5. DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI

5. DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI 57

5. Derivate parziali e direzionali

Sia A ✓ R ² e sia f (x, y) funzione definita in A. Dato (x ₀ , y ₀ ) punto interno ad A, si dice che f (x, y) `e derivabile rispetto ad x in (x ₀ , y ₀ ) se esiste finito il limite

h lim !0

f (x ₀ + h, y ₀ ) f (x ₀ , y ₀ ) h

Tale valore verr` a detto derivata parziale rispetto ad x di f (x, y) in (x 0 , y 0 ) e verr` a denotato con ^@f _@x (x 0 , y 0 ) (notazioni frequentemente usate sono anche @ x f (x 0 , y 0 ) e f _x (x ₀ , y ₀ )).

Analogalmente si dice che f (x, y) `e derivabile rispetto ad y in (x ₀ , y ₀ ) se esiste finito il limite

h lim !0

f (x ₀ , y ₀ + h) f (x ₀ , y ₀ ) h

Tale valore verr` a detto derivata parziale rispetto ad y di f (x, y) in (x 0 , y 0 ) e verr` a denotato con ^@f _@y (x 0 , y 0 ) (o anche @ y f (x 0 , y 0 ) o f y (x 0 , y 0 )).

Diremo che f (x, y) `e derivabile parzialmente in (x <sub>0</sub> , y <sub>0</sub> ) se risulta derivabile par- zialmente rispetto a x e a y in (x 0 , y 0 ), in tale caso in vettore rf(x 0 , y 0 ) = ( <sup>@f</sup> <sub>@x</sub> (x 0 , y 0 ), <sup>@f</sup> <sub>@y</sub> (x 0 , y 0 )) verr` a detto gradiente di f (x, y) in (x 0 , y 0 ).

Dato un insieme aperto A ₀ ✓ A, diremo che f(x, y) `e derivabile parzialmente in A 0

se risulta derivabile parzialmente in ogni (x ₀ , y ₀ ) 2 A 0 . Diremo infine che f (x, y)

`e di classe C ¹ nell’aperto A ₀ ✓ A, e scriveremo f 2 C ¹ (A ₀ ), se risulta derivabile parzialmente in A ₀ e le derivate parziali ^@f _@x e ^@f _@y risultano continue in A ₀ .

Osserviamo che se f (x, y) risulta derivabile rispetto ad x in (x ₀ , y ₀ ), per defini- zione risulta

@f

@x (x ₀ , y ₀ ) = lim

h !0

f (x ₀ + h, y ₀ ) f (x ₀ , y ₀ ) h

dove abbiamo considerato il rapporto incrementale nella sola variabile x. In altre parole, considerata la funzione della sola variabile x, g(x) = f (x, y) | y=y

= f (x, y 0 ), abbiamo

@f

@x (x ₀ , y ₀ ) = lim

h !0

g(x ₀ + h) g(x ₀ )

h = g ⁰ (x ₀ )

Ricordando il significato geometrico della derivata di una funzione di una varia-

bile, potremo quindi dire che ^@f _@x (x ₀ , y ₀ ) = g ⁰ (x ₀ ) indica il coefficiente angolare

della retta tangente al grafico delle funzione g(x) = f (x, y) | y=y

nel punto x 0 .

Diremo allora che la retta

( z = f (x 0 , y 0 ) + ^@f _@x (x 0 , y 0 )(x x 0 ) y = y ₀

risulta tangente al grafico della funzione f (x, y) | y=y

nel punto (x ₀ , y ₀ ).

Analoghe considerazioni potremo fare per la derivata parziale rispetto ad y: se f (x, y) risulta derivabile rispetto ad y in (x 0 , y 0 ), allora ^@f _@y (x 0 , y 0 ) indica il coeffi- ciente angolare della retta tangente al grafico delle funzione f (x, y) | x=x

nel punto y ₀ e e la retta

( z = f (x ₀ , y ₀ ) + ^@f _@y (x ₀ , y ₀ )(y y ₀ ) x = x ₀

risulta tangente al grafico della funzione f (x, y) | x=x

nel punto (x ₀ , y ₀ ).

Le precedenti osservazioni ci permettono di ottenere delle regole per il calcolo delle derivate parziali. Infatti poich`e ^@f _@x (x 0 , y 0 ) = g ⁰ (x 0 ) essendo g(x) = f (x, y) | y=y

= f (x, y ₀ ), per calcolare ^@f _@x (x ₀ , y ₀ ) dovremo considerare la variabile y costante e derivare la funzione “della sola variabile x” f (x, y) | y=y

= f (x, y ₀ ) utilizzando le usuali regole di derivazione delle funzioni di una variabile.

Ad esempio,considerata la funzione f (x, y) = x ² + xy + y ² avremo

@f

@x (x, y) = 2x + y mentre per f (x, y) = xe ^x

^y si avr`a

@f

@x (x, y) = e ^x

^y + 2x ² ye ^x

^y .

Analogalmente, per calcolare ^@f _@y (x 0 , y 0 ) dovremo considerare la variabile x costan- te e derivare la funzione “della sola variabile y” f (x, y) | x=x

= f (x ₀ , y). Quindi se f (x, y) == xe ^x

^y si avr`a

@f

@y (x, y) = x ³ e ^x

^y .

