- Il MCU è un moto che avviene su una circonferenza con modulo della velocità tangenziale o lineare v costante. y

(1)

1

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Il Moto Circolare Uniforme (MCU) si può definire in due modi:

Prima definizione:

- Il MCU è un moto che avviene su una circonferenza con modulo della velocità tangenziale o lineare v costante.

y - v v -

- v -

- x -

- v

- osservazione: la velocità lineare o tangenziale 𝑣⃗e è perpendicolare al raggio vettore 𝑅⃗⃗, che indica la posizione del punto materiale che si sta muovendo di moro circolare uniforme sulla circonferenza di raggio R e centro nell’origine degli assi.

Seconda definizione:

- Il MCU è un moto che avviene a velocità angolare costante ^^ ^^cos^tan^te.

La velocità angolare ^è un vettore tale che , mettendosi in piedi come ^, si vede il corpo (punto materiale) ruotare in verso antiorario.

La definizione di velocità angolare è la seguente:

0 0

t t

t 

 



  





 

ovvero è lo spazio angolare (Δθ) percorso dal corpo fratto il tempo (Δt) che ha impiegato per compierlo.

R R

Legenda:

- θ = angolo orientato percorso dal corpo - r = raggio vettore (coincide con s) - v = velocità lineare (o tangenziale) - an = accelerazione normale o centripeta - ω velocità angolare

(2)

2

 è l’angolo (in radianti) orientato che il raggio vettore, che individua la posizione del punto materiale sulla circonferenza, compie in un genetico tempo t dalla partenza. Pertanto l’unità di misura della velocità angolare è la seguente:

 

_^ _^

s

 rad

 Il Periodo T del MCU:

Il periodo T di un MCU rappresenta il tempo che il corpo impiega a percorrere un giro completo ovvero uno spazio pari alla circonferenza. L’unità di misura del periodo è

 

^s _.

 La frequenza f del MCU

La frequenza del MCU è definita come il reciproco del periodo T ovvero ^f ^_T¹. L’unità di misura della frequenza è

 

Hz

s

1

.

NOTA: La frequenza rappresenta il numero di giri che il corpo fa in 1 secondo.

 La velocità lineare v del MCU

Siccome il moto avviene con modulo della velocità lineare v costante per calcolare il suo valore possiamo utilizzare la definizione generale di velocità calcolando il suo modulo su un giro, ovvero:

T R t

v s 2

 

 

dove 2^R( che è la circonferenza) rappresenta lo spazio lineare percorso dal corpo in un giro quindi in un intervallo di tempo uguale al periodo T.

 Il calcolo del modulo della velocità angolare ^_{del MCU}

Per calcolare i modulo della velocità angolare possiamo procedere in modo analogo a quanto fatto per la velocità lineare ovvero calcolandola su un giro per cui sia ha che:

T t



  ²



 

dove 2 (che è l’angolo giro misurato in radianti) rappresenta lo spazio angolare percorso dal corpo in un giro quindi in un intervallo di tempo uguale al periodo T.

 Relazione fra velocità lineare ed angolare

 



 





 T v R

T



  2

2

da vi si ricava che ^v^R

 La legge oraria del MCU Dalla definizione di

0 0

t t

t 

 



  





 

 possiamo ricavare la legge oraria del moro MCU, infatti ipotizzando di far partire il cronometro, con cui misuriamo il tempo, nell’istante della partenza del corpo si ha che t0 = 0 s per cui

(3)

3

t

0

 ^ da cui ricaviamo

t



  ₀ 

che rappresenta per l’appunto la legge oraria del moto circolare uniforme, infatti conoscendo  sappiamo esattamente dove si trova il punto materiale sulla circonferenza.

(Da notare l’analogia con la legge oraria del moto rettilineo uniforme ^s^^s⁰ ^^vt, basta sostituire le grandezze lineari a quelle angolari ovvero s→θ e v→ω)

 L’accelerazione centripeta del MCU

Innanzitutto osserviamo che il MCU è un moto accelerato in quanto la velocità (come vettore) non è costante. (è costante solo il modulo di v !)

Per determinare l’accelerazione del MCU è utile arrivare a fare un’analogia fra il vettore R ed il vettore velocità lineare v. Per fare questo partiamo proprio dalla definizione di velocità:

1 2

t t

R R t R t v s



 



 



 



 

nel caso del MCU il vettore spazio s coincide con il vettore R che individua la posizione del punto materiale sulla circonferenza avendo scelto gli assi con origine nel centro della circonferenza stessa.

