Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche.

S u l l o s p e t t r o d e l l a r a d i a z i o n e d e l l e c a r i c h e e l e t t r i c h e .

~IOVA~NI ZlI~ (Torino)

S u n t o . . L a presente t r a t t a z i o n e r i e n t r a nel qaadro dell'elettromagnetismo m a x w e l l i a n o . Nella P a r t e .Prima si s t u d i a lo spettro dell'energia e della quant~tf~ di mote i r r a d i a t e da u n a carica elettriea puntifor~ne sia in moto periodico e sia aperiodico. Allo scopo di conseguire u n assotuto dominio del probtema, il caso aperiodico che viene considerato consiste nel moto di u n a c a r i c a da u n punto A a u n p u n t o B d u r a n t e l'intervalio di tempo ( ~ , ~ ) , essendo la carica p r i m a dell'istante ~i i n quiete nel p u n t o A e dopo t'istante ~ i n quiete nel p u n t o B.

Si presentano due specie di relazioni, che vengono a p p u n t o dette di p r i m a e di seconda specie. L o spettro dell'energia e della quantitdt di moto i r r a d i a t e viene rappresentato m e d i a n t e integrali doppi estesi atle coppie di elementi della traiettoria, pi.h eventual- mente a l t r i termini, dipendenti dagli estremi di quzsta~ nel caso delle formule di pri- m a specie relative al moto aperiodico, II mezzo d considerato omogeneo ~ non dispersivo~

riempiente tutto lo spazio. T t t t t a v i a si e s a m i n a anche il caso del mezzo dispersivo.

Nella P a r t e Seconda viene t r a t t a t a u n a questione emersa nella P a r l e Prima~ r e l a t i v a a l l a scelta di u n a {orm~la f o n d a m e n t a l e che e s p r i m a l'energia (o la q u a n t i t ~ di moto) Jr.

r a d i a t a i n n n in~ervallo della [req~enza quando i c a m p i elettrico e m a g n e t i c o n o n sono rappresentabiti nel modo ordinario i n integrale di ~ o u r i e r rispetto al tempo, o meglio quando ai loro prodotti (scalare e vettorgale) nOR sia applicabite il teorema di P l a n - cherel.

S i stabiliscono v a r i teoremi (quelli relativi all'energia v a l i d i anche per m e z z i n o n omogenei) rivolti a i n t r o d u r r e u n a n n o v a defintzione dello spettro applicabile i n questi cast e a d i m o s t r a r n e la coerenza con le varie esigenze fisiche e m a t e m a t i c h e dell'elettroma gnetismo.

P A R T E P R I M A

S p e t t r o d e l l ' e n e r g i u e d e l l a q u a n t i t a d i m o t o i r r a d i a t e d a u n a c a r i c a p u n t i f o r m e .

§ 1. - Carica p u n t i f o r m e in moto aperiodieo e spettro dell'energia irradiata.

1. - In un precedente lavoro (1) 6 stato descritto lo spettro dell'energia e quello della quantit~ di moto irradiate da una carica elettrica puntiforme q in moto comunque vario in un mezzo omogeneo riempiente tutto to spazio.

Il metodo col'~ seguito ha un valore euris~ico, pih che un valore dimostrativo.

(i) G. Z~N, Moving charges a n d spectrum o f the radiation, in corso di p u b b l i c a z i o n e presso , I 1 ~Nuovo C i m e n t o ~.

142 G. ZIN: S u l l o spettro della radiazione delle cariche elettriche

S c o p e d e l l a p r e s e n t e m e m o r i a b d i d a r e g i u s t i f i c a z i o n e r i g o r o s a a l l e f o r m u l e s t a . b i l i t e n e l c i t a t o l u v o r o . D a p p r i m a si c o n s i d e r e r i ~ i l c a s e d i u n m e z z o n o n d i s p e r s i v e .

S e g u e n d o i l m e t o d o d i e n u n c i a z i o n e d e l l a l e g g e d e l m o t e e n u n c i a t e i n T . G. (2), s i a n o

x = ~(0) y = y(O) z = z(O) (t~ _ < 0 < t2)

l e e q u a z i o n i p a r a m e t r i c h e d i u a a c u r v a G p e r c o r s a d a l l a c a r i c a q c o n l a l e g g e d e l m o t e

0---~t

( t = tempo~ 0 = c o o r d i n a t a l a g r a n g i a n a ) . N o l l ' i n t e r v a l l o t ~ 0 ~ t~ l e f u n - z i o n i x(O), y(O), z(O) si i n t e n d o n o c o n t i n u e i n s i e m e c o n l e d e r i v a t e p r i m e , so- c o n d o e t e r z e , m e n t r e i l m a s s i m o d e l l a f u n z i o n e

si i n t e n d e m i n o r e d i c/n(8). S i s u p p o n e i n o l t r e c h e l e d e t t e d e r i v a t e s i a n o n u l l e n e i d u e e s t r e m i 0 = t~ e 0 = t2 di C.

(2) G-. Zt~, Teoria generale rlellce radiazione di Cerenkov. ~ I t ~ u o v o Cimento 2, S. X , voL 22, 1961, pp. 706-778. U n a traduziene inglese di tale lavoro ~ apparsa su ~Alta Fre- quenza~, Vo]. X X X I I [ , 196~, pp. 284-317.

Un~anticipazione di alcuni risultati stabiliti nella presente memoria si trova in aleune conferenze dell'autore: L~integrale di z~ourier nella teoria della radiazione delle cariche i n mote, • Atti del Simposio I n t e r n a z i o n a l e salle applicazioni dell'Analisi nella Fisica Matoma- c a , , Cagliari-Sassari~ 28 I X - 4 X 1961, Ed. Cremonese, Roma; Sullo spettro della radia.

zioni delle cariche in mote, <<Rendieonti del Seminario )/Iatematico e Fisico di Milano,,, Vol. X X X V I , 1966, 26 Aprile 1966.

(3) Notoriamente nolle espressioni analitiche dei campi elettvico e maguetico generati da u n a carica puntiforme in un mezzo omogeneo i u t e r v i e n e anehe l'accelerazi0ne della earica. ]~ per tale motive che ~ stata postulata l'esisgenza delle derivate seconde detle fan- zioni x(0), y(O), z(O). L'esistenza delle derivate terze di tall funzioni ~ stata postulata per il fatto che helle equazioni di Maxwell intervengono le derivate parziali prime dei campi sin rispetto alle variabili spaziali e sin rispetto alla variabile temporale.

Notoriamente in uu mezzo non dispersive la velocitk delia carica non pub mai superare il valore c/n. e v e cib avvenisse la cariea irradierebbe u n a potenza infinita, anche se il sue mote fosse rettilineo e uniforme, come si pub desumere dalla formula di F r a n k e Tamm relativa alla radiazione di Cerenkov.

P e r comodith del lettore si richiamano le espressioni dei campi elettr.~co 6-~P~ t) e. ma- gaetico ~ ( P , t} generati da u n a carica puntiforme q e presenti in u n punto P all'istante t:

It l t " ' - /

g(P, t)=l/5- A ( t) s = r r

G . ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche eIettriche 143

P r i m a d e l l ' i s t a n t e t~ la carica si suppone immobile e s i t u a t a nel primo estremo di C. Dope l ' i s t a n t e t2 la carica si suppone immobile e s i t u a t a nel secondo estremo di C.

Discende da q u a n t o premesso ehe coordinate della carica, veloeith, acce- lerazione e d e r i v a t a (rispetto al tempo) dell'accelerazione sono funzioni con- tinue del tempo t in tutto l ' i n t e r v a l l o - - o c < t < ~ a% m e n t r e velocith e successive derivate sono nuIle sia p r i m a d e l l ' i s t a n t e t~ e sia dope Fistante t2.

