TEORIA
CAPITOLO
10
1. Disuguaglianze e disequazioni
■ DISUGUAGLIANZE NUMERICHE
→
Esercizi a pagina 438Le disuguaglianze fra numeri possono essere espresse con uno di questi simboli:
1 # 2 $
minore minore o uguale maggiore maggiore o uguale
Come nelle uguaglianze, chiamiamo primo membro l’espressione a sinistra del sim‑
bolo di relazione, secondo membro quella a destra.
Due disuguaglianze hanno lo stesso verso se compare lo stesso simbolo, 2 o 1, altrimenti hanno verso contrario.
■ -52- 87 2 6 31 4 -12-9
stesso verso verso contrario
Proprietà delle disuguaglianze
1. Se ai due membri di una disuguaglianza som- miamo o sottraiamo uno stesso numero, otte‑
niamo una disuguaglianza con lo stesso verso:
a+c1b+ ;c se a1
a-c1b- .c
5 211 2
- + +
511 -
5 311 3
- - -
MATHS IN ENGLISH You can express strict inequalities between numbers with the symbols 1 and 2.
primo membro
5+317+8
secondo membro
PROPRIETË ESEMPIO
DISEQUAZIONI LINEARI
FARE SCELTE CONSAPEVOLI
Molti dei problemi che affrontiamo tutti i giorni possono avere più di una soluzione: qual è la più conveniente?
In alcuni casi, una disequazione ci può aiutare a fare la scelta migliore. Per esempio, se vogliamo decidere con quale mezzo andare a lavorare, la scelta più favorevole può dipendere dal numero di kilometri da percorrere.
▶ Arriviamo prima in bicicletta o con i mezzi pubblici?
→
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TEORIA
2. Se moltiplichiamo o dividiamo i due membri di una disuguaglianza per un numero:
• positivo, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso:
a c$ 1b c$ se a1b e c2
c a
c 1 b
• negativo, otteniamo una disuguaglianza con verso contrario:
a c$ 2b c$ se a1b e c1
c a
c 2 b
Questa proprietà non vale se si moltiplica o si divide per 0.
3. Data una disuguaglianza fra due numeri diversi da zero e concordi, la disuguaglianza fra i loro reciproci ha verso contrario:
a b a b
1 1
"
1 2 , se a e b concordi e a, b! .0
4. Se eleviamo a n, con n N! e n 0! , i due membri non negativi di una disuguaglian‑
za, otteniamo una disuguaglianza con lo stesso verso:
a1b"an1bn, con ,a b$ , n N0 ! e n 0! .
( )
( )
21 3" 2 41 3 4
+ + + +
( ) ( )
42 2" 4 32 2 3
+ + + +
■ DISEQUAZIONI →
Esercizi a pagina 439 Cerchiamo un numero che sommato a 2 dà un risultato minore di 10. Indichiamo con x il numero; deve essere verificata la relazione: x+2110, che esprime una disequazione.Il concetto di disequazione è quindi analogo a quello di equazione.
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale cerchia‑
mo quali valori, sostituiti a una o più lettere, rendono vera la disuguaglianza stessa.
Cerchiamo i valori di a tali che:
a 3- 215.
è una disequazione
PROPRIETË ESEMPIO
22 7
+ -
(+2) ( 3)
$
+ 2 (-7) ( 3)$
+5 2
5 2 7
+ +
+ -
42 1
+ +
(+4) (
$
-2)1 (+1) ($
-2)6 4
6 1 1
- -
+ +
3 4 3
1 4
" 1
1 2
5 4 51
4
" 1
1 2
- - - -
MATHS IN ENGLISH In an inequality letters can appear on both sides, and you can look for numbers that, substituted to the letters, make the inequality true.
PROVA SUBITO Vero o falso?
a. 6 7 61
71
"
2 1
- - - -
b. 2 9 21 91
"
2- 2-
c. 8 4 81 41
"
2 2
d. -22-3"(-2)22(-3)2 e. +122+6"(+12)52(+6)5 f. -313"(-3)32( )33
DEFINIZIONE ESEMPIO
1. Disuguaglianze e disequazioni
TEORIA
Chiamiamo:
•
soluzioni i valori che rendono vera la disuguaglianza;•
incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni.Come nelle equazioni, risolvere una disequazione significa trovare tutte le sue solu‑
zioni. Cerchiamo le soluzioni in un insieme che, se non diamo altre indicazioni, è R .
