Soluzione di u n p r o b l e m a
al c o n t o r n o della m a g n e t o - i d r o d i n a m i c a .
l~ota di R ~ A T O ~ikRDINI (a Bologna).
Sunto. - Si calcola la soluzione del probl~ma determinate dal sorgere di ond¢ magneto-idro.
dinamiche piano i n u n fl~ido perfetto, incompre~sibile, omogeneo, elettricamente condub tor~ ; sono assegnati all'inizio del tempo t i l campo magnetico (costante) e la velocit&
(n~dla) i n tutto il ssmispazio S che si suppone occupato dal fluido, mentre per t ~ 0 sul piano chs limita S ~ assegnato il campo magnetite e si s~ppone nulla la componente normale della velocit~ ; ~ poi assegnata la pressions i n u n punto di S.
§ 1 . - I n t r o d u z i o n e .
1. - Sia date u n fluido perfetto, i n c o m p r e s s i b i l e ed omogeneo, di den- sit~ 8, di permeabilit~ m a g a e t i c a 1L e di c o n d u c i b i l i t l elettrica y s u p p o s t e tutte costanti. S e y ~ s u f f i c i e n t e m e n t e elevate, u n a c c o p p i a m e n t o di forze m e o c a n i c h e ed e l e t t r o m a g n e t i e h e fa sorgere i cosidetti f e n o m e n i m a g n e t o - i d r o d i n a m i c i (t). Nel case in eui la eorrente di spostamento ~ traseurabile rispetto alla corrente di conduzione, il f e n o m e n o ~ r a p p r e s e n t a t o dalle equazioni
dv
i(2) d-~ ~ - - ~ g r a d p - ~ - ~ rot H A H +
d o v e H , v e p s o n o r i s p e t t i v a m e n t e e a m p o m a g n e t i c o , v e l o c i t k e p r e s s i o n e
a l l ' i s t a n t e t in u n p u n t o generico B del liquido, avente coordinate x, y, z rispetto ad u n a prefissata t e r n a t r i r e t t a n g o l a di r i f e r i m e n t o ; F, ehe in seguito c o n s i d e r e r e m o come trascurabile, r a p p r e s e n t a invece la forza n o n elettroma- gnetica che agisce iu B sull'uniti~ di m a s s a del fluido (2).
L ' i p o t e s i d e l l ' i n c o m p r e s s i b i l i t ~ fa poi i n t e r v e n i r e la nora equazione
(3) die v = 0,
(l) H. ALFred, Cosmical Elektrodinamics, Oxford at the Clarendon~ 1950, Cap. I V . i tale trattato si r i m a n d a anche per la bibliografia e per l'introduzione delle equazioni (1) e ~2}.
(~} I t campo elettrico J~ n o n compare esplicitamente nolle (1) e (2); esso ~ legato ad H e v dalla relazione
~---1 r ° t / 7 - - ~ A/7.
Y
270 R. )~'ARDINI: S o l u z i o n e d i ~tn p r o b l e m a al c o n t o r n o , ecc.
mentre, essendo ~t eostante, si ha anche
(4) div H ~-- 0.
Nel presente lavoro ci oeeupiamo solo di moti che dipendono da u n a sola c o o r d i n a t a spaziale: p r e c i s a m e n t e supporremo che H, v e 19 dipendano soltanto dal tempo t e dalla z. Allora, indicando con gli indici x, y, z Ie componenti di u n vettore sui corrispondenti assi, le (3) e (4) d i v e n t a n o r i s p e t t i v a m e n t e
(3') 3v~(z, t) _~ 0
3z
t) = O.
(4')
I1 europe in cui consideriamo il fenomeno, e che i n d i c h e r e m o con S, sar~t uno dei due semispazi limitati dal piano z - ~ 0, per esempio quello indivi.
duato dalla relazione z ~ 0.
I n un primo tempo imposteremo il problema (§ 2) sotto le seguenti condizioni :
a) c o n d i z i o n i i n i z i a l i : per ogni 0 ~ z ~ + c~ siano assegnati per t ~ 0 la veloeith, con v,-~--0, e i l eampo magnetieo, con H ~ , - - H ~ , - - - 0 ed Hz sup- posto costante in accordo con la (4').
b) c o n d i z i o n i a l c o n t o r n o : per ogni t ~ 0 assegneremo sut piano z - - - 0 le componenti H~ ed H u e supporremo n u l l a nei p u n t i del detto piano la componente vz; a m m e t t e r e m o inoltre che H x ed H u siano i n f i n i t e s i m e per z ~ + c~. S a p p o r r e m o i n f i n e note il valore della pressione p in u n punto d e t e r m i n a t e de1 semispazio S (~).
I n un secondo tempo ei proponiamo di calcolare con procedimento for- male la soluzione del problema m e d i a n t e il metodo della trasformazione di LAPLACE supponendo nulle per t ~ 0 anche le c o m p o n e n t i v~ e vy della velocith (§ 3}. SoLto ipotesi pifi generali di quelle neeessarie affinch~ il pro- cedimento formale sia rigoroso, verificheremo poi che la soluzione cosi otte- n u t a soddisfa tutte le condizioni del problema (§ 5) ; per facilitare tale verifica verranno messe in luce a l c u n e propriet'~ di certe funzioni che cempaiono nella soluzione (§ 4). Si d a r a n n o infine condizioni s u f f i c i e n t i affinchi~ la soluzione del problema sia u n i c a (4) e affinch~ la soluzione trovata rientri in tale teorema di u n i c i t k (§ 6).
{~) Si noti ehe dal punto di vista fisieo le clette eondizioni si tradueono nel considerare nel semispazio S u n fluido che, dotato; al tempo t ~-~ 0 in presenza di an europe magnetite lmiforme~ di uno state cinetico assegnato con velocit'~ normale al detto campo magnetieo~
venga sottoposto per t ~ 0 ad un eampo magnetieo variabile, normale a quello preeedente, che viene assegnato nei punti di z-~-0.
(4) Benehi~ le condizioni iaiziali e a[ contorno siano state formulate prendendo spunto dal precedente la~oro D~e teoremi di unicit~ nella teoria d~ll~ onde magneto-idrodinamiche,
R. NARDINI: SoluzionC di un problema al contor~o, ccc. 271
§ 2. - F o r m u l a z i o n e d e l p r o b l e m a .
2. P r i m a f o r m a . - D a (3') s e g u e c h e v~ ~ i n d i p e n d e n t e d a z ; poich~ perb l i m v ~ - - - 0 in f o r z a d e l l e c o n d i z i o n i al c o n t o r n o , se n e d e d u c e e h e in o g n i z ~ ~0
p u n t o ed in ogni i s t a n t e
Si h a a l l o r a
V z ~ O .
dvi Ov~
(6) • d t ~ ~ t ~- ~'~ V ~ - - - - "~t ~ (i - - x, y, z).
P r o i e t t a n d o poi la (1) s u l l ' a s s e z si o t t i e n e c h e ~ ~2"--= ?¢- 0, percib, r i c o r d a n d o a n c h e la (4'), si d e d u c e che Hz ~ c o s t a n t e e c o i n c i d e s e m p r e con il v a l o r e i n i z i a l e a s s e g n a t o .