E v i d e n t e m e n t e in un q u a l n n q u e punto P dello spazio (in t u t t a la presente P a r t e P r i m a il simbolo P denota un punto non a p p a r t e n e n t e a C) il campo elettrico e i l campo magnetico generati dalla carica q sono funzioni c o n t i n u e del tempo in tutto l'intervallo - - ~ < t < + ~ . Della stessa proprieti~ go- done pure le lore derivate prime sia rispetto alle variabili spaziali e sia rispetto al tempo (~). ~Nel detto punto P i campi generati dalla carica q va- riano soltanto d u r a n t e un intervallo di tempo (t'~, t~), restando costanti sia p r i m a di tale intervallo e sia dope di esso (5). I due valori assunti dal cam- po elettrico p r i m a e dope tale intervallo sono t u t t a v i a diversi (sarebbero u- guali solo se la curva C fosse chiusa). I n v e c e i due valori costanti a s s u n t i dal campo m a g n e t i c o sono e n t r a m b i nulli. Consegue che in un q u a l u n q u e punto P il campo m a g n e t i c o ~(P,t) generato dalla carica q ~ F - t r a s f o r m a b i l e rispetto al tempo, m e n t r e invece non ~ / r - t r a s f o r m a b i l e il campo elettrico ~ P , t) (s).

T t ~ ~

Quivi~ posto t = t ' + ~ - , si ~ i n d i c a t e con r i] s e g m e n t o ehe v a d a l l a posizione oeeupata dalIa carica a l l ' i s t a n t e t' al p n n t o P, c o n y e ' ~ r i s p e t t i v a m e n t e la v e l o c i t h e t ' a c c e ] e r a z i e n e della c a r i c a al detto i s t a n t e t'. ~ pei ~. p, n = c o s t a n | e d i e t e t i r i c a , p e r m e a b i I i t h m a g n e t i c a e i n d i c e di r i f r a z i o n e del mezzo r i s p e t t i v a m e n t e , c = v e l o c i t h d e l l a l a c e nel v u o i o

I p o t e n z i a l i s c a l a r e ~(P, t) e v e t t o r e "~{P~ t} sono dati dalle e s p r e s s i o n l tpotenziali di L i e n a r d e W i e c h e r t )

q ~(p, t) = q~v

~(t ~, t) = ~s cs

Tali e s p r e s s i o n i si t r o v a n o riportate, se p u r l i m i t a t a m e n t e a] case del ~,uot% in molte opere di e ] e t t r o m a g n e t i s m o e di e l e t t r e d i n a m i c a . E s s e si t r o v a n o p u r e r i c a v a t e n e l l a citata me- m o r i a T. G. con un m e t e d o fondato sull'uso d a l l ' i n t e g r a l e di ]~ourier, L ' i n t r c d u z i o n e dell'in- t e g r a l e di ~ o u r i e r nello studio del caml0o e ] e i t r o m a g u e t i c o g e n e r a t e da u n a carica punti- f o r m e in m o t e c o m u n q u e v a r i o ~ stata f a t t a p e r la p r i m a v o l t a d a l l ' a u t o r e n e l l a citata m e m o r i a T. @..

(a) T a l e fatto ~ in r e l a z i o n e con l ' e s i s t e n z a e c o n t i n u i t ~ delle d e r i v a t e t e r z e di x(O), y(O), z{t)) e c e n il l o r e a n n u l l a m e ~ t o n e g l i e s t r e m i di C.

(5) t~'--ti ~ il t e m p o i m p i e g a t o dalla p e r t u r b a z i o n e e l e t t r e m a g n e t i c a a p o r t a r s i da] p r i m o e s t r e m o di C ai p u n t o / ) ; t2 ~ _ ts ~ il t e m p o i m p i e g a t o d a l l a p e r t a r b a z i e n e e l e t t r c m a g n e t i c a p e r p o r t a r s i dal secondo e s t r e m o di C al punto P. E v i d e n t e m e n t e g l i i s t a n t i t~' e t e' di- p e n d o n o d a l punto P.

(~) ~ e l p r e s e n t e I a v o r o p e r F - t r a s f o r m a t a di u n a f u n z i o n e f(t) (simbolo £~[f{t)]) si in-

144 G. giN: Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche

P o i c h b il c a m p o e l e t t r i c o n o n b r a p p r e s e n t a b i l e in i n t e g a l e di F o u r i e r , si r e n d e n e c e s s a r i o p r o c e d e r e in m o d o o p p o r t u n o . Anzi si p o n e ]a q u e s t i o n e p r e l i m i n a r e di s t a b i l i r e se in tall c i r c o s t a n z e a b b i a a n c o r a u n s e n s o p a r l a r e di e n e r g i a i r r a d i a t a d a l l a c a r i c a in u n i n t e r v a l l o f i n i t o d e l l a f r e q u e n z a e in easo a f f e r m a t i v o q u a l e sia l ' e s p r e s s i o n e m a t e m a t i c a d a p o r r e a b a s e d e l l a t r a t t a z i o n e . T a l e t ~ a t t a z i o n e s a r h t u t t a v i a r i m a n d a t a a l l a P a r t e S e c o n d a . N e l l a P a r t e Prima, si supporr/~ l ' a c c e n n a t a q u e s t i o n e gi~t r i s o l t a in s e n s o af- f e r m a t i v o e t u t t a la t r a t t a z i o n e sar/~ f o n d a t a s u l l a r e l a z i o n e (3), di cut a suo t e m p o si c h i a r i r h il s i g n i f i c a t o e c h e v e r r h g i u s t i f i c a t a n e l l a P a r t e S e c o n d a . Si p u b t u t t a v i a a n t i c i p a t e il f a t t o c h e la c h i a v e di v o l t a d e l l a q u e s t i e n e r i s i e d e

~ ( P , I ) la q u a l e in P r i s u l t a n e l c o m p o r t a m e n t o d e l l a d e r i v a t a t e m p o r a l e ~t '

n u l l a p e r t__~ t[ e t__> t'z ed b p e r c i b F - t r a s f o r m a b i l e r i s p e t t o al t e m p o .

2 - Si s c r i v a n o ora, r e l a t i v a m e n t e ad u n p u n t o P, ie e q u a z i o i di M a x w e l l :

rot r o t

c c~t c ?t

S i a n o _~/~(P) e io)Eo)(P) r i s p e t t i v a m e n t e le i C L t r a s f o r m a t e (rislJetto al tempo) del e a m p o m a g n e t i e o ~ P , t ) e d e l l a d e r i v a t a c'~(F,t) de1 e a m p o e l e t t r i c o :

~t

~ r ( p ) = F [ ~ ( P , / ) ]

tende l'integrale

+co

~(~o) = 2~[f(t)] ='1" e -io, f f(t)dt Con una lale scelta, la folmula di in~'ersione diventa:

+ ~ 1 f

f(t) = ~ J e ~t ~(~J)d~

- - O O

Se f{t} e g{t)sono due funzioni reali a quadrai, o sommabile in - - o o < t < ÷ o a ed ~ ~(~o)=

= F[f(t)], ¢(~,)=Fig(t)] notoriamente si ha:

+co ÷ 2 +oo

f f(t)g(t)dt=~f ~(o))**(o))ao)=lf [~(e))**(o))÷~*(¢o),(to)]&o

- - 3 0 --CX:~ 0

L'integrale / e--i~t~(P, t)dt in generale non esis|e nel 13roblema qui tratiato~ t~erch6 in generale ivi ~ ~(P,--co) ~ ~-~(P, + zo}.

G. ZIN: Sutlo spettro della radiazione detle cariche eIettriche 145 Seelti due istanti t'~'lt~ < tl) e t2'(t~'> t2) e tenendo p r e s e n t e ehe per t < t'x e per t > t~ in P il campo magnetico b hullo ed il campo elettrieo b pura- mente statieo (per eui rot ~ = 0, rot--~ ---- 0), si ha:

t ~t t ~t

f e -iÈt rot 2 d r - - e -~Èt rot"~dt~-- rot e - ~ t 2 a t = rot e - ~ ' t ~ d t =

• t t

1 1

rot _~-/.

t t t l l

f e -i~t rot ~dt e -i~t rot -~dt-~ rot e -i~t ~dt = rot e_i~ t t~,-Jr"

03 jtx

H t r

- - ~ t t

1 1

t t /

+ 1 r o t ~ fe_io, t ~ ~[ dt = ~-- 1 rot ~ e -~t ff[ dt ~ =-t~ ( ~ 1

t t

t - - ' ~

1

rot (i¢0~.) ---- rot E~,.