Poich`e nella derivazione parziale si pensa alla funzione come ad una funzione di

una sola variabile reale, possiamo a↵ermare che valgono le regole di derivazione

di somma, prodotto e quoziente. Riguardo alla funzione composta G(x, y) =

5. DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI 59

g(f (x, y)) essendo f (x, y) derivabile in (x ₀ , y ₀ ) e g(z) derivabile in z ₀ = f (x ₀ , y ₀ ), si pu` o provare che G(x, y) risulta derivabile in (x ₀ , y ₀ ) con

@G

@x (x 0 , y 0 ) = g ⁰ (f (x 0 , y 0 )) @f

@x (x 0 , y 0 ) e @G

@y (x 0 , y 0 ) = g ⁰ (f (x 0 , y 0 )) @f

@y (x 0 , y 0 ) Per esercizio, calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni

• log ^x _y + 2xy ² ;

• ye ^x + sin(xy);

• arctan _x

^xy +y

.

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni non derivabili in ogni punto del loro dominio

• La funzione f(x, y) = ^p x ² + y ² non risulta derivabile nell’origine, infatti non esiste il limite

h lim !0

f (h, 0) f (0, 0)

h = lim

h !0

p h ² h = lim

h !0

|h|

h

e dunque non esiste @ _x f (0, 0). Allo stesso modo si ha che non esiste @ _y f (0, 0).

• La funzione f(x, y) = log(1 + |xy|) risulta derivabile in ogni punto (x, y) 2 R ² con xy 6= 0 con

@ _x f (x, y) = ±y

1 + |xy| e @ _y f (x, y) = ±x 1 + |xy|

per ±xy > 0, osserviamo che f(x, y) = f(y, x). Nei punti P (x, 0) risulta derivabile rispetto ad x essendo f (x, 0) = 0 per ogni x 2 R con @ x f (x, 0) = 0 mentre

@ _y f (x, 0) = lim

h !0

f (x, h) f (x, 0)

h = lim

h !0

log(1 + |hx|)

h = lim

h !0 |x| |h|

h =

( 0 se x = 0 6 9 se x 6= 0 Allo stesso modo nei punti P (0, y), risulta derivabile parzialmente rispetto a y ma non rispetto ad x se y 6= 0.

• La funzione f(x, y) = |2x y |e ^xy risulta derivabile in ogni punto (x, y) 2 R ² con y 6= 2x con

@ x f (x, y) = ±(2 + (2x y)y)e ^xy e @ y f (x, y) = ±( 1 + (2x y)x)e ^xy per ±(2x y) > 0. Nei punti P (x, 2x) non risulta derivabile per ogni x 2 R in quanto non esiste

@ _x f (x, 2x) = lim

h !0

f (x + h, 2x) f (x, 2x)

h = lim

h !0

|2h|e ^(x+h)2x

h = 2e ^2x

lim

h !0

|h|

h

Allo stesso modo si prova che non esiste @ _y f (x, 2x).

I precedenti esempi mostrano che, come nel caso di funzioni di una variabile rea- le, la continuit` a non implica derivabilit` a. Nel caso di funzioni di due variabili abbiamo per` o che la derivabilit` a parziale non implica la continuit` a. Ad esempio la funzione

f (x, y) = ( _xy

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

risulta derivabile parzialmente ma non risulta continua nell’origine. Infatti, la derivabilit` a parziale descrive il comportamento della funzione nelle sole direzio- ni determinate dagli assi e non il comportamento (globale) in tutto un intorno del punto, cosi’ come considerato nello studio della continuit` a. Possiamo per` o a↵ermare che se una funzione risulta derivabile parzialmente in un punto allora risulter` a ivi parzialmente continua.

Per esercizio, discutere la derivabilit` a e calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni

• f(x, y) =

( _xy

x

y

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

• f(x, y) =

( (x ² + y ² ) arctan _x

+y ¹

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

• f(x, y) =

( _8y

x

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

• f(x, y) =

( _2xy

y

x

+2y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

• f(x, y) = ^» |xy|,

• f(x, y) = ^» |x ² y ² |,

• f(x, y) = |x y ² |,

• f(x, y) = |y 2x | log(1 + x).

5. DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI 61

Nello studio della derivabilit` a parziale abbiamo considerato il comportamento della funzione lungo le rette parallele agli assi cartesiani passanti per il punto, ovvero nelle direzioni determinate dai versori i e j. Possiamo generalizzare tale studio andando a valutare il comportamento della funzione lungo una qualunque retta passante per il punto. Precisamente, considerata una funzione f (x, y) defi- nita in A ✓ R ² , sia (x ₀ , y ₀ ) un punto interno ad A. Fissato un generico versore

⌫ = (↵, ) 2 R ² , consideriamo il comportamento della funzione lungo la retta passante per (x 0 , y 0 ) determinata da ⌫:

r ⌫ :

( x = x 0 + ↵t y = y ₀ + t

e dunque studiamo la funzione f | r

(x, y) = f (x 0 + ↵t, y 0 + t). Si dice che f (x, y)

`e derivabile nel punto (x ₀ , y ₀ ) nella direzione ⌫ se esiste finito il limite

h lim !0

f (x 0 + ↵h, y 0 + h) f (x 0 , y 0 ) h

Tale valore verr` a detto derivata direzionale di f (x <sub>0</sub> , y <sub>0</sub> ) nel punto (x <sub>0</sub> , y <sub>0</sub> ) nella direzione ⌫ = (↵, ) e verr` a denotata con ^@f _@⌫ (x ₀ , y ₀ ) (o anche con @ _⌫ f (x ₀ , y ₀ )).