Rappresentazione delle soluzioni
Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione sono spesso necessari intervalli di numeri reali. Un intervallo può essere di due tipi:
•
illimitato se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (inter‑vallo illimitato inferiormente o a sinistra) o che lo seguono (intervallo illimitato superiormente o a destra);
•
limitato se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri.Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo sono detti estremi.
Rispetto a un estremo un intervallo può essere aperto, se non comprende l’estremo, o chiuso, se lo comprende.
Esaminiamo alcuni esempi, fornendo tre tipi di rappresentazione.
Con x indichiamo la variabile relativa ai valori dell’intervallo.
I simboli + e 33 - si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, rispettivamente.
Intervallo limitato, aperto a sinistra, chiuso a destra.
2 5
chiuso
aperto chiuso
x 21 #5
aperto
chiuso
]2; 5]
aperto
Intervallo illimitato, chiuso a sinistra. Ð7 x$-7 [- +7; 3[
Intervallo illimitato, aperto a destra. 3 x13 ]- ; 3[3
Diversi tipi di disequazioni
Una disequazione è:
•
intera se l’incognita non compare nei denominatori, altrimenti è fratta;•
numerica se non contiene altre lettere oltre all’incognita, altrimenti è letterale e, in questo caso, le altre lettere sono i parametri della disequazione.•
3x-115 è una disequazione numerica intera;•
5a+ x2 $ a+ , nell’incognita x, è una disequazione letterale intera con 11 parametro a;•
x7+1 # x- è una disequazione numerica fratta;51•
x1 2 , nell’incognita x, è una disequazione letterale fratta, con parametro b.bincognita
x
5 -327
4 è soluzione perché:
5$4-327.
1 non è soluzione perché:
5$1-317.
x1-5 intervallo illimitato
inferiormente x21 intervallo illimitato
superiormente x 81 110 intervallo limitato
PROVA SUBITO Fai un esempio di due intervalli illimitati superiormente, di due intervalli illimitati inferiormente e di un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra.
ESEMPIO
TEORIA
Una disequazione numerica intera nella forma ( )P x 2 o ( )0 P x 1 , dove P(x) è un 0 polinomio ridotto nell’incognita x, è detta in forma normale o canonica. In questo caso definiamo grado della disequazione il grado del polinomio P(x).
Una disequazione di primo grado è anche detta disequazione lineare.
■ PRINCIPI DI EQUIVALENZA →
Esercizi a pagina 440 Due disequazioni sono equivalentise hanno le stesse soluzioni.
sono equivalenti
x 3- 20 e 2x2
hanno entrambe come soluzioni x23. Per ottenere da una disequazione una disequazione equivalente, utilizziamo due princìpi di equivalenza, analoghi a quelli delle equazioni. Si ottengono tenendo con‑
to delle proprietà delle disuguaglianze numeriche.
Primo principio di equivalenza
Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione uno stesso nu‑
mero o una stessa espressione letterale, definita nel dominio della disequazione, otteniamo una disequazione equivalente.
x x x
7 -221 " 7 -2+221+2 " 7 23;
x x
x x x x x
4 12+ " 4 - 12+ - " 3 12.
Come abbiamo già osservato con le equazioni, se aggiungiamo o sottraiamo un’e‑
spressione letterale non sempre definita, potremmo non ottenere una disequazione equivalente.
■ 2x+12x non è equivalente a x2 + -1 x1 2x- , definita se x 0x1 ! ; la disequazione di partenza è verificata se x= , la seconda disequazione no.0 Dal primo principio si deduce che:
•
un termine può essere trasportato da un membro all’altro cambiandogli il segno;•
un termine può essere cancellato se presente in entrambi i membri.■ x22 x2+ -1 x " 021-x " x21
cancellazione trasporto
Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero o una stessa espressione letterale diversi da 0, otteniamo una disequazione equivalente:
•
mantenendo lo stesso verso, se il numero (o l’espressione) per cui moltiplichiamo è positivo;•
cambiando verso, se il numero (o l’espressione) è negativo.DEFINIZIONE ESEMPIO
PRINCIPIO
ESEMPIO PROVA SUBITO
Trasforma in forma normale le seguenti disequazioni e determina il loro grado.
a. x-623 9- ; b. x3-8#(x-2)3; c. x2 2-x2x- + .x2 5
PRINCIPIO
TEORIA
2. Disequazioni intere di primo grado
dividiamo per 5 e manteniamo lo stesso verso dividiamo per - 4 e cambiamo verso
x x
5 21 " 2 51; -4(x+1)28 " x+11- .2
Dal secondo principio si deduce che:
se si cambia il segno di tutti i termini, si deve cambiare il verso della disequazione.