F - t r a s f o r m a n d o anehe i secondi m e m b r i delle equazioni di allora :

(1) rot ~/~ ito~ ~ . - - ~ rot E ~ - - -- i(ot~ H~

C

Maxwell si ha

A p p o n e n d o a una grandezza l'asterisco per indiearne la complessa coniugata, da q u e s t e si r i e a v a che in ogni punto non a p p a r t e n e n t e a C si h a :

(2)

Tale ratio, u n i t a m e n t e alia considerazione ehe nei fenomeni particolari (di.

versi da quello qui considerate) nei quali il eampo elettrieo ed il campo magnetieo sono e n t r a m b i F - t r a s f o r m a b i l i , l'espressione (r)

(3) E(co)dto =cd¢o f ~ ~ - (Eo A H* q - E * A H~l.nda .... .-.

S

(~) ~ e l l a P a r t e S e c o n d a della p r e s e n t e m e m o r i a v i e n e t r a t t a t a una q n e s t i o n e che com.

prende~ c o m e case p a r t i c o l a r e , la l e g i t t i m a z i o n e della (3). Qui ci si l i m i t a h r i c o r d a r e che l ' e n e r g i a totale u s c e n t e d a l l a s u p e r f i e i e S 6 f o r n i t a dalla s e g u e n t e e s p r e s s i o n e {toorema ,li P o y n t i n g ) :

/ - - -

e d t ~ A 2 ~ . n d a

--o~ s

A n n a l i d i M a t e m a t i c a 19

146 G. ZIN:

Suito spettro della radiazione delle cariche elettriche

(S ~ u n a s u p e r f i c i e chiusa r a c c h i u d e n t e tutte le sorgenti del c a m p o ; n ~ la normale alla superficie

S,

unitaria, estern~;

da

l'area dell'elemento di S) denota l~energia irradiata nell'intervalh) (% o)-{-d~o) della putsazione, impone di a t t r i b u i r e alla (3) questo stesso significato anche nel caso a t t u a l e in cui E~ pub non essere u n a F - t r a s f o r m a t a . ~ e l case attuale con S si intender~t

u n a s u p e r f i e i e e h i u s a c o n t e n e n t e t u t t a la c u r v a C.

Si osservi ora che, come il campo magnetico

~(P,t),

anche il potenziale vettore

~ ( P , t ) generato dalla c a r i c a q ~ F - t r a s f o r m a b i l e . R i c o r d a n d o le note espres- sioni dei potenziali di L I E ~ I ~ D e WI]~C~EtCT (3) si constata che

~(P,t)

dipen- de dalla posizione e dalla velociti~ della carica. L a p o s t u l a t a esistenza e con- tinuit~ delle d e r i v a t e seconde e terze delle coordinate della earica ha allora p e r conseguenza l'esistenza e continuit~ delle d e r i v a t e parziali prime e se- conde di

~(P,t).

Inoltre ~(P,t) e le sue derivate parziali sono nulle esterna- mente all'intervallo temporale (t~, t~).

N o t o r i a m e n t e in P il potenziale vettore e i l eampo magnetico soddisfano alle equazioni :

n 2 ~ t -~ 1

A ~ --=0 ~ - r o t ~ (n ~ )

c ~ 0t ~

Queste, dopo quanto premesso, possono essere F - t r a s f o r m a t e secondo il pro- cedimento gi~t seguito per le equazioni di Maxwell. Detta - A d P ) la F - t r a - s f o r m a t a (rispetto al tempo) di

~I(P,t),

si d e d u c e a l l o r a :

- ~ n 2 ¢ o 2 ~ -~ - - - 1 r o t A ~

(4)

~A~, + ~ - A~ = 0 H~

3 . - P e r il seguito eonviene i n t r o d u r r e le funzioni

A+(O,P) e H+(O,P)

0 r e a l l o r a si t r a t t a s s e di un f e n o m e n o e l e i t r o m a g n e t i c o p a r t i c o l a r e , in cui $ e ~ fossero e n t r a m b i /~'-trasformabili r i s p e t t o al tempo e fossero i n o l t r e di c o m p o r t a m e n t o tale da con.

s e n t i r e l ' i n v e r s i o n e d e l l ' o r d i n e de]le i n t e g r a z i o n i , p e r q u a n t o detto in n o t a (~) si a v r e b b e

F ~

( l i m i t a t a m e n t e al caso ora in discorso si p o n g a E ~ = [~], H ~ = F [ ~ ] ) :

- / ° / - I - -

• ^, " (EcoAH~* + ~ A

- - c o ^, S S - - o ~ S o

° / / - -

=~'~n ~ dm ('~ A II*(~+ E*~) A % , ) . - n d a .

o ,9

T a l l e o n s i d e r a z i o n i o f f r o ~ o u n a vision% se p u t a]quan~o limitata~ d e l l a g e n e s i d e l l a (3).

G. ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche 147

o o s l d e f i n i t e :

G r - ~ ; + - - C ] ~ A v

dove v-~-v-~0) /) la veloeith delia carica nel punto 0 di O, -r il segmento che va dal punto 0 di C al punto P ed r la sua lunghezza.

Dalle (83) e (85) della T. G. si a p p r e n d e allora (s) ehe le F - t r a s f o r m a t e A'-'~(P) e /-/.(P) del potenziale vettore e del campo magnetieo generati dalla eariea q sono fornite daile seguenti e s p r e s s i o n i :

(6)

t~ t~

- - f -

A~(P) = ~ ( O , P ) d O H~(P) = H~(O,P) do

t~ tl

(s) P e r c o m o d i t ~ d e l l e t t o r e e d al f i n e di e v i t a r g l i il r i c o r s o a l l a T. G., si d a r k q u i u n a g i u s t i f i c a z i o n e d e l l e (6).

D a l l e (6), m e d i a n t e le (5), si o t t i e n e :

(*) ^t~

tl 52

tl

La (*~) si o t t i e n e dalla (*) m e d i a n t e l a seoonda deIIe (4): ~ > = I r o t A~.

F

P e r p r o e e d e r e a u n a v e r i f i e a d e ] l a (*), si p u b ioorre z = O + c " S e si e o n s i d e r a z cluate f u n z i o n e d e l l a sola 0 (cio~ si t i e n e fisso iI p u n t o P), si h a

~ = * + c ~ = 1 - ~ - - ~ - ~ 1 - c v 0 )

P e r la f o r m u l a t a i p o t e s i ehe il m a s s i m o d i v(O) sia m i n o r e di c/n la d e r i v a t a ~v/0O ~ sem- p r e p o s i t i v a i n t u t t o F i n t e r v a l l o t l ~ 0 _ < t . z . P o r t a a t o i n t a l e i n t e r v a l l o z 6 f u n z i o n e s e m p r e

= t ' t ' Si p u b eosi n e l r i n - c r e s c e n t e d i 0. S i v e d e f a c i l m e n t e che (5) i n P ~ ~0--ll ~ , z0=t~ = ~"

t e g r a l e (*) s o s t i t u i r e la v a r i a b i l e 0 c o n la v a r i a b i l e z e si h a :

tr t r

f ~z

' - - t' r ( O ) - n -~ ^{- .}

t~ ~0 , ~ (~o). v (o)

d o v e si ~ p r o f e r i t o s c r i v e r e r(O), r-~O), v~O) al p o s t o clollo n o t a z i o n i pifl s i n t e t i c h e r, r-~ v "~.

Si s o s t i t u i s c a e r a f o r m a l m e n t e al s i m b o l o z il s i m b o l o t o ~1 s i m b o l o 0 il s i m b o l o t',

148 G. ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche eIettriehe Si p o n g a e r a :

t~

-" 0 c rot ~ ( O , P ) -E~(P) = f -E.(O,P)dO (7) E.( ,P) --~ ~¢o=-~

t l

L a f u n z i o n e E . ( P ) cosi d e f i n i t a soddisfa, c o m e ~ evidente, alla p r i m a delle (1).