T e n e n d o conto di (5) e (6) e p r o i e t t a n d o sugli assi x e y l a (1) e Ia (2)
~H,(z, t)__ 1 F~Hdz, t) H ~v,(z, t)
~t - - ~7 ~z ~ + ~z
(i = ~, y)
(S) av,t , t) t)
~t - - ~ ~z '
m e n t r e la p r o i e z i o n e di (2) sull' asse z d~ l ' e q u a z i o n e
(9)
ap(z, t) ~ ~ Hv~(z,t)].
vz
I1 p r o b l e m a ~ q u i n d i r i c o n d o t t o a l l ' i n t e g r a z i o n e delle e q u a z i o n i (7), (8) e (9) c o n s i d e r a t e a s s i e m e alle d e t t e c o n d i z i o n i i n i z i a l i e al c o n t o r n o . Si n o t i che la d e t e r m i n a z i o n e delle c o m p o n e n t i sugli assi x ed y dei v e t t o r i i n c o g n i t i ~r e v d~ l u o g o a d u e p r o b l e m i m a t e m a t i c a m e n t e s e p a r a t i r e l a t i v i a c i a s c u n v a l o r e d e l l ' i n d i c e i, che percib in seguito v e r r h sottinteso.
E s p r i m i a m o le c o n d i z i o n i i n i z i a l i e al c o n t o r n o n e l m o d o s e g u e n t e : si o t t e n g o n o le e q u a z i o n i
(7)
(IO) lira H(z, l) .-=-- 0 t ~ + o
(11) l i m v(z, t) = Vo(Z ) t ~ + o
(12) lira H(e, t ) = G(t)
~ - o l i m H(z, t) = 0
p e r 0 ~ z ~ + c ~ p e r O < z < + ~
p e r 0 < t ~ + ~ ,
in corso di stampa nei ~ Rend. Sem. Mat. Univ. Padova >,, 21, 1952, il caso in questione non rienira perb nei detti teoremi in quanto manca delia condizione the la soluzione sia infini- tesima per x ~ + ~ ed y ~ + c ~ .
272 1~. NARDINI: ~oluzio~e di *tn, problenta al contorts% cec.
dove si sono i n d i e a t i con vo(z) e G(t) r i s p e t t i v a m e n t e i v a l o r i iniziali di v ed i valori al e o n t o r n o p e r la H sul p i a n o z = 0 ; si s u p p o n e che la votz) sia d e r i v a b i l e e l a G(t) sia d e f i n i t a a l m e n o p e r 0 ~ t, i n t e g r a b i l e in senso p r o p r i o in ogni i n t e r v a l l o 0 ~ t~ ~ t ~ t~ (e percib ivi l i m i t a t a ) e a s s o l u t a m e n t e inte- g r a b i l e f r a zero e u n certo T, c h e p u b essere g r a n d e q u a n t o si vuole.
D a i v a l o r i iniziali (10), (11), e d a l l a (7) r i c a v i a m o f o r m a l m e n t e i valori di -~- p e r t = 0 e p r e c i s a m e n t e (~) OH
(13) l i m OH(z, t)
t--* +o ~t
(14j
- - = Ho = ¢(z)
Q u a n t o a l i a p r e s s i o n e p s i a n o
p = F(t)
(0 < z < + ~ ) .
i v a l o r i a s s e g n a t i i n ogni i s t a n t e 0 ~ t ~ - e o c in u n d e t e r m i n a t o p u n t o di S e pereib p e r t i n e n t i a t u t t o il p i a n o di e q u a z i o n e z = z, e s s e n d o z la z d i / 5 .
3. R i d u z i o n e ad u n a s o l a f u n z i o n e i n c o g n i t a - Se ad u n a q u a l s i a s i delle e q u a z i o n i (7), d e r i v a t a r i s p e t t o al t e m p o t, si a g g i u n g e l a (8) di u g u a l i n d i e e m o l t i p l i e a t a p e r H , e d e r i v a t a r i s p e t t o a z, si o t t i e n e l ' e q u a z i o n e n e l l a sola i n c o g n i t a H
~'H(z, t)__ 1 03H(z, t ) + ~ H o , 0 ~ ( z , 0 (15)
~t' l~y OtOz ~ ~ Oz "2
1 t~ b ~ z
P o n i a m o - - --- a ~, ~ Hz = b ~, ~-~ " - c ; i n t r o d u c e n d o l a n u o v a v a r i a b i l e u - - - , la (15) d i v e n t a (~)
O o3tttu, t) O H(u, t)
(16) Ot. z ~ OtOu ~ - -4- c ~ u ~
d a c o n s i d e r a r s i a s s i e m e a l l e e q u a z i o n i (12), t10) e (13) - - neUe q u a l i si sosti- t u i s c a u a z - - ehe f o r n i s c o n o i v a l o r i a! c o n t o r n o e i valori iniziali.
R i s o l v e n d o t a l e p r o b t e m a si o t t e r r h l a H ( z , t): i n t e g r a n d o poi r i s p e t t o al t e m p o la (8) f r a zero e t e t e n e n d o conto d e l l a (11), si pub o t t e n e r e la corri- s p o n d e n t e v espressa, m e d i a n t e u n a q u a d r a t u r a , n e l l a f o r m a
/to [ VH( ,
t(17) v(z, t ) - - 0 dr.
(~) T a l e r i s u l t a t o ~ r i g o r o s o se si p u b i n v e r t i r e il lira c o n ~ e cib si pub r i s c o n .
~ o ~z ~-b-~'
t r a r e a p o s t e r i o r i i n s e g u i t o a l l a continuit~t d i ~v e --~2H p e r 0 ~ z ~ 4 - ¢% 0 ~ ~ ~ -~- c~.
~z ~z 2
(~) A rigore si dovrebbe serivere Tl(au, t) ma, per non complicate le notazioni, fac- ciamo la eonvenzione the qui e in seguito nei simboli deUe funzioni in u si sottintenda il fattoro a davanti alla variabile u.
R. ~.A.RDINI: Soluzio~e di un problema al co+~torno, ece. 273 Da e n t r a m b e le H i , per mezzo della (9) i n t e g r a t a tra z e z e combinata con la I14), si ottiene poi
p ( , , t) = - [Hx (z, t) + t) - - t) - - / 4 " ( ; , t)].
Si noti ehe, p e r ogni valore d e l l ' i n d i e e i, come ogni soluzione del sistema (7) e (S) con le condizioni (101, (11) e (12) soddisfa il sistema (15) e (i7) con la (13) al posto della (11), dedotto dal preeedente, vale anche l ' i n v e r s o : infatti la funzione fornita dalla (17) soddisfa la (8), che b la d e r i v a t a di (17) rispetto al t e m p o ; se si i n t e g r a poi la (15) rispetto al tempo e si tiene eonto di (10) e (131, si ottiene l ' e q u a z i o n e
t
~t ~y ~z ~ - + ~ J ~z "~ tl dt + H , dz
0
che equivale alia (7) in eui si sia sostituito v m e d i a n t e la (]7) e che pereib r i s u l t a soddisfatta da ogni soluzione della (15). La (11)b i m m e d i a t a eonse.
guenza della (17) (7).