Osserviamo che dalla definizione data, se f (x, y) risulta derivabile parzialmente in (x ₀ , y ₀ ) allora

@f

@x (x ₀ , y ₀ ) ⌘ @f

@i (x ₀ , y ₀ ) e @f

@y (x ₀ , y ₀ ) ⌘ @f

@j (x ₀ , y ₀ ).

Osserviamo inoltre, che la derivata direzionale ^@f _@⌫ (x 0 , y 0 ) indica il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f (x, y) | r

ovvero al grafico di f (x, y) nel piano ↵(x x ₀ ) + (y y ₀ ) = 0 di R ³ . Vediamo qualche esempio.

Esempi

• f(x, y) = x + 3y ² nel punto P (1, 0) e nella direzione ⌫ = ( ^{p 1}

2 , ^{p 1}

2 ). Risulta

@f

@⌫ (1, 0) = lim

h !0

f (1 + p ¹ 2 h, p ¹

2 h) f (1, 0)

h = 1

p 2

• f(x, y) = ( _xy

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine ammette derivata solo nelle

direzioni determinate dagli assi.

• f(x, y) =

( (x y) log(x ² + y ² ) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) ammette derivata direziona- le nell’origine solo nelle direzioni ⌫ = (↵, ) con ↵ = e dunque nelle direzioni

⌫ _± = ( ± ^{p 1} ₂ , ± ^{p 1} ₂ ). In particolare la funzione non risulta derivabile parzialmente nell’origine.

• f(x, y) = ( _x

y

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine ammette derivata lungo tutte le direzioni con

@f

@⌫ (0, 0) =

( 0 se ↵ = 0

↵

se ↵ 6= 0

Osserviamo che la funzione considerata nel precedente esempio, pur non essendo continua nell’origine, ammette derivata lungo una qualunque direzione. Abbiamo quindi che la derivabilit` a rispetto a qualunque direzione (comportamento lungo una retta) non `e sufficiente a garantire la continuit` a (comportamento in tutto un intorno). Un concetto che studia il comportamento globale di una funzione `e quello di di↵erenziabilit` a.

6. Di↵erenziabilit` a

Sia f (x, y) una funzione definita in A ✓ R ² e sia (x ₀ , y ₀ ) un punto interno ad A. Si dice che f (x, y) `e di↵erenziabile nel punto (x ₀ , y ₀ ) se esistono due costanti

↵, 2 R tali che

(x,y) !(x lim

,y

)

f (x, y) f (x ₀ , y ₀ ) ↵(x x ₀ ) (y y ₀ )

» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² = 0 (6) L’applicazione lineare (h, k) 2 R ² 7! ↵h + k 2 R viene in tal caso detta di↵eren- ziale di f (x, y) in (x 0 , y ₀ ) e verr` a denotata con df (x ₀ , y ₀ ).

Osserviamo che la condizione (6) pu` o essere riscritta chiedendo che f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) + ↵(x x ₀ ) + (y y ₀ ) + r(x, y)

dove il resto r(x, y) `e trascurabile rispetto a ^» (x x 0 ) ² + (y y 0 ) ² per (x, y) ! (x ₀ , y ₀ ), ovvero risulta

(x,y)!(x lim

,y

)

r(x, y)

» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² = 0.

6. DIFFERENZIABILIT ` A 63

Scriveremo in tal caso che r(x, y) = o( ^» (x x 0 ) ² + (y y 0 ) ² ) per (x, y) ! (x ₀ , y ₀ ) e con tale notazione avremo che la condizione (6) risulta equivalente a

f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) + ↵(x x 0 ) + (y y 0 ) + o( ^» (x x 0 ) ² + (y y 0 ) ² ) (7) Tale condizione pu` o essere interpretata dicendo che se f (x, y) risulta di↵eren- ziabile in (x <sub>0</sub> , y <sub>0</sub> ), allora la funzione risulta approssimata dalla funzione lineare affine P (x, y) = f (x <sub>0</sub> , y <sub>0</sub> ) + ↵(x x <sub>0</sub> ) + (y y <sub>0</sub> ) a meno di un errore trascurabile rispetto a <sup>»</sup> (x x <sub>0</sub> ) <sup>2</sup> + (y y <sub>0</sub> ) <sup>2</sup> per (x, y) ! (x 0 , y <sub>0</sub> ). Osserviamo che il grafico di P (x, y) `e il piano

z = f (x ₀ , y ₀ ) + ↵(x x ₀ ) + (y y ₀ )

passante per (x ₀ , y ₀ , f (x ₀ , y ₀ )). Potremo dunque dire che se f (x, y) risulta di↵e- renziabile in (x 0 , y 0 ) allora il piano z = f (x 0 , y 0 ) + ↵(x x 0 ) + (y y 0 ) appros- sima il grafico di f (x, y) a meno di un errore trascurabile rispetto alla distanza

» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² per (x, y) ! (x 0 , y ₀ ).