In questo disegno il corpo ruota in verso orario.

Riprendendo il disegno iniziale (con rotazione antioraria) si avrebbe questa rappresentazione per il raggio vettore R

v

v R

R R v R v

Si noti che il vettore posizione R è un vettore di modulo costante che ruota con velocità angolare ω.

Il calcolo della velocità con l’analisi vettoriale è complesso, ma noi conosciamo già il risultato avendolo calcolato con un altro metodo ovvero sappiamo che il risultato di

t v R



 

 

da un vettore perpendicolare ad R (ruotato di 90° nel verso di rotazione del corpo) e di modulo v = ωR, ovvero un vettore che ha il modulo del vettore ruotante (R) moltiplicato per la velocità angolare ω con cui ruota.

Se ora passiamo a rappresentare il vettore velocità lineare v abbiamo che:

R

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4

Anche in questo disegno si è rappresentato il caso si un corpo che ruota in verso orario.

Riprendendo il nostro disegno iniziale (rotazione antioraria) si ha la seguente rappresentazione del vettore v

a

a v

v v a v

a

anche il vettore v ha modulo costante e ruota con velocità angolare costante ω, come il raggio vettore R.

Pertanto applicando la definizione di accelerazione:

t a v



 

 notiamo che si tratta di effettuare la stessa operazione matematica già fatta per determinare v (basta sostituire il vettore v con R). Per cui possiamo dire che per analogia il risultato è che l’accelerazione è un vettore ruotato di 90° rispetto a v e che il suo modulo vale v moltiplicato per la velocità angolare ω. Ovvero:

 v a_c 

Il pedice indica che si tratta di un’accelerazione centripeta ovvero diretta come R ma con verso opposto, ovvero diretta verso il centro della circonferenza.

Ricordando la relazione ^v^R possiamo scrivere l’accelerazione centripeta in tre modi:

R R v v

a_c

2

2 



  

Formulario di ripasso MCU:

T = periodo (tempo impiegato per fare un giro) f T1 frequenza (numero di giri al secondo)

T R v_ 2R _

velocità lineare T

 ² velocità angolare

Accelerazione centripeta: ^R

R v v

a_c ²

2 

 

 Numero di giri

R totale spazio totale

angolo

n  2

_ 2

_ 



(5)

5

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO (MCUA)

Il moto circolare uniformemente accelerato è un moto circolare che avviene con accelerazione angolare α costante.

Definizione di accelerazione angolare:

t

 

^ ^ _^ 2 _^

s rad

Dalla definizione di accelerazione angolare si ricava l’equazione che ci da come varia la velocità angolare in funzione del tempo infatti:

0 0

t t

t 

 



   

 se t0 = 0 s si ricava ^^^⁰^^^t

Se si nota l’analogia con la definizione di accelerazione lineare nel caso del moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA) ovvero:

0 0

t t

v v t a v



 



  se t₀= 0 s si ricava ^v^^v⁰ ^^at che portava a determinare l’equazione del moto

rettilineo uniformemente accelerato: ^s^^s⁰ ^^v⁰^t^¹₂^^t⁰². Quindi per analogia sostituendo alle grandezze lineari quelle angolari

s → θ, v → ω, a → α si ha che:

2 0

0 2

1 t

t 





    che rappresenta l’equazione del moto circolare uniformemente accelerato.

Riepilogando ecco le equazioni che descrivono il MCUA:



















t t t

te













2 1 tan cos

0 0

0 Ne caso in cui t0 ≠ 0 si avrebbe che



























2 0 0

0 0

) 2 (

) 1 (

) ( tan cos

t t t

t t t te













t0 è l’istante in cui inizia il moto che spesso può essere imposto come t0 = 0.

θ0 è la posizione (angolo) da cui inizia il moto ω0 è la velocità angolare iniziale

Sempre analogamente al MRUA si può ricavare la relazione fra velocità angolare , angolo percorso ed accelerazione angolare: ² ₀²2

Relazione fra accelerazione lineare ed angolare:

 



 R

t t R t

t R R t

t v v t

a v 



 



 



 



 

0 0 0

0 0

0 ( )