Si o s s e r v i i n o l t r e che le f u n z i o n i A~(0,P) e H~(0,P), q u a n d o v e n g a n o riguar- d a t e q u a l i f u n z i o n i d e l l a sola P, s o d d i s f a n o alle (4), p e r cut d a l l a p r i m a delle (7) si d e d u c e :

E~(O,P) ~ i~o~ rot rot A ~ ( 0 , P ) = { ~ - ~ [ g r a d div 2 ~ ( 0 , P ) - - 5 A ~ ( ^{C ~ 0} ,P)] =

c g r a d div A~(0,P) -~- ~ A~(O,P) e da q u e s t a

rot ~ ,P)---~ :- ro~ A ~ ( 0 , P ) - ~ - - - - _~c

io)~ II~(O,P)

c

Cio~ lo funzioni E ~ ( , P ) e H.(O,P) soddisfano a e n t r a m b e le (I). Di conse-

nrO)

p e r c u i l a r e l a z i o n e ~ = 0 + ~ p r e c e d e n t e m e n t e i n t r o d o t t a , d i v e n t a :

(.) t = t ' + c r(t') essendo r{t') = V [ x - x(t')] 2 -b [Y - y(t')] 2 -k [z - z(t')] 2

(x, y, z sono le c o o r d i n a t e di P; x(t'), y(t'), z(t') sono quelle d e l l a cariea q a l l ' i s t a n t e trt.

Si h a allora:

-~ (pl = f e - - i ~ t ql~ v (t') d t

or(r) _ n-~(t') .-~ (r)

]

t 1

d o v e t r d e v e c o n s i d e r a r s i f a n z i o n e di t t r a m i t e la (.). Ora it p r i m o m e m b r o ~ la F - t r a s f o r - m a t a d i - ~ ( P , t), m e n t r e il secondo m e m b r o b ta F - t r a s f o r m a t a di u n a funzione d e l l a va- r i a b i l e t n u l l a p e r t ~ t ~ e p e r t~tr2 ed u g u a l e a

q~ v (t')

~ (t') _ ,VV(r) • ~t,~

p e r t'l ~ t ~ t~. Si h a cos~:

~ { P , t)--__0 p e r t ~ t~ ⁱ e p e r t ~ t~

q~ ~'(t') p e r t: ~ t < t'~

a(P, t) = cr(t') - n -~ (t').¥(t')

con f f a n z i o n e d i t t r a m i t o la (.). l g o t o r i a m o n t o t a l e e s p r e s s i o n o di "~(P,t) ~ il b e n n o t e p o t e n z i a l e v e t t o r o di L i o n a r d e W i e c h o r t , gi~ r i c o r d a t o in n o t a (a).

G. ZIN:

SulIo spettro della radiazione delle cariche etettriche

149 guenza esse soddisfano p u r e alla (2):

(8) div [E~o(0,P) A

H*~(O,P)

+ E~*(0,P) A Ho(O,P)] --- 0 Dalla (3), per la seconda delle (7) e la seeonda delle (6), si h a :

t,z t~

f s s - . , - . o - ,

E((o) = 8-~c "n.da dO' [(E~(4.P). A H3(O,P) -FEw(,P)

A

H,(O ,P)]dO

tl tl

Da questa si pub o t t e a e r e u n ' a l t r a relazione scambiartdo 0 con 0'. E f f e t t u a n - do la semisomma delle due relazioni ed invertendo l'ordine delle integra"

zioni si ottiene:

t~ t~

o f f f -

(9) E(to) = ~ - ~ dO dO' -U(0,

O:P). nda

tl t, S

dove si /~ posto

(1o) ~0,0'P) = ~(0,P) A H*~(O,P) + ^Y~,(O~P) +

- o' - * o ~ ( o , p )

+ E~(,P) A H~*(, P) +-~*(0~P) ^

Se ora nella (8) si sostituisee 0 con 0' si o t t i e n e :

~ 0' * ' ~ * ' ~ 0' ~---

(11) div [E~(, P) A H . (0. P) -p E . (0. P) n H ~ ( , P)] 0

P e r la linearith, delle (1), queste soao soddisfatte a n e h e se in esse E-~ viene f o r m a l m e n t e sostitui~o con

E~(O,P) -[- E~(O, P) e H~

con H~(0, P) + _~(0'. P).

Sassiste eosi, in forza della (8), a n c h e la seguento ultra relazione:

-- 0' [H3(0, P) ~ * ' div {[Eo,(0, P) + E~( ,P)] A + H~ (0, P)] +

- - * 0 [ - ~ ( 0 , P ) + H ~ ( , P ) ] } = 0 -]- [E~*(, P) + ~*(0~P)] A -~ 0'

Da questa sottraendo ta s o m m a della (8) e della (11) si o t t i e n e : div

U(O, 01 P) = 0

P e r tale propriet'~ di

U(O, O',P)

non 6 neeessario u s a r e nel ealcolo dell'integrale

f ~f(O, 0', P).nda

S

t50 G. ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche

u n a stessa superfieie S p e r tutte le eoppie di valori 0 e 0' (ciob la superfi- cie S introdotta con la (3)), ma si possono seegliere infinite superfiei S, u n a in eorrisp0ndenza di ogni eoppia di valori (Off'). Tale vantaggio 6 dovuto al fatto ehe "E. ~ stato espresso m e d i a n t e la p r i m a delle (1) e non attraverso la solita relazione fra eampo elettrico e potenziali scalare e v e t t o r e .

P e r la p r i m a delle (7) e ta seconda delle (5) si ha ora (9):

E~,(01 P)-~- - - i¢o-~ q { e-~¢o( ° + ~ ) ( 1 ~ + cr '~ ) i~on~ rot (r A v) + ~ --

d I -i~(o+""i [ 1 i(°nllr -~ -* t + drl e \ c ! ~ - 4 - ~ ] ] r A (r A v)

Si t r a t t a ora, ai fini delle integrazioni ehe saranno esegaite di m e t t e r e in evidenza nelle espressioni di -E~(O,P) e _~.(0,P) i sono infinitesimi dell'ordine di - 1. Si ha cosi dalla p r e c e d e n t e e

r 'conda delle (5):

(12) -E~(O,P) qn~i~° ) A A

(1)

(13) _H~(0,P) = - - C~- ~ A v -4-

in seguito, t e r m i n i che dalla se-

Scelti allora due punti 0 e 0' su C, sin S la superficie sferica avente il een- tro nel punto 0 e raggio R i n f i n i t a m e n t e grande. Sia R il raggio che va dal eentro di S a u n punto P di S e sin -R1 il segmento orientato ehe va dal pnnto 0' di C al detto punto P di S. P e r tale punto P s i ha cosi delle p r e c e d e n t i :

(14) ~ ( 0 , P ) - - qn~i°) ~--"(°+°-I~ C i g A R (_~ A ~(0)) -]- 0 625

(15) H~o( ,P~7-- ~ e ~ ~ ~

C~ k ~ t \/%~]

Sia era ~ il segmento che va dal punto 0 al punto 0' di C e quindi sia 9 la distanza fra tall punti. Sia :¢ l'angolo formato dai segmenti R e ~, per cui

RI ~- R - - ~ c o s ~ + 0 ( 1 )

(9) Si fa uso dell'identith rot ~ u = ~ rot "u+ grad ~A u.

G. Z~N: Sutlo spettro della radiazione delle ca/iche elettriche 151

Si osservi a n c o r a che ~:

~ - n ~ + o

Dopo a v e r e f f e t t u a t o n e l l a (15) t a l i sostituzioni, d a l l e (14) e (15) si o t t i e n e (per semplicit~t si s c r i v e - v al posto di v-~(0) e v' al posto di v~0')):

, , p q a) n ei~(o_o_~ecos~t~RA(RAv)]A(BAV)~, ,

(16) E~(0,P) A H~* ( 0 , ) = c% +

_ - _ .