La di↵erenziabilt` a implica la derivabilit` a parziale, vale difatti Teorema 2.5. (derivabilit` a delle funzioni differenziabili)

Se f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x 0 , y 0 ) con df (x 0 , y 0 )(h, k) = ↵h + k allora f (x, y) risulta derivabile parzialmente in (x ₀ , y ₀ ) con ^@f _@x (x ₀ , y ₀ ) = ↵ e ^@f _@y (x ₀ , y ₀ ) =

, ovvero risulta

df (x 0 , y 0 )(h, k) = @f

@x (x 0 , y 0 )h + @f

@y (x 0 , y 0 )k = rf(x 0 , y 0 ) · (h, k)

Dim. Poich`e f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ), per (x, y) ! (x 0 , y ₀ ) abbiamo

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) + ↵(x x ₀ ) + (y y ₀ ) + o( ^» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² ) da cui

f (x 0 + h, y 0 ) = f (x 0 , y 0 ) + ↵h + o( |h|) per h ! 0 e quindi

@f

@x (x ₀ , y ₀ ) = lim

h !0

f (x ₀ + h, y ₀ ) f (x ₀ , y ₀ )

h = lim

h !0

↵h + o( |h|)

h = ↵.

Analogalmente si prova che ^@f _@y (x 0 , y 0 ) = . ⇤

Dalla definizione di funzione di↵erenziabile e dal precedente risultato si ottiene allora che se f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) allora vale la Formula di Taylor del primo ordine centrata in (x 0 , y 0 )

f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) + ^@f _@x (x 0 , y 0 )(x x 0 ) + ^@f _@y (x 0 , y 0 )(y y 0 )+

+ o( ^» (x x 0 ) ² + (y y 0 ) ² ) (8)

= f (x ₀ , y ₀ ) + rf(x 0 , y ₀ ) · (x x ₀ , y y ₀ ) + o( ^» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² ) per (x, y) ! (x 0 , y ₀ ). Usando le notazioni vettoriali, posto v ₀ = (x ₀ , y ₀ ) e v = (x, y), potremo pi` u brevemente scrivere

f (v) = f (v ₀ ) + rf(v 0 ) · (v v ₀ ) + o( kv v ₀ k) per kv v ₀ k ! 0.

Abbiamo inoltre che se f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) allora il piano di equazione

z = f (x 0 , y 0 ) + ^@f _@x (x 0 , y 0 )(x x 0 ) + ^@f _@y (x 0 , y 0 )(y y 0 )

risulta essere l’unico piano passante per (x ₀ , y ₀ , f (x ₀ , y ₀ )) che approssima il grafico di f (x, y) a meno di un errore trascurabile rispetto a ^» (x x 0 ) ² + (y y 0 ) ² per (x, y) ! (x 0 , y ₀ ). Tale piano verr` a detto piano tangente al grafico di f (x, y) nel punto (x ₀ , y ₀ ). Osserviamo che il piano tangente risulta essere il piano contenente le due rette tangenti

( z = f (x ₀ , y ₀ ) + ^@f _@x (x ₀ , y ₀ )(x x ₀ )

y = y ₀ e

( z = f (x 0 , y 0 ) + ^@f _@y (x 0 , y 0 )(y y 0 ) x = x ₀

Da quanto provato condizione equivalente alla condizione di di↵erenziabilit` a `e data dal seguente risultato

Corollario 2.1. Una funzione f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ), punto interno al suo dominio, se e solo se risultano verificate le condizioni

(i) f (x, y) risulta derivabile parzialmente in (x ₀ , y ₀ );

(ii) vale la formula di Taylor (8), ovvero `e verificato il limite

(x,y)!(x lim

,y

)

f (x, y) f (x ₀ , y ₀ ) ^@f _@x (x ₀ , y ₀ )(x x ₀ ) ^@f _@y (x ₀ , y ₀ )(y y ₀ )

» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² = 0

6. DIFFERENZIABILIT ` A 65

Vediamo qualche esempio Esempi

• La funzione f(x, y) = x ² + y ² risulta di↵erenziabile in O(0, 0) infatti risulta derivabile parzialmente in O(0, 0) con ^@f _@x (0, 0) = ^@f _@x (0, 0) = 0 e

(x,y) lim !(0,0)

f (x, y) f (0, 0) ^@f _@x (0, 0)x ^@f _@y (0, 0)y

p x ² + y ² = lim

(x,y) !(0,0)

x ² + y ² p x ² + y ² = 0 Il piano tangente in O(0, 0) `e il piano z = 0.

• La funzione f(x, y) = log(1+xy) risulta di↵erenziabile in O(0, 0), infatti risulta derivabile parzialmente in O(0, 0) con ^@f _@x (0, 0) = ^@f _@x (0, 0) = 0 e

(x,y) lim !(0,0)

f (x, y) f (0, 0) ^@f _@x (0, 0)x ^@f _@y (0, 0)y

p x ² + y ² = lim

(x,y) !(0,0)

log(1 + xy) p x ² + y ² = 0 essendo

⇢ lim !0

log(1 + ⇢ ² cos ✓ sin ✓)

⇢ = lim

⇢ !0

⇢ cos ✓ sin ✓ = 0 8✓ 2 [0, 2⇡]

ed il limite uniforme rispetto a ✓ poich`e, per ogni ✓ 2 [0, 2⇡] risulta |⇢ cos ✓ sin ✓| 

⇢ ! 0 per ⇢ ! 0 ⁺ .

• La funzione f(x, y) = ^p x ² + y ² non risulta di↵erenziabile in O(0, 0) non essen- do derivabile in tale punto.

Abbiamo inoltre che la di↵erenziabilit` a implica la continuit` a

Teorema 2.6. Sia f (x, y) funzione definita in A ⇢ R ² e di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) punto interno di A. Allora f (x, y) risulta continua in (x 0 , y 0 ).