4. Osservazione. - La completa determinazione di H, v e p s i pub ottenere anche quando le condizioni al contorno (12) relative ad u n a delle componenti di ~r vengono sostituite dalle seguenti analoghe condizioni relative alla corri- spondente c o m p o n e n t e di v
(1S) lim v(z, l) .~ Q(t) lim v(z, tt = 0 (0 < t < + c~), m e n t r e le (10) e (11) sono sostituite dalle
(t9) lira v(z, 0 ~- 0
t ~ + O
(20) lim H(z, t ) - - Ho(z ).
t--~+O
Infatti se si deriva la (8) rispetto a t, la si s o m m a con la (7) d e r i v a t a rispetto a z e moltiplicata per ~ 7 e con la (8) d e r i v a t a due volte rispetto a z e moltiplicata p e r - - - - , 1 si ottiene r equazione nella sola ineognita v
~Y
(21) ~v(z, t)
~ t z I1
~Y ~tOz ~ + ~ z ~z~
(7) I n tutte queste considerazioni si intende parlare naturalmente di soluzioni the permettono le suddette operazioni di derivazione e integrazione.
A n n a l i d i M a t e m a t i c a 35
274 R. NAaDINt: ,qoluzl, one di u n problen~a a~ eon~orno, ee6.
P a s s a n d o al limite nella (8) p e r t - . - - ~ - 0 e tenendo conto della (20) si ha (22) lira By(z, t) _ p, H z dHa(z) __ A(z) (0 < z < -4- ~ ) .
t - - ~ + o 8 t ~ d z - -
I1 p r o b l e m a costituito dalla (21), u n i t a alle (18), (19) e (22), ~ identieo a quello relativo alia H.
§ 3. - R i s o l u z i o n e f o r m a l e .
5. P r e l i m i n a r i . - Supponiamo n u l l a la Vo(Z ) e percib tale a n c h e la (I)(z) (~):
ci proponiamo di r i e a v a r e la soluzione H ( u , t) del detto problema ricorrendo al metodo della trasformazione di LAPLACE applieata alia variabile t; nei r i g u a r d i della soluzione rib eomporta delle restrizioni delle quali a priori non si pub a s s i c u r a r e la validitk: per il m o m e n t o ci limiteremo al caleolo formale.
P o n e n d o f o r m a l m e n t e (~)
h(u, s).-o/-/(u, t)
g(s) . - o G(t), la (16) h a come t r a s f o r m a t a l ' e q u a z i o n e
, d~h(u, s)
(23) ( s + c~ ~ u ~ s h(u, s) - - 0
t h e va risolta con le condizioni al contorno lim h(u, s ) - ~ g(s)
L a soluzione c e r e a t a ~ data allora da
(24)
lim h(u, s) : O.
h(u, s) - - g(s)e ~/Fd~ - - g ( s ) e - , ~ / ~ , e ~ / ~ .
(s) S i p u b a n e h e a s s u m e r e v0 c o s t a n t e i n t u t t o il f t u i d o , i l q u a l e r i s p e t t o at s i s t e m a di r i f e r i m e n t o b s o g g e t t o a l t o r a a d u n a t r a s l a z i o n e n o r m a l e a l l ' a s s e z ; r i b p e r b n o n p o r t a a d a l e u n a m o d i f i c a n e l l a v a l u t a z i o n e d e l c a m p o m a g n e t i c o p e r cut si p u b l~rescinc~ere d a t a l e t r a s l a z i o n e a s s u m e n d o come f u n z i o n e i n c o g n i t a l a d i f f e r e n z a v - v0. A n a l o g a o s s e r v a z i o n e v a l e s e i l p r o b l e m a v i e n e posto come si b d e t t o al n. p r e c e d e n t e ; i n t a l e caso u n c a m p o m a g n e t i c o u n i f o r m e H0 n o r m a l e a l l ' a s s e z e s i s t e n t e n e l f l u i d o p e r t ~---0 n o n p o r t a n e s s u n a m o d i f i c a a l l a d i s t r i b u z i o n e d e l l a ~ e l o c i t h : a n c h e q u i q u a l e f u n z i o n e i n c o g n i i a si p u b assu- m e r e H - - H 0.
(9) T a l e a g i l e n o t a z i o n e ~ i n t r o d o t t a d a G. DOETSCn i n Tabe~len zur Laplace-Transfer.
mation, S p r i n g e r , B e r l i n , 1947: s o s t i t u i s c e v a n i a g g i o s a m e n l e ]a s o l i l a n o t a z i o n e
R. ~'ARDINI: S o l u z i o n e di u n p r o b l e m a al contorno~ ecc. 275 6. Calcolo del campo magnetb'o. - P e r calcolare H ( u , t) basra antitrasfor- mare la (24): se si tiene presente la f o r m u l a generale
(25) f ( s ÷ c) .--o e-~tF(t),
ci si riduce ad operare sulla funzione
C U
-- - ~ c n u n 1
(26) e-"~-e~ '/; ---- e -~/~" + e-~4 ~ E,,
1 ~bt n "
8 ~-
A tale scopo si consideri la eorrispondenza, valida per ogni u ~ 0 (,0), e-"~/; . - o ~(u, t)
dove con
U
2V~t ~
si 0 indicata la nora funzioue che si i n c o n t r a n e l l a teoria della propagazione del calore.
D ' a l t r a parte si ha per n - - 1
per 2 - = h ( h : l , n 2,...)
1 1
-- o - - o _ _
V~ V~t
1 t h-1
" - ° i h - - l l !
n 1 1 1 t h-1 1
per y = a ~- ~ (h = 2, 2, ...) s~ _ ~ . - o . (h i) ! V ~ Ys
(27}
Se poi si i n t r o d u c e la funzione
calore, vale la
×(u, t)= V ~
che del pari si i n c o u t r a nella teoria della propagazione del f o r m u l a (~l}
(28) ×(u, t ) = +(u, t) • V ~ " 1
(i0) Si v e d a a d e s . G. DOETSCH, Th~orie und Anwendung der Laplace-Transformation, S p r i n g e r , B e r l i n , 1937, Cap. 3, § 4, p. 25. T a l e trattato sar~ i n d i e a t o in seguito con D. e nel- l ' o r d i n e si d a r a n n o i n u m e r i she si r i f e r i s c o n o al eapitolo e p a r a g r a f o .
(li) Tale f o r m u l a si v e r i f i e a i m m e d i a t a m e n t e o s s e r v a n d o che le f u n z i o n i a p r i m o e secondo m e m b r o h a n n o e g u a l e t r a s f o r m a t a d a t a da %/---~- (D. 3.4. p. 25).
276 R. ~ARDINI: S o l u z i , o n e d i ~t,n p r o b l e n ~ a a l c o n t o r n o , ecc.
Ora a n t i t r a s f o r m a n d o t e r m i n e a t e r m i n e ('~) la serie che compare a secondo m e m b r o di (26) si ottiene la relazione
c ~
- - o~ C~hu2h t a - - t co C~k+lU~h+t t u - i
( 2 9 ) e-"~"~e~/~ .--o ~ + c u x + ~ * S~, - - - - .
, (2h) T. ( h - - 1 ) . T ÷ X * Z a , ( 2 h + l ) V. ( h - - l ) ' . P o n i a m o allora
th--~ ta--~
(30) B0--= ~, B~ : X, B ~ --- + • (h - - 1)~' B ~ + , - - X * (h _ 1)! (h -= 1, 2, 3, ...t.
Applicando f o r m a l m e n t e alla (24) il t e o r e m a sul prodotto integrale, racco.
gliendo tutti i risultati p r e p a r a t o r i e ricordando la (25}, si conclude ricavando la seguente funzione ( ~ )
(31) H ( u , t ) - - G(t) , e - ~ ~ , - - v - B , ( u , t) "
0 ~ !
se si r i t o r n a alla variabile z si ha
131') I-/(z, ~)-- G(t) • e ~ E . - B,~ , t
o a ~ !