-- ¢ ° " " ~"(°'-°-V °°'-) [R,(~ . ~ % v ' ) - ( R . , ) ( R . ~')] ~ + o

Si i n t r o d u o a o r a il s i s t e m a di c o o r d i n a t e p o l a r i /~, a, ¢~ (R e a sono gi/~

s t a t e d e f i n i t e , ~ b p e r t a n t o u n a t o n g i t u d i n e ) e si i n t r o d u c a a l t r e s i u n s i s t e m a di c o o r d i n a t e c a r t e s i a n e o r t o g o n a l i x, y, z con l ' o r i g i n e nel p u n t o 0 di C.

L ' a s s e z sia d i r e t t o d a l p u n t o 0 al p u n t o 0' di C. L ' o r i g i n e delle l o n g i t u d i n i sia il s e m i p i a n o d e l i m i t a t o d a l l ' a s s e z e c o n t e n e n t e il s e m i a s s e w > 0. S i a n o R x , Ru, Rz le c o m p o n e n t i c a r t e s i a n e di R ; vx, v u, v~ q u o l l e di v e v ' , vy, t

v', q u e l l e di v'. ~ cosi:

R x - - R sen a cos ¢p R v --- R sen a sen ¢~ R~ --- R cos c¢

P e r q u a n t o r i g u a r d a l ' a r e a d e l l ' e l e m e n t o d e l l a s u p e r f i c i e s f e r i e a S si h a da .-~ R 2 sen ~d~d~. S u l l a s u p e r f i c i e s f e r i c a S b i n o l t r e - R . n - - - R . Si h a cosl:

R -nda~- ~'-v' R ~ v '

[ R ~ . ~,) - (~.-~) (~.-~)]

^{~ .}

^{_ ~} ~v~ + ~R" v~,v~ +

-~-R-~V,V;-{-... s e n c c d a d T [ v ' - ~ ~ v ~ x " C O S 2 ~ - VyVy s e n 2 ~ -

(V:~V~ V'

-- - - v x ~ eos2~ ~ VyVy sen2~) eos2c¢] senzcd~d~

dove con i p u n t i n i si sono i n d i c a t i i t e r m i n i in R,~Ru, RxR~, .RuR~ , cio~

t e r m i n i d i p e n d e n t i d a ¢~ a t t r a v e r s o le f n n z i o n i s e n q ~ c o s % c o s % s e n % le q u a l i nel corso d e l l ' i n t e g r a z i o n e r i s p e t t o a ~ n e l l ' i n t e r v a l l o (0, 2r:) d a n n o luogo a c o n t r i b u t o hullo.

152 G. ZIN: SuIlo ,spettro della radiazione delle cariche elettriche

Si ponga inoltre:

V *

V t

A = v ~ ~ + v u ~ + 2 % v ~ , B - = v~v'~ + % v ~ - - 2 v , v ~ , ^{! ¢} D = A + B tont~

- - 2 - - ' ~ = - b - - e si tengano presenti le relazioni:

27~

27r

f sen2c~d~ -~ f cos2~dT

o o

f

^{e -i~¢°s~ sen~d~¢} 2 s e n ~

0

7Y

o

--~L. co~ COS2~ sen a d ~ = 2 ( ~ - 4 - 2 c o s ~ 2 sen ~

)

Per tutto quanto ora detto dalla (16) si ottiene:

(17) ^lim

f fl*(o'

P ) Z n d a = q~°~Zn~--

R.-.~oo ' 04~

S

27~

f f -

- - - e i~°(O'-O) d c z e - c c o s ~ .

o 0

• , , , _ _ ,

xVx C O S ~ ~ - - VyVy s e n z ~ - - (v,vz VxV~ O 0 S 2 ¢ ~ - -

- - vt, v'y sen ~ ~o) cos 2 0¢] sen adcp =

2 2 3 f

_ ~q ~ n e~(0,_0 )

J

- - 0 %

0

ito ~1o

e ~ [A + B e o s ~ ] sen a d c z =

2 ~ 0 2 ~ 2 n 8 . . . [ _ s e n ~ ( ~ _ ~ _ } _ 2 cos ~ 2 s e n ~ ) ]

_ _ ± _ _ e~to(v - - v ~ t A

c% L ; + B 7 7

Le (9) e (10) riehiedono inoltre la valutazione del prodotto E , o ( O ~ P ) A H * ( O , P ) . In relazione a cib dMle (12) e (13) si ha (con P si intende ancora un punto sulla superficie sferica S di raggio R e centro nel punto 0 di C):

~(0, P) = - - - G2E e-'~( ° + - ~ - - i A (-nl A ¢ ) + 0 =

e ~ o ~ h ~ + O

G. ZIN:

Sulto spettro della radiazione delle cariche elettriche

153 A p p a r e da tall espressioni che, t r a s c u r a n d o infinitesimi dello stesso ordine di ~ , it prodotto

EdO:P)AH*(O,P) ~

il complesso coniugato del prodotto

E~(O,P)AHJ(OP)

fornito dalla (16), per cui si ha

(18) ^{l i r a}

r E d o ' P ) , /\ H~ (O, P).nda --" -- 2=q=m =n~ ei~°(°-°')lA ~ ~-- "°r"

R ~ o ~ ~C 4

,S

E v i d e n t e m e n t e il secondo ed il quarto termine che figurano a secondo mem- bro della (10) danno luogo ad espressioni che sono le complesse conjugate di quelle fornite r i s p e t t i v a m e n t e dalle (17) e (18). I1 calcolo dell'integrale

f "U(u,O; P)" -n da

s

pub allora considerarsi completato. L a (9) fornisce cosi:

t~ t~

=~c~ - - ~ - + ~ ~ ~ ~o~ [~o(0 - 0')] d0'

tl tl

D'ora innanzi, per u n i f o r m a r e ii simbolismo con quello gii~ introdotto in altri lavori, si indicher/~ con r il segmento t h e va dal punto 0' al pnnto 0 e percib con r la distanza fra tall p u n t i di C. Si pub allora scrivere

(2O)

+ B t

2 \ r ] \ r ]

OSSERVAZIO~E. - Nel piano delle variabili 0 e 0' si possono p r e s e n t a r e domini q u a d r a t i nei quati b r----0. Ad es. se nell'intervallo di tempo zl ~ t ~ % ( t l ~ x l , t 2 ~ % ) la carica resta immobile, la funzione r b nulla in tutto il dominie q u a d r a t e T ~ _ ~ 0 ~ z 2 , xl~0'___~z2 del piano 0, 0'. In tel case la funzione i n t e g r a n d a che c o m p a r e helle (19) diventa i n d e t e r m i n a t a a cause della presenza di termini della forma 0/0. T u t t a v i a da un esame della dimo- strazione_. (formuIe (14)(15) e segg.) si d e s u m e che q u a n d o ~

v'-~(O)= O,

o p p u r e v(0') = 0, alla funzione i n t e g r a n d a della (19) deve attribuirsi valore nu]lo.

A n n a l i d i M a t e m a t i c a 20

154 G. ZIN: Sullo spettro della radiazlone delle cariche elettriche

Altri p u n t i d e l p i a n o 0, 0' in cui l ' e s p r e s s i o n e i n t e g r a n d a d i v e n t a i n d e t e r m i - n a t a sono :

i p u n t i in cui ~ r ~ 0, 0 ~ 0', v ( 0 ) ~ 0 (ma qui l ' i n d e t e r m i n a z i o n e p u b e s s e r e r i m o s s a a t t r i b u e n d o a l l ' e s p r e s s i o n e i n t e g r a n d a il suo v a l o r e limite p e r 0 --~ 0') ;

i p u n t i in cui b r ~ 0 , 0 ~ 0 ' , v ( 0 ) ~ 0 , v(O')~O. Q u e s t i u l t i m i si pre- s e n t a n o q u a n d o la e u r v a C non b s e m p l i e e . I n essi (che nel p i a n o delle va.

riabili 0, 0' e o s t i t u i s c o n o in ogni caso u n i n s i e m e di m i s u r a nulla) la fanzio- ne i n t e g r a n d a ~ d i s c o n t i n u a .