Dim. Osserviamo innanzitutto che essendo (x ₀ , y ₀ ) punto interno, avremo che risulta punto di accumulazione per A. Poich`e la funzione `e di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) vale la formula di Taylor (8) in (x ₀ , y ₀ ) e dunque

(x,y) !(x lim

,y

) f (x, y) = lim

(x,y) !(x

,y

) f (x ₀ , y ₀ ) + ^@f _@x (x ₀ , y ₀ )(x x ₀ ) + ^@f _@y (x ₀ , y ₀ )(y y ₀ ) + o( ^» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² ) = f (x ₀ , y ₀ )

essendo o( ^» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² ) ! 0 per (x, y) ! (x 0 , y ₀ ). Quindi f (x, y) ri-

sulta continua in (x 0 , y 0 ). ⇤

Vediamo qualche esempio.

Esempi

• La funzione f(x, y) = ( _xy

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) `e derivabile nell’origine con

@f

@x (0, 0) = ^@f _@x (0, 0) = 0 ma non risulta di↵erenziabile in tale punto non essendo continua in tale punto (per esercizio verificare che non verifica la condizione (ii) del Corollario 2.1)

• La funzione f(x, y) = ( _x

y

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) `e derivabile nell’origine lungo ogni direzione ⌫ 2 R ² ma non risulta di↵erenziabile in tale punto non essendo continua in tale punto.

• La funzione f(x, y) =

( _x

y

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) risulta continua e derivabile parzialmente nell’origine con @ _x f (0, 0) = 1 e @ _y f (0, 0) = 1 (provarlo) ma non risulta di↵erenziabile nell’origine.

La condizione di di↵erenziabilit` a implica non solo la continuit` a e la derivabilit` a parziale ma anche l’esistenza delle derivate lungo una qualunque direzione, vale difatti

Teorema 2.7. (del gradiente)

Sia f (x, y) funzione definita in A ✓ R ² e di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) interno ad A.

Allora per ogni versore ⌫ 2 R ² esiste ^@f _@⌫ (x 0 , y 0 ) e risulta

@f

@⌫ (x 0 , y 0 ) = rf(x 0 , y 0 ) · ⌫.

Dim. Poich`e f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ), per (x, y) ! (x 0 , y ₀ ) abbiamo

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) + rf(x 0 , y ₀ ) · (x x ₀ , y y ₀ ) + o( ^» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² ) da cui, preso ⌫ = (↵, ) 2 R ² con ↵ ² + ² = 1 risulta

f (x ₀ + ↵h, y ₀ + h) = f (x ₀ , y ₀ ) + rf(x 0 , y ₀ ) · (↵h, h) + o(|h|) per h ! 0

6. DIFFERENZIABILIT ` A 67

e quindi

@f

@⌫ (x ₀ , y ₀ ) = lim

h !0

f (x ₀ + ↵h, y ₀ + h) f (x ₀ , y ₀ ) h

= lim

h !0

rf(x 0 , y ₀ ) · (↵h, h) + o(|h|)

h = rf(x 0 , y ₀ ) · (↵, )

⇤ Il precedente risultato ci fornisce la seguente interpretazione del gradiente. Se f (x, y) risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) allora per ogni versore ⌫ 2 R ² abbiamo

@f

@⌫ (x 0 , y 0 ) = rf(x 0 , y 0 ) · ⌫ = krf(x 0 , y 0 ) k cos ✓

essendo ✓ l’angolo compreso tra i vettori ⌫ e rf(x 0 , y ₀ ). Si ottiene allora che

@f

@⌫ (x ₀ , y ₀ ) sar` a massima quando ✓ = 0 ovvero quando

⌫ = rf(x 0 , y ₀ ) krf(x 0 , y 0 ) k ed in tal caso si avr` a

@f

@⌫ (x ₀ , y ₀ ) = krf(x 0 , y ₀ ) k.

Ricordando il significato geometrico della derivata direzionale, possiamo quindi a↵ermare che se non nullo, il gradiente di una funzione di↵erenziabile indica il verso e la direzione di massima pendenza del grafico della funzione nel punto.

Ad esempio, la direzione di massima crescita della funzione f (x, y) = x ² + y ² in un generico punto (x ₀ , y ₀ ) sar` a quella radiale. Infatti, essendo rf(x 0 , y <sub>0</sub> ) = (2x 0 , 2y 0 ), la direzione di massima crescita nel punto (x 0 , y 0 ) sar` a data dal versore

⌫ = ( x ₀

» x ² ₀ + y ² ₀ , y ₀

» x ² ₀ + y ² ₀ )

Abbiamo visto che la condizione di derivabilit` a parziale e lungo una qualunque direzione non `e sufficiente a garantire la di↵erenziabilit` a, vale per` o il seguente risultato

Teorema 2.8. (del differenziale)

Sia f (x, y) derivabile parzialmente nell’aperto A ⇢ R ² con derivate parziali con-

tinue in (x 0 , y 0 ) 2 A. Allora f(x, y) risulta di↵erenziabile in (x 0 , y 0 ).