7. Calcolo della velocitY. - I n base alla (17) si pub allora calcolare v(z, t) ottenendo, nel caso in cui ~ Vo(Zt == O,
t
t) = -V-oj t) dt = - oj dt =
P e r g i u n g e r e ad u n ' e s p r e s s i o n e pifi significativa si pub applicare a l l ' u l t i m o integrale la trasformazione di L ~ L ~ C E (~), che dh
~ 8
l ~h(u, s) e ~ ' ~
- - I
(t-~) ~ o t i a m o , anche se n o n r i s u l t a i n d i s p e n s a b i l e n e l p r o c e d i m e n t o formale qui adottato:
t h e tale operazione ~ l e c i t a : la dimostrazione sar~ d a t a n e l l ' aploendice.
~ . c n y i, n
t is) D i m o s t r e r e m o i n seguito (n. 9) eho l a s e r i e . ~ ~ B n ( u , ~) ~ u n i f o r m e m e n t e con- v e r g e n t e a p a r t i t e d a l 4 ° t e r m i n e p e r ogni 0 ~ t ~ T, 0~_~u; segue allora che a seeondo
c o
m e m b r o delle (29) l'ot)erazione prodotto i n t e g r a l e ~ i n v e r t i b i l e con l'operazione -'; si conclude, i
a n e h e i n base alia nota p r e c e d e n t e , e h e l a (31) ralopresenta e f f e t t i v a m e n t e 1' a n t i t r a s f o r m a t a dl (24), se la f u n z i o n e a s s e g n a t a G(t) ~ L - t r a s f o r m a b i l e .
(~4) P e r u n ' a p p l i c a z i o n e rigorosa occorrerebbe assicurarsi t h e G(f) sia L - t r a s f o r m a b i l e e che l ' i n t e g r a l e di LAPLACE r e l a t i v o ad H(u, t} sia p e r m u t a b t t e con l ' o p e r a z i o n e --.~ L a v e r i f i o a del risultato, espresso d a l l a f o r m u l a {33), sarh fatta alia fine del n. 10 i n d i p e n d e n -
t e m e n t e dal fat~o ohe tali condlzioni s i a n o o no soddisfatte.
R. NARr)INI: S o l u z i o n c di u n p r o b l e m a al c o n t o r n o , eve. 277 P e r a n t i t r a s f o r m a r e la funzione o t t e n u t a si pub p r o e e d e r e
a quanto si b fatto nel n u m e r o p r e e e d e n t e : ei si r i d u e e sulla funzione
g ~
1
in modo analogo allora ad operare
che, rispetto alla (26) p r e s e n t a in pitt il fattore ~ . 1 Si ottiene eosi (~5)
~__ e .--o * o '* ~ B . ( U ,
(32) Ys + c
tenendo conto della f o r m u l a (~s)
V~t * Bn(u, t)"--Bn+l(U, 1 t)
si conclude con l ' e s p r e s s i o n e
co 0 ~ n
~H~ G(t) • e - e t Z , ~ B,+~(u, t)
(33) v(z, t)--" - - ~ o
(n : 0, 1, 2, ...),
(.--:)
§ 4. - P r o p r i e t k d e i B . .
8. - I . Dimostriamo anzitutto che i B,,(u, t} con n - - 2 , 3, ..., sono limitati per ogni 0 < u , 0 < t < T, dove T pub essere preso grande quanto si vuole.
A tale seopo si osservi che
t cx~
u ~ e ~d~ 2 u < 1.
B~ - - • : ~/7: e-~'d~ = erfc 2V t
0 u
Segue che
t
- f ,(u ~) ( t - ~)h-' t~-' Th-' ( h = l , 2, 3,...).
o
4 u q
(15) S a r h d i m o s t r a t o n e l l ' a p p e n d i c e c h e l a s e r i e ~---_e~/~-, c o n q : ~ 0, ~ a n t i t r a s f o r m a b i l e
Vs
t e r m i n e a t e r m i n e .
(~) P e r n - - ~ 0 t a l e f o r m u l a s i r i d u c e a l l a ('28); p e r g l i a l t r i v a l o r i d i n b a s r a p e r e s e m p i o a p p l i c a r e t a t r a s f o r m a t a di LAPLACE ai d u e m e m b r i . ~qel c a s o n = 2 h si h a
t h - - '
J" e--~--!.-
1 *Bel~--- 1 * q * - - o - - .
~;~ t V=-i (h - 1) ! Vs s,~
(h--o, 1, ~, ...).
B~h+i : X * - -
( h - - I ) ! ° - - ' ~'s sh
k n a l o g a m e n t e p e r n ~-- 2 h 4 - 1.
278 R. :NARDI~X:
Sotuzione di u~ problema al contorno, eve.
]~ inoltre
t
;
_, (t - - z)~--' 10/
. (t - - ~:)h-, &: < r ~ - _~B ~ h + ~ = . X(U'
~)-(I~---~)v.d'~<~-V---~
( h - - 1 ) lVT: - - 1 . 3 . 5 . . . ( 2 h - - 1 ) V ~0
( h = l , 2, 3 . . . . ), non essendo restrittivo supporre
T ~ 4,
si pub r i c a v a r e2 y h - ~ Th
B~,~+, < V~(h - - 1) ! - - (h - - 1)!"
Se indiehiamo allora con h l ' i n t e r o p e r il quale ~ h - - l < T < h e si pone
~
(34) M --
(/~--
l) l'
si ha
(35)
B,,(u, t ) < M
per 0 < t < . T , 0 < u ( n ~ 2 , 3,...).E s a m i n a n d o p e r via d i r e t t a B0 e B~ e servendosi p e r gli altri B~ delle valutazioni trovate si ricava
(36) lira
B,(u,
t ) - - 0 ( n - - 0 , 1, 2,...) per 0 < u < + c ~ .t ~ + 0
Se quale valore dei B,~ (n---~ 3, 4,...) per t~--~0, u - - 0 assumiamo per definizione il valore zero, tali B~ risultano eontinui nel detto punto. Infatti, essendo per ogni 0 < u, 0_< t
t~' 2th-~ (h - - 1, 2, ...),
1 B~,h+,)j _< h-~' I B~h+, I -- V~(h -- 1) !
scelto un s > 0 arbitrario, b sempre possibile associargli un $ > 0 tale che p e r t ~ $ e per ogni u (in partieolare per u < $) sia
IB,~I < ~ ( n = 3 ,
4,,..).II. P e r r i c a v a r e delle relazioni rieorrenti fra le derivate dei
B,,(u, ~),
con 0 < u < + ~ , 0 < t < -4- 0% p r e m e t t i a m o qualche f o r m u l a relativa alle funzioni ~ e X ('~}:
(37)
_ ~x ~ ~x
~u ~ - - ~t ~u ~ ~t
(i7) A.nche q u e s t e f o r m u l e sono f a c i i m e n t e v e r i f i c a b i l i m e d i a n t e le t r a s f o r m a t e delle esloressioni nei d u e m e m b r i .