P e r lo i n t a n t o i r i s u l t a t i e o n s e g u i t i p o s s o n o e s s e r e r a e c o l t i nel s e g u e n t e t e o r o m a :

TEOREMk t. - Una carica p u n t i f o r m e q si m u o v a i n u n dielettrico omo.

geneo, non dispersivo, riempiente tutto lo spazio. L a posizione di q sia u n a funzione continua del tempo t, insieme con le sue derivate p r i m a , seconda e terza, i n tutto l'intervatlo - - oc~ ~ t ~ ~ o,~. P r i m a dell'istante t~ e dopo l'i.

stante t, (t~ ~ t2) la carica sia immobile. Il massimo della velocit~ della carica sia minore di c/n. AUora per l'energia E(to)d(o i r r a d i a t a dalla carica nell'in- tervallo (~o, o) ~- do~) della pulsazione sussiste la relazione (19), essendo B, D e definite dalle (20), v(O) e v(O') le veloeit& della earica agli islanti 0 e 0', r il segmento che congiunge le posizioni occupate dalla carica in tall istanti (~o) ed r la s u a lunghezza.

(c -~ v e l o c i t k d e l l a l u c e nel vuoto; e, n ~ c o s t a n t e d i e l e t t r i c a , risp. i n d i c e di r i f r a z i o n e del mezzo).

L a f o r n u l a i n t r o d o t t a b s t a t a in ~[. C. e h i a m a t a di seconda specie.

§ 2. - T r a s f o r m a z i o n e d e l l a f o r m u l a p r e c e d e n t e .

1. P e r il s e g u i t o c o n v i e n e s c r i v e r e la (19) nel s e g u e n t e m o d o :

q2¢o2n3

(21) E(~o) - - I

7:~$C 8

e s s e n d o s i posto

t2 t~

(22) I--- d0' D -["/=¢~ ~-2 ~

tt tl

cos [to(O - - 0'] dO

(to) M a n i f e s t a t a m e n t e B e D n o n d i p e n d o n o d a l v e r s o di ~ .

G. Z[N:

SuIIo spettro della radiazione delle cariche elettriche

¹⁵⁵

L e (20) e o n s e n t o n o di s e r i v e r e :

(23) I = / 1 -- I2

(3On

t~ t~

• - - cos [+(0 - 03 ]

dO

tl tl

t~ t~

(25)

I , : / d O ' f ( v ' r ) ( v ' ' r ) ( s e ~

3 cos ~ 3 sen ~)

r ~ - - ... + ~ ~ cos [+(t~ - - 03] d0

tl tl

Nel s e g u i t o si t r a s f o r m e r a n n o tall e s p r e s s i o n i m e d i a n t e i n t e g r a z i o n e p e r p a r t i Si r e n d e p e r t a n t o n e c e s s a r i o u n p r e v e n t i v e e s a m e dei f a t t o r i c h e c o s t i t u i . s c o n e le f u n z i o n i i n t e g r a n d e .

2. L ' e s p r e s s i o n e

(-v. r) (v'. r)/r ~"

ehe f i g u r a n e l l ' i n t e g r a l e 12 a s s u m e il va- lore limite-v*. ~-r p e r r = 0 . E s s a r i s u l t a f u n z i o n e c o n t i n u a di 0 e 0' in tale p u n t o . A l t r e t t a n t o n o n si pub dire dei suoi f a t t o r i ' ~ . - r / r e ~r.~-~r. Conside.

r a n d o v(0'),

r/r

q u a l e f u n z i o n e d e l l a sola 0, e s s a r i s u l t a g e n e r a l m e n t e d i s e o n - t i n u a p e r 0~---0'. I n f a t t i il v e t t o r e ~, ehe ~ d i r e t t o dal p u n t o O' al p u n t o O, e a m b i a verso in O ~ (¢ e la d e t t a f u n z i o n e s a l t a dal v a l o r e --v(O') al v a l o r e -{-v(O'). Oltre a tale d ! s e o n t i n u i t t t a l t r e possono p r e s e n t a r s i in t u t t i gli a l t r i v a l o r i di 0 p e r i q u a l i ~ r ~ O, c o n f o r m e m e n t e alle o s s e r v a z i o n i esposte a l l a f i n e del p a r a g r a f o p r e e e d e n t e .

Q u a n d o ~ v(O')--~--O a l l a f u n z i o n e " ~ 0 ' ) .

r / r

si attribuir/~ v a l o r e h u l l o a n c h e n e l ease r ~ O.

3. Cib p r e m e s s o si i n c o m i n e i con il t r a s f o r m a r e l ' i n t e g r a l e I2. A tale scope sin f(~) u n a f u n z i o n e d e f i n i t a n e l l ' i n t e r v a l l o 0 ~ ~ -< q- c~, ivi conti- n u a c o n la s u a d e r i v a t a . Sia i n o l t r e f(0)~--~-0 (~). Si r i e o r d i a n c o r a e h e ' - r i~ il s e g m e n t o o r i e n t a t e che va dal p u n t o (}' al p u n t o 0 di C e q u i n d i c h e

~ ~r v' ~ r ~r r v ~ r r . v '

(26)

v----v(O):~-O,

---- v(O') - - 30" ~ 0 - - r ' ~ 0 ' - - r

(ii) La eondizione f(O)= 0 rende possibili le integrazioni per parti ehe saranno eseguite in soguit% nonostante le discontinuitY, ri]evate al n. 2, che si presentano per ~'=0~ ciob per,~ ~= O. Per tale condizione le funzioni /(~)"~(0').r#', f(~}V(O).r-"/r, f(~)["~(O').'~] [v'~(O).'~-J/r~

sono in r=O continue e nctlle.

156 G. Z'IN: Sullo spettro della radiazione deIle cariche eIettriche e p e r la terza d e l l e (20)

(2 7) ~ ~ - - ton ~r

~i0 c ~0

tonr • v ~ ton r • v'

c r ~ 0 ' - - c r

Dopo di cib si c o n s i d e r i l ' i n t e g r a l e

(28) j = f v r" r V'r. r df(~)dE

tl

cos [~o(0 - - 0')] dO

il quale, p e r la p r i m a delle (!7), pub a n c h e e s s e r e cosl s c r i t t o :

c f v' • r ~f(~)

(29) J = ~-n r 30 cos [to(0 - - 0')] d0

tl

Da tale espressione, i n t e g r a n d o p e r p a r t i (si a s s u m a 2~ dO c o m e f a t t o r e dif- ferenziale)~ed o s s e r v a n d o che b

O [ v ' . r \ v . v ' 1 v . r v ' . r v . v ' ~on v . r v t . r

~-0 I T ) = r r r r r c~ r r

si o t t i e n e : (~)

(30) J = G t - - G 2 + G 3 q - - G ,

e s s e n d o s i posto :

C ["V' , r , 1 ~=t2

(31) G~ = ~ n [ ~ - f(~) cos [~o(0 - - 0]]0=t,

t~

j---~-

^{V * V '}

tz

cos [to(O - 0'] dO

( f (~) v • r v ' . r ~ ¢~,,, v' • r

G8

^{~ .} cos [to(0 - - 0')]d0, G, ~-~ - d//t~) - - ~ - sen [¢o(0-- 0')]d0 (32)

t" ~ ~ r r n t1

dove h e l l e f u n z i o n i i n t e g r a n d e di G2 e dinGs si porr~ 'L~-' ---- f'(0) q u a n d o 0.