Dim. Essendo A aperto e (x ₀ , y ₀ ) 2 A, sia > 0 tale che I (x ₀ , y ₀ ) ⇢ A. Per provare che la funzione risulta di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ), proviamo che

(x,y) !(x lim

,y

)

f (x, y) f (x ₀ , y ₀ ) ^@f _@x (x ₀ , y ₀ )(x x ₀ ) ^@f _@y (x ₀ , y ₀ )(y y ₀ )

» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ² = 0 A tale scopo scriviamo

f (x, y) f (x 0 , y 0 ) = f (x, y) f (x 0 , y) + f (x 0 , y) f (x 0 , y 0 )

ed applichiamo il Teorema di Lagrange ai due incrementi f (x, y) f (x 0 , y) e f (x ₀ , y) f (x ₀ , y ₀ ). Osserviamo difatti che posto g(x) = f (x, y), risulta f (x, y) f (x 0 , y) = g(x) g(x 0 ) e che la funzione g(x) risulta derivabile in (x 0 , x 0 + ) con g ⁰ (x) = ^@f _@x (x, y). Per ogni x 2 (x 0 , x ₀ + ), potremo allora applicare il Teorema di Lagrange alla funzione g(x) nell’intervallo chiuso di estremi x ₀ e x, ottenendo che esiste ⇠ x compreso tra x 0 e x tale che

g(x) g(x ₀ ) = g ⁰ (⇠ _x )(x x ₀ ) ovvero tale che

f (x, y) f (x ₀ , y) = @f

@x (⇠ _x , y)(x x ₀ ).

Analogamente, applicando il Teorema di Lagrange alla funzione h(y) = f (x ₀ , y), otteniamo che per ogni y 2 (y 0 , y 0 + ) esiste ⌘ y compreso tra y 0 e y tale che

f (x ₀ , y) f (x ₀ , y ₀ ) = @f

@y (x ₀ , ⌘ _y )(y y ₀ ).

Per ogni (x, y) 2 I (x 0 , y ₀ ) risulta allora f (x, y) f (x ₀ , y ₀ ) = @f

@x (⇠ _x , y)(x x ₀ ) + @f

@y (x ₀ , ⌘ _y )(y y ₀ ) e dunque

f (x, y) f (x ₀ , y ₀ ) ^@f _@x (x ₀ , y ₀ )(x x ₀ ) ^@f _@y (x ₀ , y ₀ )(y y ₀ )

» (x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ²

 | ^@f _@x (⇠ _x , y) ^@f _@x (x ₀ , y ₀ ) | _» |x x ₀ |

(x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ²

+ | ^@f _@y (x ₀ , ⌘ _y ) ^@f _@y (x ₀ , y ₀ ) | _» |y y ₀ |

(x x ₀ ) ² + (y y ₀ ) ²

 | ^@f _@x (⇠ x , y) ^@f _@x (x 0 , y 0 ) | + | ^@f _@y (x 0 , ⌘ y ) ^@f _@y (x 0 , y 0 ) |

6. DIFFERENZIABILIT ` A 69

Osservato che se (x, y) ! (x 0 , y ₀ ) allora (⇠ _x , y) ! (x 0 , y ₀ ) e (x ₀ , ⌘ _y ) ! (x 0 , y ₀ ), essendo le derivate parziali continue in (x ₀ , y ₀ ), si ha

(x,y) !(x lim

,y

)

@f

@x (⇠ _x , y) ^@f _@x (x ₀ , y ₀ ) = lim

(x,y) !(x

,y

)

@f

@y (x ₀ , ⌘ _y ) ^@f _@y (x ₀ , y ₀ ) = 0 e dunque, dalla precedente stima e dal Teorema del confronto, segue la tesi. ⇤

Dal precedente risultato abbiamo quindi che se f (x, y) risulta di classe C ¹ nell’a- perto A allora f (x, y) risulta di↵erenziabile, e dunque continua, in A.

Ad esempio la funzione f (x, y) = log(1+xy) risulta di↵erenziabile nel suo dominio A = {(x, y) | xy > 1} essendo ^@f _@x (x, y) = _1+xy ^y e ^@f _@y (x, y) = _1+xy ^x continue in A.

L’equazione del piano tangente nel punto (1, 1) `e

z = f (1, 1) + ^@f _@x (1, 1)(x 1) + ^@f _@y (1, 1)y = log 2 + ¹ ₂ (x 1) + ¹ ₂ y

Osserviamo inoltre che la condizione di continuit` a delle derivate parziali nel punto (x <sub>0</sub> , y <sub>0</sub> ) non `e condizione necessaria alla di↵erenziabilit` a. Ad esempio la funzione

f (x, y) =

( (x ² + y ² ) sin _x

+y ¹

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

risulta di↵erenziabile in O(0, 0) ma le derivate parziali non sono continue in O(0, 0).

Per esercizio, discutere la continuit` a, la derivabilit` a parziale e lungo una generica direzione ⌫ 2 R ² e la di↵erenziabilit` a delle seguenti funzioni nei punti assegnati.