R. ~rARI)INI: So~uzi, o n e eli u n p r o b l e m a a l c o n t o r n o , e t c . 279
Se a l l o r a si t e n g o n o present* le (30) e si a p p l i c a , q u a n d o occorre, il t e o r e m a s u l l a d e r i v a t a del p r o d o t t o i n t e g r a l e (,s), si h a
p e r n---1 3B, ~--~ - - ~ - - - - tb --- - - Bo
~X
p e r n--~-- 2 -ffff --~-~ • 1 = - - ~--~ • 1 = - - X = - - B ,
~B~h+~ _ 0X t t*-I p e r n - - 2 h + l ( h - - l , 2,...) ~u . . . . ~ * ( h - - l ) !
OB~h ~ t h - ' ~X
p e r n = 2 h ( h = 2 , 3 , . . . ) ~u = 3 - - u * ( h - - 1 ) ! = - - ~ - * - -
Si c o n c l u d e t h e
(as) ~ B . ~u = - - B . - 1
D ' a l t r a p a r t e si h a
tk--1
"-- - - ~ * ( h - - 1 ) I - - - - Bo'h
t ~ - i th-~
( h - - i ) l - - - - X * (h--2)! - -
(n--- 1, 2, ...).
t
... = f i t ] (u' ~)a.: = ~(u, 0 = Bo
, 2
o
~B,~ ~b t n-2
= * - - - - Bn-2
~t x ( h - - ~ ) ! {con l a c o n v e n z i o n e di p r e n d e r e il f a t t o r e p e r n ~ 2h + 1), p e r cui si c o n c l u d e
(39) ~B____~ _-- B,~_~ (n - - 2, 3, ...).
~t
I I I . Come c o n s e g u o n z a di (38) e (39) e r i c o r d a n d o a n c h e le u l t i m e f o r m u l e (37) si h a
(40) - - ~ - - ~t ~u
IV. P e r ogni 0 < t
lira ~b(u, t ) = 0, lira X(u, t)---0.
P e r u n g e n e r i c o B,~ (n = 2, 3, ...) r i e o r d a n d o le (34) si not* che
/
T-
B,h(u , t) < M ~b(u, ~)dz - - M e r f c 2 V ~
o T
2 M ~' B,k+,(u , t)_< M X(u, x ) d ' : < _ ~ e iYVT;
¥ ,~
p e r n = 2 h e il f a t t o r e X
( n - - 0 , 1, 2 , . . ) .
(~s) I). 8.4. p. 159.
2so R . NARDINI: S o l t t z i o n e d i ~m, p r o b l e w a a l e o n t o r n o , e t c .
si r i c a v a in d e f i n i f i v a
(41) lira B,(u, l) = 0 {t :> 0 ; n -= O, 1, 2, ...).
u ~-+-c¢
I n m o d e a n a l o g o si r i c a v a
(41') lim uB~(u, t) - - O.
u ~ - i - e o
V. D i m o s t r i a m o e r a che p e r 0 ~ u, 0 ~ t v a l e fra i B,~ la s e g u e n t e f o r m u l a r i e o r r e n t e
(42) B,(u, t ) - 1 2 [2tB,~_~(u, t ) - uB,,_~(u, t)] (n----3, 4 .... ).
T a l e f o r m u l a si v e r i f i e a f a c i l m e n t e p e r rb = - 3 (Jg); se la si r i t i e n e v a l i d a p e r u n c e r t o i n d i c e n e la si i n t e g r a r i s p e t t 6 ad u fra u e + ~ , r i c o r d a n d o (38) e (41') ed e s e g u e n d o p e r part, i l ' i n t e g r a l e d e l l ' u l t i m o t e r m i n e si o t t i e n e
Bn+llu, t ) = ~ 2 [ 2 t B , _ a ( u , 1 t ) - uB,,(u, t ) - B,+~(u, t)]
cio~
B,~+,(u, t) " - - n - - 1 [2tB,,_l(u, t) -- uBn(u, 1 t)];
con cib la (42) r i s u l t a d i m o s t r a t a p e r ogni n ~ 3 (2o).
VI. D a (42), t e n e n d o p r e s e n t e la t35), si h a p e r ogni 0 ~ t
143) lira B~(u, t) --- 2t lim B~_~(u, t) (n = 3, 4, ...);
u ~ + 0 ~t ~ 2 u ~ + 0
e s s e n d o poi
lira B,(u, t) -- 1 lim B~(u, t) -= 1 (t > 0),
u ~ + o V ~ t ' ~ ' ~ + ~
{19) B a s t a p a s s a r e alle L - t r a s f o r m a t e ; p e r e s e m p i o
B~(u, 0 o sl/s
d ~-~'v l~- e-~'v'~- e - ~ , I`~
2 t B d u , t}, - - u B ~ ( u , t) o - - . ~ 2 d s V s - - u s . . . s ~ / s " "
te0) ~ f a c i l e e s t e n d e r e la validit-X d e l l a (42) p e r t = 0 e p e r o g n i v a l o r e di u a n c h e n e g a t i v e (si n o t i c h e i B~h s o n o f u n z i o n l d i s p a r i di u e che i B~hwt sono i n v e c e f u n z i o n i pari). L a d e t t a f o r m u l a p u b e s s e r e e s t e s a a n c h e p e r n ~ 2 , se, i n a c c o r d o con l a {39), si
OBi, c~Bo
p o n e B _ i ~ 7 B _ ~ ~ - ~ - ece. B a s r a i n f a t t i d e r i v a r e r i s p e t t o a d u l ' i d e n t i t ~ u B l ~ 2 t B o (t =~ O)
o t t e n e n d o
B l ~ ~ [ 2 t B - - i ~ UBo]
e q u i n d i lorocedere p e r i n d u z i o n e ; e o n v i e n e p e r 6 i n t a l e e a s e scri~rere la (42) sotto l a f o r m a
B,_~ = ~ [ ~ . - , + 1 (n - - 2)B,d (t 4- o).
t{.. I~TARDINI: Soluzione di un problema al contorno, evc. 281 per ricorrenza si ottiene dalle (43)
t h - - i
t44) per n - - - 2 h lira B . ( u , t ) -
. - - + o (h - - 1 ) !
2 h h i
{45) per n --- 2h d - 1 lim B , ( u , t) : - ~ (h - -
• ,,--+0 1 . 3 . 5 ... (2h -- 1 ) V ~ t 1, 2,
§ 5. - V e r i f l c a d e l l a s o l u z l o n e .
9. Veriflca p r e l i m i n a r e . - S t u d i a m o ora aleune propriet~ della funzione
(46)
oo C n U n
Ho(U, t) -- e - e t E . ~ B , ( u , t).
0
Notiamo anzitutto t h e la (46) a partire dal 4 ° termine ~ costi~uita di funzioni c o n t i n u e per ogni O ~ u , O < t < T ed ~ maggiorata, per la (35), dalla serie di somma Me ~' (anzi dalla serie n u m e r i c a di somma Me cu~ per ogni 0 < u < u~).
Se si tiene c o , t o anche dei primi tre termini e di tutti i risultati precedenti, la {46) r i s u l t a u n i f o r m e m e n t e e o n v e r g e n t e per 0 < u , 0 ~ - t < t ~ T e p e r 0 ~ u < u, 0 < t <: T dove t e u sono arbitrari. S e g u e allora, in forza delle (36),
(47) l i m Ho(u , t) = 0 (0 < u < d - oo).
t ..---~ q-O
~Hotu, t) Analoga propriet~ vale per 3t
Potendosi d e r i v a r e la (46) termine a termine una o due volte rispetto a t o d u, in q u a , t o maggiorazioni analoghe alla p r e c e d e n t e si hanno, da un certo termine in poi, anche per le serie cosi ricavate, si ottiene
" - - +
~3Ho ~'H.~o e_Ct p~Bo ( O~B, ~3B i \
~t~u' - - ~u ~ + [~-TE~" + ~ k2 ~ t + u ~--g~) +
o o C ' U "-2 ( 3 B .