L a (30) pub e s s e r e scritta, a n c h e n e l l a s e g u e n t e f o r m a :

(33) J - Gs ~ G 1 - G,-t- G4

G. ZIN: SulIo spettro della radiazione delle cariche elettriche 157 mentre dalla prima delle (32) e dalla (28) si ottiene:

c o s [+(0 - - 03] dO

Affinch6 la funzione integranda t h e c o m p a r e in tale integrale sia u g u a l e alla funzione i n t e g r a n d a t h e c o m p a r e nella (25) deve essere

df(~) f(~)

s e n ~ 3 c o s ~ 3 s e n

Dall'integrazione di tale equazione si ottiene (12):

(34) f ( ~ ) _ cos ~ sen

Si osservi t h e tale funzione, o r e si ponga f ( 0 ) = 0 , soddisfa alle condizioni richieste di continuiti~ e derivabilith in 0 ~ ~ ~ - { - o z . Con u n a tale scelta della f(~) vale allora la relazione:

ossia, per la (33),

t~

h = f ( J - - Ga)dO'

tl

L __

t~

. f ( G1 -- G2 -+. G,)dO'

tl

Da q u e s t a e dalla (23) si d e d u c e :

(35)

t~ t~ t~

L a c e r e a t a e s p r e s s i o n e di E(m)~ cosi ridotta alle espressioni dei quattro termini a secondo del membro delia (35). Si incominci con l ' e s a m i n a r e il secondo.

(is) L a c o s t a n t e a r b i t r a r i a v i e n e f a t t a u g u a l e a zero. U n a c o s t a n t e a r b i t r a r i a n o n n u l l a p o r t e r e b b e a f o r m u l e e q u i v a l e n t i a q u e l l a c h e v i e n e q u i stabilita~ m a pfft c o m p l i c a t e .

158 G. ZIN: SulIo spettro della radiazione deIle cariche eIettriche

D a l l a s e c o n d a delle (31), r i c o r r e n d o a l l ' e s p r e s s i o n e t r o v a t a di

A~),

si o t t i e n e :

t~

D a q u e s t a e d a l l a (24) si o t t i e n e :

(36)

t2 t~ t~ ~

f offv. ,

h + G flo' = ~ dO' r

tl tl tx

sen E con [ c o ( 0 - 0')]d0

R e s t a n o e r a da e s a m i n a r e il terzo ed i[ q u a r t o t e r m i n e a s e c o n d o m e m b r o d e l l a (35). A tale s c o p e si p o n g a :

sen

E

(3 7) g(E) - - E g(0) ^{- - - -} - - 1

L e (34) e (27) f o r n i s c o n o a l i o r a :

rig(E) ' r o ag(E)

f ( E ) - - dE f(E) v'r - - ~ n ~3'

P e r t a n t o d a l l a p r i m a dolle (31) si h a (~3):

t~ te ~

GldO' ~-- (E

tl $1

10=t~

I<0 - I d o ' =

t~

o i l v r

= - -_con f(E) ;

t 1

cos [e)(O - - O')] dO' ] °=t2 - c2 [

]0=h co2nz

t~

f

tl ^ag(E)

,]0=t2 cos [coCU -- 0 9 ] dO J[0=,1

Ove l ' u l t i m o i n t e g r a l e seritto p a r t i si o t t i e n e :

(37)

v e n g a t r a s f o r m a t o

t~

l;1

m e d i a n t e i n t e g r a z i o n e p e r

(i8) L ' i n v e r s i o n e d e H ' o r d i n e d e l l e o p e r a z i o n i t h e s e g u o n o ~ t e g i t t i m o in forz~a d e l l a re.

tazione f ( 0 ) = 0. Si v e d a la n o t a (t~).

G. ZIN:

SulIo spettro della radiazione delIe cariche eIettriche

¹⁵⁹

essendosi posto :

(38)

[[ 1

~, ---- - - ~ g(~) c o s [m(O - - O')]jo,=t ' ]o=*,

t~

tl

sen [to(O - - 0')] dO' 1 °=t~

"8~---tl

Nell'espressione di ~, si scambino fra loro i simboli 0 e 0', tenendo conto che g(~) ~ fun~ione simmetrica di 0 e 0'. Si ha cosi:

(39) N = ~n~-~

o2if

g(~)

tl

dO] O'--t*

s e n D ( 0 ' - - 0)] jo,=t~

Dalla seconda delle (32) si ha poi:

t~ t~ t2 ._~ ~ tz t2

f G.dO'= c f d O ' ^_

If(~) v ' ' r

sen[m(0--0')]a0m--

~ f - ~ f ~ ( ~ ,

Ctt~

tl tl tl tl tl

s e n N ( O - - ¢)]dO'

Trasformando l'ultimo integr~le mediante integrazioni per parti si ottiene:

(40)

essendosi posto:

(41)

t~

t2

~-n~ g(~)

tl

sen [m(O - - O')]/°'=t~ ] JO'=ll dO

t~ t~

6 2

tl tl

cos [m(0 - - 0')] dO'

Confrontando con la (39) si ha:

P e r questa, ottre ehe per le (37) e (40), Ia (35) diventa:

(42)

t2

I = 1-1

-[- f G2dO'-- ~ -- 2~2 -- ~,

tl

160 G. ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche

B a s t a o r a v a l u t a r e ~ e ~ . A t a l e s e o p o sia r~ la d i s t a n z a del p u n t o 0 d e l l a e u r v a C d a l p r i m o e s t r e m o d e l l a s t e s s a C, sia r2 la d i s t a n z a del p u n t o 0 dal s e c o n d o e s t r e m o e sia r~,2 la d i s t a n z a f r a i d u e e s t r e m i di C. D a l l e (39) e (37) si h a a l l o r a :

t2

tl

)]l °'=t~

s e n [~)(0' - 0 dO

~O'=tl

ossia

t2

c 3 f 1 ~onr2

!

- - s e n

(43) ~ 2 - - to~-n ~" r2 c

tl

sen [¢o(/2 - - 0)] dO +

t2

c ~ f 1 ~onr~

tl

sen [to(t1- 0)]d0

Si h a p o i :

[3~ = j n ~ s e n - - - cos [¢o(0 - - ~')] =

C j 0 ' = t ~ j 0 = t l

c 3 [ 1 ~nr~ t tonrl ]0=t~

- - ( , S n ~ s e n - - - C O S [ t ' ) ( O - t 2 ) ] - - - s e n - - cos [ t o ( O - tl)]

C r l 0 0~t~

0 r a p e r 0 = tl b rl = 0 ed r2 = r~,,; p e r 0 = t2 ~ r2 ~ 0 ed r~----rl,2. I n o l t r e

1 mnr~ ton

p e r r~ = 0 si h a s e n - - Cib in f o r z a d e l l a c o n v e n z i o n e f a t t a c o n

r i G C

la (37) s e e o n d o cui, p e r m o t i v i di c o n t i n u i t h , si /~ p o s t o g ( 0 ) - - - t . A n a l o g a - n l e n t e d i c a s i p e r il c a s e r~----0. Cib p r e m e s s o d a l l a p r e c e d e n t e si o t t i e n e :

= - s e n - - - - cos [o)(/1"-- t2)]

(44) ~1 ~ o - ~ r l , 2 {3

t~

Si s o s t i t u i s c a o r a n e l l a (42) al p o s t o di 11

+fG2dO'

l ' e s p r e s s i o n e f o r n i t a d a l l a

tl

(36) e si s o s f i t u i s e a n o al p o s t o di ~1, ~., ~4 le e s p r e s s i o n i f o r n i t e d a l l e (44), (43) e d a l l a s e c o n d a d e l l e (41) r i s p e t t i v a m e n t e . R i c o r d a n d o poi la (21) si or.

t i e n e in d e f i n i t i v a :

t~. t,,

(45) E(~o) ⁼ ¢°q~ ^. dO ^. ~ 0 ) ^. v (03 ^. 1 oos [,,(0 - - 03] r s e 1 2 - - - c -3 I-_

7 ~

t~ t~

G. ZIN: SuUo spettro della radiazione deIle cariche etettriche 161

t~ t~

- - - - s e n [~o(0 - - l~)] s e n nr~ dO + - - s e n [to(t~ - - 0)] s e n - dO +

