi finitamente generabili. Prodotto di sottogruppi. Identita’ di Dedekind. Laterali sinistri e laterali destri. Trasversali sinistri e trasversali destri. Indice di un sottogruppo. Proprieta’ dell’indice.

Teorema di Poincare’. Sotogruppi di indice finito in un gruppo

finitamente generabile. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Derivato di un gruppo.

Coniugio tra elementi di un gruppo, centro di un gruppo.

Centralizzante di un sottoinsieme, equazione delle classi. Nocciolo e chiusura normale di un sottogruppo. Coniugio tra sottogruppi di un gruppo. Normalizzante di un sottogruppo.

Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Gruppi periodici, aperiodici, misti. p-gruppi, p-gruppi abeliani elementari, p-sottogruppi di Sylow di un gruppo.

Omomorfismi e teoremi di omomorfismo. Automorfo di un gruppo.

(2)

Esempi. Automorfo interno di un gruppo e suo isomorfismo con G/Z(G).

Sottogruppi caratteristici e pienamente invarianti. Esempi. Prodotti diretti e prodotti semidiretti. Esempi.

Gruppi di permutazione. Permutazioni, cicli, decomposizione di una permutazione in prodotto di cicli . Struttura ciclica di una

permutazione. Ordine di un ciclo e di una permutazione.

Permutazioni coniugate. Permutazioni pari e permutazioni dispari.

Gruppo alterno di grado n. Sottogruppi e sottogruppi normali del gruppo simmetrico e del gruppo alterno di grado 3 e 4. Teorema di Galois sulla semplicita’ del gruppo alterno di grado n, per n> 5.

Azione di un gruppo su di un insieme

Definizione di azione e di rappresentazione di permutazioni.

Esempi e legame tra i due concetti. Orbite e stabilizzanti. Lagame tra la cardinalita’ dell’orbita di un elemento e l’indice del suo

stabilizzante. Esempi. Applicazioni.

Il teorema di Sylow. Applicazioni del Teorema di Sylow. Gruppi di ordine pq. Argomento di Frattini-Capelli.

Sulla struttura di un gruppo

Serie di un gruppo, raffinamenti, serie di composizione, fattori di composizione. Lemma di Zassenhaus (dim facoltativa), Teorema di Schreier. Teorema di Jordan-Holder.

Gruppi abeliani

Struttura dei gruppi abeliani finiti. Gruppi abeliani liberi. Gruppi

(3)

abeliani proiettivi. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generabili. Gruppi abeliani divisibili. Gruppi abeliani iniettivi.

Struttura dei gruppi abeliani divisibili. Gruppi abeliani a condizione massimale sui sottogruppi. Gruppi abeliani a condizione minimale sui sottogruppi (dim facoltativa).

Gruppi risolubili

Definizione di gruppo risolubile. Esempi. Serie derivata.

Caratterizzazione della risolubilita’ in termini di serie derivata.

Sottogruppi e quozienti di un gruppo risolubile. Risolubilita’ dei gruppi di ordine pq, p

²

q, p

²

q

²

. Enunciato del Teorema di Burnside e del Teorema di Feit-Thompson. Il teorema di Schur-Zassenhaus (dimostrazione facoltativa del caso generale). I Teoremi di Hall sui gruppi risolubili finiti. Gruppi risolubili a condizione massimale sui sottogruppi, gruppi policiclici (dim facoltative). Gruppi risolubili a condizione minimale sui sottogruppi, gruppi di Cernikov (dim facoltative)

Gruppi nilpotenti

Definizione di gruppo nilpotente. Esempi. Serie centrale superiore . Serie centrale inferiore (dim facoltativa). Caratterizzazione della nilpotenza in termini della serie centrale superiore.

Caratterizzazione della nilpotenza in termini della serie centrale inferiore (dim facoltativa). Sottogruppi e quozienti di un gruppo nilpotente, prodotto diretto di un numero finito di gruppi nilpotenti.

Proprieta’ dei gruppi nilpotenti. Caratterizzazioni dei gruppi

nilpotenti finiti. Teorema di Fitting (dim facoltativa).

(4)

Gruppi supersolubili (dim facoltative).

Testi consigliati

M. CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ Lezioni di Algebra, Liguori 1996 J. F. HUMPHREYS A Course in Group Theory, Oxford University Press, 2001

D.J.S. ROBINSON An Introduction to Abstract Algebra , de Gruyter, 2003

D.J.S. ROBINSON A Course in the Theory of Groups, Springer Verlag, 1996

J.S. ROSE A Course on Group Theory, Dover, 1994