• f(x, y) = ( _{sin x}

y

se y 6= 0

0 se y = 0 nei punti P (x, 0), x 2 R,

• f(x, y) =

( _{x log(1+y}

₎

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine O(0, 0),

• f(x, y) = 8 <

:

p xe

se x > 0

0 se x  0 nei punti P (0, y), y 2 R

• f(x, y) =

( _2xy

y

x

+2y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine O(0, 0),

• f(x, y) =

(» |xy| log(x ² + y ² ) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine O(0, 0),

• f(x, y) = 8 <

:

e

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine O(0, 0),

• f(x, y) =

( sin ^|x| _y se y 6= 0

1 cos x se y = 0 nei punti P (x, 0), x 2 R

• f(x, y) =

( xe |

| se x 6= 0

y se x = 0 nei punti P (0, y), y 2 R

• f(x, y) =

( _{1 cos(xy)}

x

+y

x se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) nell’origine O(0, 0),

Abbiamo il seguente fondamentale risultato

Teorema 2.9. (di derivazione delle funzioni composte, primo)

Sia ' : I ⇢ R ! R ² funzione derivabile in t 0 2 I e sia f : A ⇢ R ² ! R funzione di↵erenziabile nel punto '(t ₀ ) interno ad A. Allora la funzione F (t) = f ('(t)) risulta derivabile in t 0 con

F ⁰ (t ₀ ) = rf('(t 0 )) · ' ⁰ (t ₀ ).

Dim. Posto '(t) = (x(t), y(t)), essendo f (x, y) di↵erenziabile in '(t 0 ) = (x 0 , y 0 ), per t ! t 0 risulta

F (t) F (t ₀ ) = f ('(t)) f ('(t ₀ ) = f (x(t), y(t)) f (x ₀ , y ₀ )

= rf(x 0 , y 0 ) · (x(t) x 0 , y(t) y 0 ) + o( ^» (x(t) x 0 ) ² + (y(t) y 0 ) ² ) e dunque

t lim !t

F (t) F (t ₀ ) t t ₀ = lim

t !t

f ('(t)) f ('(t ₀ ) t t ₀

= lim

t!t

rf(x 0 , y 0 ) · ( x(t) x ₀

t t ₀ , y(t) y ₀

t t ₀ ) + o( ^» (x(t) x ₀ ) ² + (y(t) y ₀ ) ² ) t t ₀

= rf(x 0 , y ₀ ) · (x ⁰ (t ₀ ), y ⁰ (t ₀ )) = rf('(t 0 ))) · ' ⁰ (t ₀ )

6. DIFFERENZIABILIT ` A 71

essendo

t!t lim

o( ^» (x(t) x ₀ ) ² + (y(t) y ₀ ) ² ) t t ₀

= lim

t !t

o( ^» (x(t) x 0 ) ² + (y(t) y 0 ) ² )

» (x(t) x ₀ ) ² + (y(t) y ₀ ) ² Ã Ç

x(t) x ₀ t t ₀

å ₂ +

Ç y(t) y ₀ t t ₀

å ₂

= ^» x ⁰ (t 0 ) ² + y ⁰ (t 0 ) ² lim

t !t

o( ^» (x(t) x ₀ ) ² + (y(t) y ₀ ) ² )

» (x(t) x 0 ) ² + (y(t) y 0 ) ² = 0

⇤ Come prima conseguenza osserviamo che, se non nullo, il gradiente di una fun- zione di↵erenziabile risulta ortogonale alle sue curve di livello. Infatti, se ' _↵ : [a, b] ! R ² `e curva di livello ↵ per f (x, y), per definizione risulta f (' ↵ (t)) = ↵ per ogni t 2 [a, b]. La funzione composta F (t) = f(' ↵ (t)) risulta dunque costan- te e se ' _↵ (t) risulta derivabile in (a, b) e f (x, y) di↵erenziabile in A, allora dal precedente risultato si ha

F ⁰ (t) = rf(' ↵ (t)) · ' ⁰ ↵ (t) = 0, 8t 2 (a, b),

e dunque che rf(' ↵ (t)) risulta ortogonale al vettore tangente ' ⁰ _↵ (t).

Ad esempio, le curve di livello ↵ della funzione f (x, y) = y ² x ² sono le iperboli y ² = ↵ + x ² , il gradiente rf(x 0 , y 0 ) = ( 2x 0 , 2y 0 ) risulta ortogonale all’iperbole passante per (x ₀ , y ₀ ).

Si pu` o inoltre provare

Corollario 2.2. (Teorema di Lagrange per funzioni di due variabili) Sia f (x, y) funzione di↵erenziabile in un aperto A, presi P, Q 2 A tali che il segmento P Q risulti interamente contenuto in A, esiste P ₀ 2 P Q tale che

f (P ) f (Q) = rf(P 0 ) · (P Q).

Dim. La curva '(t) = (1 t)P + tQ con t 2 [0, 1], avente per sostegno il segmento P Q con '(0) = P e '(1) = Q, risulta derivabile in (0, 1). Dal Teorema di derivazione delle funzione composta, si ha allora che F (t) = f ('(t)) risulta continua in [0, 1] e derivabile (0, 1) con F ⁰ (t) = rf('(t)) · ' ⁰ (t). Dal Teorema di Lagrange abbiamo allora che esiste t ₀ 2 (0, 1) tale che F (1) F (0) = F ⁰ (t ₀ ) e dunque, posto P ₀ = '(t ₀ ), osservato che ' ⁰ (t ₀ ) = P Q, risulta

f (P ) f (Q) = f ('(1)) f ('(0)) = rf('(t 0 )) · ' ⁰ (t 0 ) = rf(P 0 ) · (P Q)

⇤ Dal precedente risultato possiamo a↵ermare che se una funzione risulta avere gradiente nullo in un aperto A, allora la funzione risulta localmente costante in A. Avremo che la funzione risulter` a costante in tutto l’aperto A se questo risulta connesso. Vale infatti

Teorema 2.10. (sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso) Sia f (x, y) funzione derivabile parzialmente nell’aperto connesso A con rf(x, y) = 0 per ogni (x, y) 2 A. Allora f(x, y) risulta costante in A.