■ - +x 215 " x-22-5
moltiplichiamo per -1
Moltiplicare o dividere per un’espressione letterale contenente l’incognita porta a una disequazione equivalente a quella di partenza soltanto se tale espressione non è mai nulla, quindi è sempre positiva o sempre negativa, ed è definita nel dominio della disequazione.
■ (1+x2) (x-1)$(1+x2) (2x+ è equivalente a (3) x-1)$(2x+ perché 3) x
1+ 220 per ogni x! .R
( ) ( )
x x-1 $x x2 + non è equivalente a (3 x-1)$(2x+ perché x può 3) assumere valori sia positivi sia negativi e in particolare il valore 0.
Se si moltiplica o si divide per un’espressione letterale contenente un parametro, occorre porre la condizione che l’espressione non si annulli e distinguere se assume segno positivo o negativo.
se a : a
a x a x a
0 2 " 2
2 2 2
■ ax22,cona!0
se a : a a x
a x a
0 2 " 2
1 1 1
2. Disequazioni intere
di primo grado →
Esercizi a pagina 441 Per risolvere una disequazione di primo grado numerica intera, utilizziamo i prin‑cìpi di equivalenza fino a giungere a una delle forme seguenti:
ax1 , ax bb # , ax2 , ax bb $ .
Per l’insieme delle soluzioni distinguiamo tre casi: la disequazione può essere deter- minata, impossibile, sempre verificata. Vediamo alcuni esempi.
▶ Risolviamo le disequazioni: a.x-623x; b. (2 x+ -3) 3x11- ; c.x (x+1)2-2x2x2-6.
a. x x x x 2x 6 x
x
6 3 3 6 2
2
2
6 3
" " " "
2 2 - 2 1 1
- - --
- -
portiamo i termini in x al primo membro,
quelli senza x al secondo dividiamo entrambi i membri per - 2:
il verso cambia
L’insieme delle soluzioni è l’intervallo illimitato x1- e la disequazione è determinata.3
ESEMPIO
PROVA SUBITO Indica i princìpi di equivalenza applicati in ogni passaggio.
a. -5x+3 13$ "-5x$10; b. -3x19"x2- ;3 c. x4 +418"x+112.
PROVA SUBITO Risolvi le seguenti disequazioni. Per ogni passaggio, indica quale principio di equivalenza è stato applicato.
a. x-126; b. x+3 2 3$ - ;x c. 3x 25 x
23 6 1
- + + .
ESEMPIO
PROVA SUBITO Le seguenti disequazioni sono impossibili o sempre verificate?
0x2 ; x2 0 1 ;7
x- -x 22- ; x5 -21x+ .3
TEORIA
b. 2(x+ -3) 3x11-x " 2x+ -6 3x11-x " 2x-3x+x11-6 " 0x1-5 Un qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0, che non è minore di 5- .
L’insieme delle soluzioni è vuoto e la disequazione è impossibile.
c. (x+1)2-2x2x2-6 " x2+2x+ -1 2x2x2-6 " 0x2- -6 1 " 0x2-7 Un numero qualsiasi moltiplicato per 0 dà 0, che è maggiore di 7- .
L’insieme delle soluzioni è R e la disequazione è sempre verificata.
Le disequazioni sono utili anche per prendere decisioni nella vita quotidiana.
Tutte le mattine Jacopo, per andare da casa all’ufficio, può scegliere fra bicicletta (velocità media vB= 15 km/h) o pullman (velocità media vP = 30 km/h). L’attesa media alla fermata del pullman è di 5 minuti.
▶ Con quale mezzo Jacopo arriva prima al lavoro, in funzione della distanza tra casa e ufficio?
Indichiamo con x la distanza casa‑ufficio, espressa in kilometri (quindi x è positivo).
Trasformiamo le velocità in km/min:
min ,
v 15 h 6015 0 25
km km km/min
B= = = , v 30 h 6030min 0 5,
km km km/min
P= = = .