7~e r x G 7 ~ . ] r2

t~ t~

+ 2q ~ 1 omr~2 2q~n

c o s [¢o(12- t~)] s e n

OSSE~VAZlO)I]~. - N e l l a (45), c o m e a p p a r e d a l l a s u a d e d u z i o n e , e v e n t u a l i e s p r e s s i o n i i n d e t e r m i n a t e v a n n o s o s t i t u i t e c o n i v a l o r i s u g g e r i t i d a l c r i t e r i o

1 ~onr ton

d e l l a c o n t i n u i t Y , c i o ~ si p o r r ~ : p e r r = 0, - s e n - - - - ; p e r r ~ 0 ,

r G c

1 ¢0 n r ~ ( o n ¢ovtrl, 2

s e n (i 1, 2); p e r r~,2 = O, 1 con

-- -- = - - - s e n ^{, __}

r i C C rx, 2 c G

Si e o n s i d e r i a p u r o s c o p o di v e r i f i c a u n a c a r i c a p u n t i f o r m e q i m m o b i l e i n t u t t o l ' i n t e r v a l l o - - ~ < t < + cx~. I n t a l c a s o l a c u r v a C si r i d u c e a d u n p u n t o e d ~ r = r l = r2 : r~,~---- 0. E f f e t t u a n d o n e l l a (45) le s o s t i t u z i o n i o r a m e n z i o n a t e e f a c e n d e v i v (0) --- v (0') = 0, si o t t i e n e :

E ( t o ) =

to. t~ t~

m~nq~o dO c o s [o)(O--O')]dO' + ~ e j

tl t~ t~

2(°nq z ( t~

+ - ~ e e - j s e n [~)(t2 _{- -} l~)] dO + 2nq2 c o s [ ( o ( t , - t ~ ) ] - - - 2q~n

tl

E s e g u e n d o il f a c i l e c a l c o l o si t r o v a E ( o ) ) = 0, i~ a c c o r d o c o n il f a t t o c h e u n a c a r i c a i m m o b i l e n o n i r r a d i a .

Si p u b p e r t a n t o e n u n c i a r e il s e g u e n t e t e o r e m a :

T]~OI~EMA 2. - Sotto le stesse ipolesi e con gli stessi simboli di cut al teorema l, sussiste pure la (45), dove rl dennta la d i s t a n z a del pu~to 0 della curva C dal p r i m o eslremo di questa, r2 la dista~za del pu~to 0 dal secondo eslremo ed rl,~ la distanza fra i due estremi di C.

Nella ( 4 5 ) e v e n t u a l i espressioni i~detern~inate yahoo sostit~iie con i va- lori suggeriti dal criterio della co~ti~uit&.

L a f o r m u l a ( 4 5 ) ~ s t a t a in M.C. c h i a m a t a di p r i m a s~ecie(t). E s s a v a a s s o c i a t a a l l a r a p p r e s e n t a z i o n e d e l c a m p o e l e l e t t r o m a g n e t i c o i n t e s o o r i g i n a t o d a u n a densiti~ di c a r i c a e d a u n a d e n s i t ~ di c o r r e n t e . I n v e c e l a (19) v a a s - s o c i a t a a l c a m p o e l e t t r o m a g ~ e t i c o ( o n c e l o i f o c o m e g e n e r a t o d a d i F o l i o s c i l - l a n t i e l e t t r i c i .

A n n a t i di M a t e m a t i c a 21

162 a . ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche

OSSERVAZIO~E. - I] teorema 2 avrebbe potuto essere stabilito pifi rapi.

damente, cio~ senza passare attraverso il t e o r e m a 1. Si s a r e b b e eio6 potuto stabilire p r i m a il t e o r e m a 2 e da questo, p e r c o r r e n d o it cammino inverso esposto al § 2, d e d u r r e il teorema 1.

§ 3. - Carica p u n t i f o r m e in m o t o periodieo.

1. Nel caso di una carica p u n t i f o r m e q iu moto periodico sussiste il se- guente t e o r e m a :

TEOREMA 3. - Una carica p u n t i f o r m e q sia in moto periodico con periodo T ( T > O) in u n dielettrico omogeneo, non dispersivo, riempiente tutto lo spazio.

L a posizione della carica sia u n a funzione continua del tempo insieme con le sue derivate p r i m a , seconda e terza. L a velocitd~ m a s s i m a della carica sia minore d i c _ . Allora !a potenza media Wk i r r a d i a t a dalla carica con pulsa-

n

27:k

zione o)k(o)k- T ' k ~ 1, 2, ...) ha l'espressione:

T T

(46) VVk - - ~-T-S dO ~ v(0) . ' - v ( 0 ' ) - 1 r-1 sen o)knr__c

o 0

cos [(ok(0 - - 0')] d¢~'

dove il significato dei simboli ~ aucora quello definilo al teorema 1.

P e r quanto r i g u a r d a la dimostrazione si osservi che i c a m p i - ~ ( P , t ) e

~ ( P , t ) nel caso del moto periodieo sono r a p p r e s e n t a b i l i in serie di F o u r i e r (rispetto al tempo) in ogni punto P non a p p a r t e n e n t e alla traiettoria. Le possibilith di u n a tale r a p p r e s e n t a z i o n e sono a m p i a m e n t e a s s i c u r a t e dalle condizioni a cui ~ assogettato il moto eleneate nel teorema. Si pub pertanto porre

~ ( P , t ) ~ E E~(P)d~k t ~(P,t)---- E Hh(P)ei~)k t essendo

O)tt - -

2=k T

T T

o o

L a potenza media W i r r a d i a t a dalla eariea b allora:

T

f

C dt • n d a

W ~ 4~:T

o S

G. ZIN: Sullo spettro della radiazione delle cariche elettriche t63 essendo S una superficie chiusa, rego]are, c o n t e n e n t e nel suo inferno la e u r v a percorsn dalla carica. P e r le proprieth dei campi e per la f o r m u l a di P a r s e v a l sussistono le seguenti trasformazioni:

T

=

,.~ o

f K +

J

Z (EhAH% q- E * / \ H ~ ) . - ~ d a

s

Ora il primo integrale p r e s e n t e nelFultimo m e m b r o ~ nutlo (eampi costanti rispetto al tempo non danno luogo a radiazione), come si potrebbe facilmente dimostrare (14). Nell'ultimo integrale seritto la continuiti~ dei campi e delle loro d e r i v a t e parziali eonsente, come s a r e b b e facile dimostrare, la permuta- bilit~ dei simboli / e Z. Si pub cosi s c r i v e r e :

essendosi posto (47)

o o

W - ~ z W~

f ,

P e r t a n t o Wh pub essere seelta quale potenza media irradiata dalla ca- rica sulla k - e s i m a a r m o n i c a E v i d e n t e m e n t e n e s s u n a ineertezza si p r e s e n t a nella f o r m u l a f o n d a m e n t a l e relativ~t alla potenza irradiata nel caso del re- gime periodico.

Il caleolo pub allora essere condotto a s s u m e n d o come base la (47) e ricalcando, se p u r con q u a l c h e lieve modifica, il p r o c e d i m e n t o seguito ai

§§ I e 2. T u t t a v i a la formula che nel caso del moto periodico corrisponde alia (19) ei s e m b r a poeo agevole ai fini pratici. Molto pifl comoda a tali fini risulta invece la f o r m u l a c o r r i s p o n d e n t e alla (45), perch~ nel caso del moto periodico i termini ehe nella (45) seguono l'integrale doppio non figurano.

Si arriva eosi al teorema sopra enunciato.

Ovvie modifiche alla dimostrazione consentono p u r e di estenderlo al caso di pih cariehe. Si ha cosi:

TEOR~MA 4. - I n u n dielettrico omogeneo, no~ dispersivo, riempiente tutto lo spa zio siano m cariche ql, q2, .... q,~ i n moto periodico, tulle con lo stesso periodo T. Le posizioni delle cariche siano f u n z i o n i continue del tempo in.

I ~4) P e r tal g e n e r e di d i m o s t r a z i o n e si v e d a l a P a r t e S e c o n d a ,