--I- % . - - •
A n . a l l di Matemattca 36
282 R. ~ARDINI: S o l u z i o n e di, ,un p r o b l v m n al contorn, o, etc.
G a l e o l i a m o allora, a m e n o del f a t t o r e e -et, i c o e f f i c i e n f i di c n nello s v i l u p p o
~t ~ c ~u ~ ~ , . ; r i e o r d a n d o le (38), (39), (40} tall c o e f f i c i e n f i sono
~'B o ~ B o ~ (~B,, ~Bo'~
p e r n - - 0 ~t* ~t~u ~ J ~t _ ~u, ~ ] ~--- 0
p e r n ~ 1 u ~-t \ ~ / ~u ~ ] 2 3t \ + -~U-.] = 0
U ' - ~ U n - i ~ B n - 1 -t-
p e r n ---~ 2, 3, ... (n - - 2) ! B n - ~ - - - - 2 (n - - 1) ! ~t TU-]
) = o.
Si c o n c l u d e che Ho(u, t) r i s u l t a s o l u z i o n e di (16) p e r 0 < u < + c,% 0 ~ t ~ T.
V e r i f i c h i a m o i n f i n e t h e
(48) lira Ho(u, t) --- 0 (0 < t ~ T).
Si o s s e r v i che i p r i m i d u e t e r m i n i di H , ( u , tJ t e n d o n o a zero p e r u ~ + ~ ; dal terzo t e r m i n e in a v a n t i Ho(u , t} ~ d a t a e s p l i c i t a m e n t e d a l l ' e s p r e s s i o n e non n e g a t i v a
t
~ " n ~ - - ] x ( h - - 1 ) ! dz h----
0
(con la solita c o n v e n z i o n e p e r + e )0- R i c o r d a n d o la posizione (34), si p u b m a g g i o r a r e tale e s p r e s s i o n e m e d i a n t e
T T
M.~n ~: -~-.~ j ( X + +)d: ~ e ¢" 2 e - ~T\, .T -t-, -2 e-~u'd~"
2 ¥ 7 ~ U
0 0
p a s s a n d o al l i m i t e p e r u -,- + ~ si o t t i e n e la (48) (~).
(49)
10. Verifica delle propriet'~ di H ( u , t). - Si c o n s i d e r i ora la f u n z i o n e
t
H ( u , t) - - / G l t - - -c)Ho(U, x)dz (0 < u < + ~ , 0 < t < T);
(2i) S i ]pub ~ r e r i f i c a r e a n e h e c h e
l i r a Ho(u, t) ~ O
~ ~ - 4 - 0
e q u i n d i si c o n c l u d e c h e Ho(U, t) b u n a s o l u z i o n e singolare (D. 20.5.).
R . ~TARDINI: Soluzione di u~ problema al contorno~ etc. 283
2//.
tenendo presence la (47) e l ' a n a l o g a propriet/~ valida p e r ~ si h a
t
:H(u,w _ f G(, _
oinoltre
~"H(u, t}
~ u ~
t
- - G(t - - :) ~'Ho(u,?u, ~) d% 33H(u'3t~u ~ t) = Gjt -- ~) ~ d'c.
o o
Hiu, t) soddisfa pereib la (16), dato t h e vi soddisfa Ho(u, t). Le (47) e (48D si estendono poi i m m e d i a t a m e n t e ad H(u, t).
Inoltre, p e r ogni prefissato 0 < t ~ T, scriviamo
t t
- - / - - f G(t - - ~,e- ~,, - ~ B,,(u, ~)d~:.
H(u, t) G(t ~)e-'~(u, x)d~ + , c,~V c"u"
o o
P e r u n a nota propriet/~ della funzione ~p (.z2) il limite de1 primo integrale per u ~ q - 0 ~ G(t), purch~ la G nel punto t sia c o n t i n u a a s i n i s t r a ; la serie ehe c o m p a r e nel secondo integrate, prefissato u n t > 0, risulta per ogni 0 < u u n i f o r m e m e n t e c o n v e r g e n t e in ":: rieordiamo infatti che la G(t} si ~ supposta integrabile in senso proprio in ogni intervallo
0 < t 4 < t ~ t~ (e quindi risulta ivi limitata e percib m i n o r e in modulo di u n opportuno n u m e r o P ) ed inoltre a s s o l u t a m e n t e integrabile fra zero e T ; quindi possibile trovare un n u m e r o A r tale t h e
t
f[ G(t -- ~) i --< d~ N (0 < t <__ T) ;
o
allora il coeffioiente di c u nella detta serie ~ limitato in quanto~ soelto u n { con 0 ~ t < t, si r i c a v a
t F
o ~-
per il eoeffieiente di --2-- si pub o t t e n e r e la limitazione
t t
f .
o / o" /
(-~e) D. 1O.1. p. 189; l a ¢(~) d e l l a f o r m u l a d i DOETSCtt v a e o s i e s p l i c i t a t a : 4)(':) ----~ G(t -- ~)e--~ per O ~ • < t
= 0 p e r ~ m ~ t .
284 R . ~ A R D I N I : N o l u z i o n e d i u n p r o b l e m a al e o n t o r n o , eve.
per tutti gli altri coefficienti si ha in base alia (35), e 0 _ < t ~ T,
t
f G(t -- ~)e-C~B,,(u, ~)d~ < M N
o
q u a l u n q u e sia u ~ 0
tn = 3, 4, ...).
L a serie allora tende a zero p e r u ~ -t-0 e con essa il corrispondente inte- grale. Si ~ quindi dimostrato che per ogni prefissato 0 < t <_ T si ha
(50) lim
H(u, t ) = G(t) (~3).
u ~ ÷ 0
L a
H(u, t) ~
quiudi soluzione del p r o b l e m a al contorno considerate.Con a n p r o c e d i m e n t o analogo a q u e l l o introdotto al n. 9 per dimostrare che
He(u, t) ~
soluzione della (16). si pub verificare cheov ~ n u n
e - c t E . B n + I ( U , t)
o --d-V.
-o,2
~U O nB.(u, t)
e quindi d e d u r r e c h e l a funzione
v(z, t)
data dalla (33) verifica la (8): si s u p e r a cost il c a r a t t e r e formale del metodo adottato per g i u n g e r e alla detta formula.§ 6. - U n i c i t / t d e l l a s o l u z i o n e .