Poiché la durata del viaggio è data dal rapporto velocità media distanza percorsa
, i tempi tB e tP (in minuti) impiegati per andare da casa all’ufficio, rispettivamente in bicicletta e pullman, sono espressi dalle seguenti relazioni:
tB= 0 25,x "tB=4x, tP= +5 0 5x, "tP= + .5 2x
Per capire quale mezzo risulta più rapido, dobbiamo impostare la disequazione:
,
x x x x x x x
tB#tP"4 #5+2 "4 -2 #5"2 #5" # 25 " #2 5.
A Jacopo conviene scegliere la bicicletta se la distanza casa‑ufficio è minore di 2,5 km. Se la distanza casa‑uffi‑
cio è maggiore di 2,5 km, conviene scegliere il pullman. Se la distanza è uguale a 2,5 km, la scelta è indifferente.
3. Sistemi di disequazioni
→
Esercizi a pagina 450Date più disequazioni, possiamo chiederci se hanno in comune delle soluzioni.
Consideriamo, per esempio, le disequazioni:
x-113, x
3 +15$0, x
4 # .28
Il numero 2 è soluzione di tutte e tre le disequazioni? E il numero 6?
Per rispondere, possiamo sostituire 2 e 6 al posto di x nelle tre disequazioni e vedere che 2 è soluzione di tutte le disequazioni, mentre 6 non lo è (non è soluzione della prima).
Tuttavia un modo più rapido di procedere è quello di risolvere il sistema formato dalle tre disequazioni
INTORNO A NOI
VIDEO Sistemi di disequazioni Risolvi il sistema.
x x
x x
2 3
4 2 6
3 1 0
1 1
$ + -
* +
TEORIA
4. Equazioni con valori assoluti
Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, nella stessa incognita, per le quali cer‑
chiamo tutte le soluzioni comuni.
Risolviamo il sistema di disequazioni dell’esempio precedente:
x x x
1 3
3 15 0
4 28
1
$
# -
*
+ .•
Risolviamo ognuna delle disequazioni:x-113"x14; 3x+15$0"x$- ; 5 4x#28"x# .7
•
Costruiamo uno schema grafico con gli intervalli S1, S2 e S3 che rap‑presentano gli insiemi delle soluzioni.
S1
S2
S3
–5
–5 x < 4
4 7
•
Determiniamo l’intersezione dei tre insiemi di soluzioni, colorando la zona del grafico in cui abbiamo soluzioni comuni alle tre dise‑quazioni.
Le soluzioni del sistema sono -5#x14.
Di solito un sistema di disequazioni ammette infinite soluzioni, comprese in un intervallo limitato o illimitato. Un sistema può non avere soluzioni, e in questo caso diciamo che il sistema è impossibile.
4. Equazioni con valori
assoluti →
Esercizi a pagina 454 Le disequazioni sono utili anche per risolvere equazioni che contengono espressioni in valore assoluto.Ricordiamo che il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il nu‑
mero è positivo o nullo, è l’opposto del numero, se questo è negativo.
Deduciamo dalla definizione che il valore assoluto di un numero è sempre positivo o nullo.
Se al posto della variabile x consideriamo un’espressione f(x), abbiamo:
f(x) se ( )f x $ ,0 f x =( )
f x( )
- se ( )f x 1 .0
Chiamiamo argomento la funzione f(x) di cui calcoliamo il valore assoluto.
x2 + 3 se x2 +3$0"x$- ,23
■ Se ( )f x =2x+ , ( )3 f x = 2x+ =3
(- 2x+ se3) 2x 3 0 x 2.
" 3
1 1
+ -
Sono utili le seguenti proprietà.
1. f x( ) =0)f x( )= ;0 2. f x( ) $06x! ;R
DEFINIZIONE
ESEMPIO
PROVA SUBITO Risolvi il seguente sistema di disequazioni.
x x x
3 4
3 2 3
2 0
2
1
#
- -
+
* -
[0#x12]
x se x 0$ x =
x
- se x10
PROVA SUBITO Risolvi:
a. 2x-1 = ;3 b. 4x+6 =- ;1 c. x-5 = .0
PROPRIETË
3. f x( ) = -f x( );
4. f x = , con ( ) k20" f x( )=k0 f x( )=- .k
TEORIA
Vediamo con un esempio come possiamo risolvere un’equazione che contiene una espressione in valore assoluto.