Dim. Abbiamo gi` a osservato che essendo A aperto connesso, A risulta connes- so per archi. Fissato P <sub>0</sub> 2 A, preso comunque P 2 A esiste allora una curva ' : [0, 1] ⇢ R ! R <sup>2</sup> tale che '(0) = P <sub>0</sub> e '(1) = P . Si pu` o inoltre provare che la curva ' potr` a essere scelta di classe C <sup>1</sup> a tratti (in e↵etti la curva potr` a essere scelta avere per sostegno una poligonale).

Per semplicit` a supponiamo che '(t) risulti derivabile in ogni t 2 (0, 1) (altrimenti potremo ragionare sugli intervalli aventi come estremi i punti di non derivabi- lit` a della curva). Considerata la funzione composta F (t) = f ('(t)), osservato che '(t) `e continua in [0, 1] e che essendo di classe C <sup>1</sup> , dal Teorema del di↵e- renziale, f (x, y) risulta di↵erenziabile in A e dunque continua in A, avremo che F (t) risulta continua in [0, 1]. Inoltre, essendo '(t) derivabile in (0, 1) e f (x, y) di↵erenziabile in A, dal Teorema di derivazione della funzione composta avremo che F (t) sar` a derivabile in ogni t 2 (0, 1) con F ⁰ (t) = rf('(t)) · ' ⁰ (t) = 0 per ogni t 2 (0, 1). Dal Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti di una variabile reale, otteniamo allora che F (t) risulta costante in [0, 1] e dunque che f (P ) = F (1) = F (0) = f (P ₀ ). Essendo P arbitrario in A, otteniamo la tesi. ⇤

Pu` o infine tornare utile il seguente risultato, che generalizza il primo Teorema di derivazione della funzione composta e che fornisce una regola per la derivazione della funzione f (x(u, v), y(u, v)).

Teorema 2.11. (di derivazione delle funzioni composte, secondo)

Siano x(u, v) e y(u, v) funzioni di↵erenziabili in (u ₀ , v ₀ ) punto interno al loro dominio e siano x ₀ = x(u ₀ , v ₀ ) e y ₀ = y(u ₀ , v ₀ ). Se f (x, y) `e di↵erenziabi- le in (x ₀ , y ₀ ), interno al suo dominio, allora la funzione composta F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) risulta derivabile parzialmente in (u 0 , v 0 ) con

@F

@u (u ₀ , v ₀ ) = @f

@x (x ₀ , y ₀ ) @x

@u (u ₀ , v ₀ ) + @f

@y (x ₀ , y ₀ ) @y

@u (u ₀ , v ₀ )

6. DIFFERENZIABILIT ` A 73

e @F

@v (u 0 , v 0 ) = @f

@x (x 0 , y 0 ) @x

@v (u 0 , v 0 ) + @f

@y (x 0 , y 0 ) @y

@v (u 0 , v 0 ) Denotata con : A ✓ R ² ! R ² l’applicazione definita da

(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

nelle ipotesi del precedente risultato, considerata la matrice Jacobiana dell’appli- cazione definita come

J (u ₀ , v ₀ ) = Ç _@x

@u (u ₀ , v ₀ ) ^@x _@v (u ₀ , v ₀ )

@y

@u (u ₀ , v ₀ ) ^@y _@v (u ₀ , v ₀ ) å

,

la funzione F (u, v) = f ( (u, v)) risulta derivabile in (u 0 , v 0 ) e le precedenti identit` a potranno riscriversi nella seguente forma matriciale

Å @F

@u (u ₀ , v ₀ ), @F

@v (u ₀ , v ₀ ) ã

= Å @f

@x ( (u ₀ , v ₀ )), @f

@y ( (u ₀ , v ₀ )) ã

· J (u 0 , v ₀ ) e, con abuso di notazione, potremo scrivere

rF (u 0 , v ₀ ) = rf( (u 0 , v ₀ )) · J (u 0 , v ₀ ).

Ad esempio, considerata l’applicazione che fornisce le coordinate polari rispetto all’origine

:

( x(⇢, ✓) = ⇢ cos ✓ y(⇢, ✓) = ⇢ sin ✓

ed una qualunque funzione f (x, y) di↵erenziabile in (x ₀ , y ₀ ) = (⇢ ₀ cos ✓ ₀ , ⇢ ₀ sin ✓ ₀ ), la funzione composta

F (⇢, ✓) = f ( (⇢, ✓)) = f (x(⇢, ✓), y(⇢, ✓)) = f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) risulta derivabile parzialmente in (⇢ ₀ , ✓ ₀ ) con

@F

@⇢ (⇢ ₀ , ✓ ₀ ) = @f

@x (x ₀ , y ₀ ) cos ✓ ₀ + @f

@y (x ₀ , y ₀ ) sin ✓ ₀

e @F

@✓ (⇢ 0 , ✓ 0 ) = @f

@x (x 0 , y 0 )⇢ 0 sin ✓ 0 + @f

@y (x 0 , y 0 )⇢ 0 cos ✓ 0

Osserviamo che la matrice Jacobiana dell’applicazione `e data da J (⇢, ✓) =

Ç cos ✓ ⇢ sin ✓ sin ✓ ⇢ cos ✓

å