11. Condizioni suffleienti per l ' u n i e i t g della soluzione. - L ' u n i c i t ~ della soluzione del p r o b l e m a d e t e r m i n a t e dalle (7), e (8), unite alle condizioni (10), (11) e (12), non si pub a f f e r m a r e senza aggiungere delle condizioni supple- m e n t a r i ; per esempio ~ sufficiente allo scope s u p p o r r e c h e :
1) H e v siano funzioni continue e 1imitate per
O~_~z, 0 < t < T,
m e n t r e le lore derivate parziali prime risultino continue e limitate p e r 0 ~ z e per ogni prefissato 0 ~ t ~__T tale ~ anche, per la (7), la - ~ T ] "
2) P e r ogni prefissato 0 ~ t_~ T risultino convergenti gli integrali
t
J H ~-fi dz
o o
(33) P a r t e n d o dalla (33) e p r o e e d e n d o in m a n i e r a a n a l o g a a q u a n t o si ~ fatto p e r giun.
g e r e atla (50) si t r o v a
(0) lim v(z, t) ~Hz (~(t) * ~ .
z ~ +o ~a Vx t
D ' a l t r a parte se si c o n s i d e r a il p r o b l e m a imposture nel m o d e esposto al n. 4, si p r e n d e Q~t~
espresso m e d i a n t e il seeondo m e m b r o della (0) e lo si i n t r o d u c e al posto d i G(t) n e l l a (31), si pu6 eonstature che q u e s t ' u l t i m a v i e n e a p p u n t o a e o i n e i d o r e con la (50).
R. NARDINI: Soluzione d~ un problema al contorno, eve. 285 e lo siano u n i f o r m e m e n t e rispetto a t p e r 0 < t<< t < T, essendo
7
un n u m e r o positivo arbitrario t h e si possa p r e n d e r e piccolo quanto si vuole, m e n t r e sia u n i f o r m e m e n t e e o n v e r g e n t e rispetto a t per 0 ~ t ~ T 4' integraleo
(]~ sufficiente a tale scopo che H e v siano per z--* + c ~ infinitesime di ordine maggiore di uno p e r ogni 0 ~ t < TJ.
I n d i c a t e iafatti con H, v ed H + H , , v + v~ due soluzioni del detto pro- blema ehe soddisfino le condizioni 1) e 2), dimostriamo c h e l e loro oorrispon- denti differenze H, e v, r i s u l m n o i d e n t i e a m e n t e nulle.
H, e v, soddisfano intanto le (7), (8), (10) e la seconda delle (12), m e n t r e la (11) e la p r i m a delle (12) diventano r i s p e t t i v a m e n t e
lira
v,(~, t ) = 0 ( 0 < z < + c ~ ) , lira H,(~, t ) = 0 ( 0 < t < + c ~ ) .
t - - ~ + 0 z---.- + 0
I n t r o d u c i a m o H, e v, nelle (7) e (8) e moltiplichiamo la p r i m a di queste equazioni p e r ~ H, e la seconda p e r 2v~: si ottiene
O t - 8 ~z v~.
Tenendo poi conto dell'ipotesi 2) integriamo queste equazioni rispetto a z fra zero e + c ~ e s o m m i a m o ; si r i e a v a
t H: + , = f
, --~- dz -+- - - ~ . ] T az.o o o
L ' u l t i m o integrale si a n n u l l a dato t h e il prodotto H~v, primitiva della fun- zione integranda, ~ hullo agli estremi per le condizioni al contorno. Il primo integrale a seeondo m e m b r o si pub caleolare per p a r t i : tenendo conto delle condizioni al eontorno e del fatto t h e i~ limitata esso si r i d u c e a
per cui si ha la relazione 151)
.st s
o
c o
0
+ v~)dz ~_ 0 (0 < t < +
co!,
286 I~. NARDINI: Soluzione di un problcma al contorno, ccc.
Posto allora
0
scambiando in (51) la derivata con l ' i n t e g r a l e , come ~ lecito per le ipotesi fatte, si r i e a v a
(0 < < +
d t - -
e poichb per le condizioni iniziali si ha lim ~---~0 e ~ ~ continuo in t per t ~ - ~ 0
ogni 0 ~ t ~ - + - o c , si conclude che deve essere ~ 0 , eio~ H ~ 0 e v ~ 0 . Dimostriamo era che la soluzione H(z, t) e v(z, t), p r e c e d e n t e m e n t e rica- va~a eel espressa dalle (31'} e (33), r i e n t r a nel detto t e o r e m a di unieitfi se si aggiunge l ' u l t e r i o r e eondizione ehe G(ti sin c o n t i n u a con d e r i v a t a c o n t i n u a per 0 < t < T e sia
(52) li.m G(t) --- O.
t ~ + o
Con la (52) infatti la funzione H(z, t) risulta continua per 0_~ z e 0_~ t ("~).
P e r verificare la condizione 1) nei riguardi delle due derivate parziali prime di H(z, t}, basra e s a m i n a r e il e o m p o r t a m e n t o del primo termine ~ della serie (31'} dato ehe i termini suceessivi non p r e s e n t a n o a l c u n a difficolti~:
l a ~ , anche in base alla (52), ~ data da
G'(O * tl c = u =
e per ogni t > 0 tale funzione, per le citate propriet/~ delia ~, ha come limite p e r u ~ - l - 0 la G'(t); la ~ ~, a meno del fattore a, per ogni u > 0
= - - G(t) ~ ~t [e-~tX(u' t)] - - G(t) • c e - c t x ( u ~ t )
= - - [G'(t) -+- cG(t)] • e-Ctvdu, t)
espressione p e r ogni t > 0 ha un ben d e t e r m i n a t o limite e quest' ultima
per u ~ ÷ 0.
(2~) P e r d i m o s t r a r e la eontinuit~ di H(z, t) nel p u n t o t---~O, z ~ O b a s t e r i f e r i r s i al t e r m i n e f O ( t - - ~)~ ~ • dx, dago ehe i t~ermini s u e e e s s i v i sono continui nel detto lounto anehe sotto eondizioni pifi l a r g h e p e r la G(t). A tale seopo, seel~o un ~ ~ 0 a r b i t r a r i o , p e r la (52) J0 p o s s i b i l e a s s o c i a r g t i un ~ > 0 tale t h e p e r t ~ sin IG(t) l , ~ e e quindi, p e r q u a l u n q u e
0 ~ u si h a t t
--~af~(zo , -:)d~ ~ e erfc 2a~/tz <::~._
287 P e r q u a n t o r i g u a r d a la 2} si tenga presente la limitazione r i c a v a t a alla fine del n. 9 per Ho(u, t) con u - - - ; a z indicando con G il massimo di G(t) per 0 <_ t ~ T, si deduce
t
H(z, t) ----/
o
si conclude che H ( z , t) per z ~ - t - ~ ~ i n f i n i t e s i m a di ordine superiore a q u a l u n q u e n u m e r o positivo. A n a l o g a m e n t e si procede per v(z, t).
§ 7. - C o m p l e m e n t i .
13. - I1 problema trattato, con altro significato a t t r i b u i t o ad H(z, t) e ai coefficienti a secondo membro della (15~, si pub i n t e r p r e t a r e fisicamente in un altro modo. Sia d a t a infatti u n a corda omogenea con un estremo nell'ori- gine delle coordinate, disposta nel senso positivo d e l F a s s e z e i l l i m i t a t a ; H(z. t) indichi lo spostamento l o n g i t u d i n a l e dalla configurazione di equilibrio al tempo t della p a r t i c e l l a della corda avente coordinata z. P o n i a m o
essendo E i l modulo di elasticitY, ~ la densit~ e o la sezione. I1 moto della corda, quaIora si voglia tener conto anche della sua viscosit'~ interna, di cui F ~ il coefficiente, ~ r a p p r e s e n t a t o dall'equazione t ~5)
(54) 3~'H(z, t) 2F~3H(z, t) + b~ ~ H ( z , t)
~t ~ - - ~t~z~ ~z "~
P e r t = 0, la (t0) e la (13) con v 0 ~--0 corrispondono al fatto di supporre f e r m a la corda nel.la configurazione di e q u i l i b r i o ; m e d i a n t e le condizioni al contorno (12) si assegnano gli spostamenti l o n g i t u d i n a l i a l l ' e s t r e m o z----0, m e n t r e si suppongono nulli gli spostamenti all'infinito. L a (31) fornisce allora lo spostamento in ogni p u n t o della corda per t > 0 : la p e r t u r b a z i o n e espressa dalla (12~ si propaga i s t a n t a n e a m e n t e a tutto il sistema (tale osservazione vale n a t u r a l m e n t e anche per il precedente problema magneto-idrodinamico).