▶ Risolviamo l’equazione 2x- =9 x+ .3
x + 3
|x + 3|
+
– 0
x + 3 –(x + 3)
–3
Studiamo il segno dell’argomento x+ . Otteniamo: x3 +320"x2- .3 Compiliamo uno schema grafico: il valore assoluto coincide con x+ quando 3
x+ è positivo o nullo; è l’opposto di x 33 + , e cioè x 3- +^ h, quando x+ è 3 negativo.
Le soluzioni dell’equazione sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi.
3
( )
x
x x
21 9 3 0
- = -
) - + x 3
x x
2 9 3
$ - =
- ) + x
x
x x 3
3 6
3
" 2
1- 1
=
-
) ) = x
x 3 12
$- ) =
soluzione non accettabile: soluzione accettabile: 12$- .3 2 non è minore di 3- ;
L’equazione ha soluzione x= .12
5. Disequazioni con valori
assoluti →
Esercizi a pagina 456 Per risolvere disequazioni con valori assoluti procediamo come per le equazioni.Sono utili le seguenti proprietà del valore assoluto.
Se k2 :0
1. f x( ) 1k)-k1f x( )1k; 2. f x( ) 2k)f x( )1-k f x0 ( )2k.
Utilizziamo le due proprietà per risolvere disequazioni in cui l’incognita compare solo all’interno del valore assoluto.
■ La disequazione x-13 110 si risolve con la proprietà 1:
x x
101 13110 " 10 131 13 13110 13 "
- - - + - + +
x 31 1 .23
■ Per risolvere x3 +1 $5 dobbiamo unire le soluzioni delle due disequazioni:
x x
3 1 5 3
" 4 0
$ $
+ 3x+1#-5 " x#- .2
Le soluzioni della disequazione iniziale sono: x#-20x$ 34.
ESEMPIO
PROVA SUBITO Risolvi la seguente equazione:
x+2 =2x+ . 1 [1 ]
PROPRIETË
PROVA SUBITO Risolvi le seguenti disequazioni.
x 1 ; x8 $ ; x8 # ;0 x 2 ; x0 #- ; x3 2- .3
TEORIA
6. Segno di un prodotto
▶ Risolviamo la disequazione 3x-6 2x 4+ .
Studiamo il segno dell’argomento x3 - . Otteniamo: x6 3 -620"x22. Compiliamo uno schema grafico: il valore assoluto coincide con 3x - 6 quando 3x - 6 è positivo o nullo; è l’opposto quando 3x - 6 è negativo.
Le soluzioni della disequazione sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi.
( )
x
x x 4
2
3 6 2
1
+
- -
) 0 x
x x 4 2
3 62
$
+ ) -
x x
x x 2
4 2
2 2
" 1 1
2
1
- - 1
)
*
)x2x$2210 " )xx2$2512–
2 x <
12 x < –
x < –12
2 2 5
2 x
5 x >
x > 5
Uniamo i due intervalli delle soluzioni. La disequazione iniziale ha per soluzioni: x1 21 0x2 .5
6. Segno di un prodotto
→
Esercizi a pagina 457Vogliamo studiare il segno di un prodotto di due polinomi di primo grado del tipo ( )A x B x$ ( ). Ci chiediamo, cioè, per quali valori di x il prodotto sia positivo e per quali negativo. Per rispondere, dobbiamo studiare il segno di ogni fattore e dedurre il segno del prodotto con la regola dei segni.
▶ Studiamo il segno di (x-1) (x+ .3)
Studiamo il segno dei due fattori separatamente:
x-120 " x21; x+320 " x2- .3
Costruiamo il quadro dei segni per ricavare il segno del prodotto con la regola dei segni.
Quando uno dei fattori si annulla, anche il prodotto si annulla.
Il prodotto è:
x – 1
x + 3 0
(x – 1)(x + 3) 0 0
–3 1
+ – –
+ + –
+ – +
0
•
positivo per x1-30x21;•
negativo per -31 1x 1;•
nullo per x=-30x= .1Il quadro dei segni permette di studiare il segno di un prodotto anche di tre o più fattori. Con lo studio del segno di un prodotto si risolvono disequazioni come
( ) ( )
A x B x$ 2 o 0 A x B x( )$ ( )1 .0
ESEMPIO
3x – 6
|3x – 6|
+
– 0
3x – 6 –(3x – 6)
2
VIDEO
Disequazioni con valore assoluto
Trova le soluzioni della disequazione:
x x
2 -4 1 + .1
ESEMPIO
TEORIA
▶ Risolviamo la disequazione (x-4 2) ( x+1)#0.