1 4 . - Nel caso p a r t i c o l a r e in cui nella (16) r i s u l t a c : 0 - e cib dal punto di vista fisico si verifica q u a n d o il campo magnetico iniziale H~
nullo - - si pub allora i n t e g r a r e la (16) stessa rispetto al tempo t fra zero e t
(2~) Si veda E. J. RouT~, D/e Dynamik der Systems starter K6~Ter, Teubner, Lipsia, 1898, Vol. II, p. 491; la trattazione di ROUTH si riferisce ad una corda di lunghezza finita.
288 R . ~ A R D I ~ I : SOlUZiO~be di un problema al contorno, eve.
e, rieordando (10) e (13), si ottiene
(55)
t) H(u, 0 _ _ ¢(u).
~u ~ St
Tale equazione b nora dalla teoria della propagazione del calore (~).
§ 8 - A p p e n d i c e .
t5. P e r d i m o s i r a r e r i g o r o s a m e n t e la (32) proviamo che la serie 1 -q-- ~ q~ 1
t56) - Vs e4~ - - h k ! 7'+___1
s ~ a n t i t r a s f o r m a b i l e t e r m i n e a termine.
0 r a ~ (~7)
q
1 g - o !o(2V )
8
dove I, j 2 y q t l - - - E k ~ ~ la funzione di BESSEL non
0
ogni F(~I, che
sar'~ allora (57)
(q ~ 0)
oscillante. Poichb p e r sia a s s o l u t a m e n t e trasformabile in f(s), vale la f o r m u l a (2s)
f(V s).--o f ~(~, t)F(~)d~,
0
q oo
J tA
1 e~/~ . - - o ~p(~, t) Eh (-k-!)~ dS.
"V8 0 "
o
L a funzione che c o m p a r e sotto integrale si pub scrivere esplicitamente cosi
_ _ ~ ~ q ~ '
1 ~e- ~-t Zk . . . . o (k
!)"
per ogni 0 - ~ . t < ~ - l - ~ , 0 ~ q < ~ - ~ si t r a t t a di u n a serie di funzioni di
~2
c o n t i n u e e positive, maggiorata dalla serie di somma ~ - - 3 e-~t ÷q~ che per 2V~t2
--*-~-c~ ~ i n f i n i t e s i m a di ordine uttraesponenziale. La detta serie ~ percib
(e6) P e r la t r a t t a z i o n e d i r e t t a di t a l e e q u a z i o n e con i dati al contorno f o r n i t i dalle (12) e con i dati i n i z i a l i f o r n i t i d a l l a (10) si v e d a D. 20.2. in partico]are p. 360: si noti a p p u n t o t h e la soluzione i v i r i c a v a t a nel caso in cut b ¢(u)---0 [ f o r m u l a (11)] si ottiene dalla (31) ponendo~¢i c ~ 0.
(e~) G. DOETSC~I, op. cit. in {9), tabolla 4, n. 8, p. 105.
(~s) S i v e d a a d e s . L . AM~RIO, Funzioni analitiche e trasformazione di Laplace, T a m . burini, Milano, 1951, p. 278.
R. ~NARI)INI: S o l u z i o n c di u n p r o b l e m a a l c o n t o r n o , etc. 289 i n t e g r a b i l e t e r m i n e ~ t e r m i n e r i s p e t t o a ~ fra 0 e o o e la d e t t a o p e r a z i o n e d~ c o m e r i s u l t a t o
3
v qa t - ~ f _ ~ oo qa
0 c o n
co
i T ~ c a + i e - X ' d x A ~ - - V - ~ k l
0
T e n e n d o p r e s e n t i i w l o r i a s s u n t i dagli u l t i m i i n t e g r a l i (~9), si o t t i e n e 1
Ao = V ~ t
A~i+l = i-! t ~ (i = 0, 1, 2, ...)
2 t • i
A2~ = _ t ' - ~ (i = 1, 2, 3, ...).
1 . 3 . 5 ... (2i - - 1)Vr:
Si v e d e a l l o r a che gli Ah non sono altro che le a n t i t r a s f o r m a t e di -V4+1: si 1
8
cosi prov~to c h e l a (56) ~ a n t i t r a s f o r m a b i l e t e r m i n e a t e r m i n e . P o i c h ~ p e r i t e r m i n i di i n d i c e p a r i s u s s i s t e a n c h e la v a l u t a z i o n e (30)
1 ~ l - - t
A~, - - V = t * (i - - 1)! ( i - - 1, 2, 3, ...), il r i s u l t a t o d e l l a d e t t a o p e r a z i o n e si p u b a n c h e s e r i v e r e n e l l a f o r m a
(58) 1 oo q~,+l t , 1 i~ ~ * t *-i
_ + E , ( 2 i + l ) viT
+ V r c t *~(2i) T(i
1) v;Yr:t o • • • - - •
d~ q u i ~ facile d e d u r r e ohe a n e h e la s e r i e
q__
~59) ~'" n-i -~ = - -
1 -
8~
1 . t
I ~ = ~ , . (i = o, 1, 2, ...) i - 2 !
8 2
I 2 i + l ~-- 1 . 3 . 5 ... {2i + 1 ) ~ / ~ 2--(~+2).
A n n a l i di M a t e m a t i c a B7
290 R. NARDII~I.* S o l u z i o n e di u n p r o b l e m a al contorno, ece.
che c o m p a r e nella (26), ~ a n t i t r a s f o r m a b i l e t e r m i n e a t e r m i n e : con cib risul- ter'~ d i m o s t r a t a r i g o r o s a m e n t e la (29). A tale scopo basra nella p r i m a somma.
toria di (58) fare i - ~ h - - 1 e nella seconda porre i - - h ottenendo
(60) 1 t- ~ q~.h-1 t~-I 1 ~h q~h th-1
~/7:-t (2h - - 1) 1 (h - - 1)! ~- ¥~u~ * 1 (2h)! (h - - i ) ! "
Si vede ora t h e la (60) da u n certo h in poi (precisamente per 2h ~ q} mag- giora la serie che si ottiene a n t i t r a s f o r m a n d o f o r m a l m e n t e la (59) e t h e ha la f o r m a
q~h+l th-1 q + ~ q~h t~-I 1 ~ ( 2 h + l l ! ( h - - 1 ) ! W-t (2h)! (h -- ~)~ + V,~=i *
In base a a n noto i e o r e m a (3~) ]a detta operazione ~ allora rigorosa.
(si) Si veda (~HIZZETTI~ Ga~o~o simbolieo~ Zanichelli~ Bologna~ ~9~2, p. 90.