•
Studiamo il segno dei fattori ponendoli positivi (indipendentemente dal sim‑bolo # della disequazione):
x-420 " x24;
x x
2 +120 " 2- .21
•
Compiliamo il quadro dei segni e cerchiamo gli intervalli in cui il prodotto è negativo o nullo. Le soluzioni sono: 2 x1 # #4
- .
7. Disequazioni fratte
→
Esercizi a pagina 459Una disequazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore.
Per risolverla, dobbiamo trasformarla, con i princìpi di equivalenza, in una delle seguenti forme, dette forme normali:
( ) ( ) D x
N x 2 , 0 ( ) ( ) D x
N x $ , 0 ( ) ( ) D x
N x 1 , 0 ( ) ( ) D x N x # ,0
con ( )N x e ( )D x funzioni dell’incognita x. Ci occuperemo solo del caso in cui N(x) e D(x) sono polinomi (disequazione razionale fratta).
Per risolvere una disequazione in forma normale, dobbiamo studiare il segno di numeratore e denominatore e utilizzare il quadro dei segni.
▶ Risolviamo la disequazione x x
3 2
5-+7 10.
•
Dobbiamo studiare separatamente il segno di N e quello di D.•
Poniamo sempre N2 e D0 2 , indipendentemente dal simbolo , , ,0 2 $ 1 # che compare nella disequazione di partenza.N20 " 5x+720 " x2- ;75 D20 " 3-2x20 " x1 23.
– + +
– +
+
– +
–
75
–– 3
2–
0
0 0
N D ND
–– E
•
Compiliamo il quadro dei segni, aggiungendo la riga DN, ottenuta con la regola dei segni. Quando N si annulla, anche DN
si annulla; quan‑
do si annulla D, N
D non esiste e lo indichiamo con b.
ESEMPIO
x – 4
2x + 1 0
(x – 4)(2x + 1) 0 0
4
+ –
–
+ +
–
+ –
+
0 12
–— PROVA SUBITO
A volte, per risolvere disequazioni del tipo
( )x B x( ) A $ 2 o 0
( )x B x( )
A $ 1 , non è 0 necessario compilare lo schema.
Per esempio, risolvi le seguenti disequazioni.
a. -x x( 2+1)20 b. x x2( -5)20 c. x x2( +2)(x2+4)10
PROVA SUBITO Utilizzando lo studio del segno di un prodotto, risolvi la disequazione:
(5+x 1)( 2 2- x)10.
VIDEO
Sistema di disequazioni vs disequazione fratta Spiega le differenze nella risoluzione del sistema di disequazioni e nella disequazione fratta seguenti.
x x
5 0
2 0
2 2 - ( +
x x 5
2 20 -+
PROVA SUBITO Indica le differenze e le analogie nella risoluzione delle disequazioni:
(x-3)(x+5)20; x
x+-53 20.
Che cosa cambia con $?
ESEMPIO
8. Disequazioni letterali
TEORIA
La disequazione è verificata quando DN 1 , quindi scegliamo come intervalli 0 delle soluzioni quelli del quadro in cui il segno è -:
.
x 75 x
2 0 3
1- 2
In fisica le disuguaglianze hanno spesso un ruolo più importante delle uguaglianze.
Infatti, le caratteristiche di un sistema fisico rimangono in genere immutate per diversi valori delle grandezze fisiche coinvolte, che soddisfino una stessa relazione.
Vediamo un esempio.
Disuguaglianze in fisica
Ricordiamo la legge di Archimede:
un corpo immerso in un fluido galleggia se la sua densità è minore della densità del fluido.
Un pontile galleggiante poggia su blocchi costituiti da una strut‑
tura di calcestruzzo che contiene al suo interno polistirolo espan‑
so. Un blocco galleggia parzialmente immerso nell’acqua se dblocco1dacqua ,
dove dblocco è la densità media del blocco.
Maggiore è la quantità di polistirolo rispetto al calcestruzzo, minore risulta la densità media.
Poiché la densità si calcola facendo il rapporto tra massa e volume, otteniamo:
m
Vblocco d
blocco 1 acqua .
▶ Un blocco ha una massa di 960 kg e la densità dell’acqua di mare è 1030 kg/m3. Calcola il volume mi- nimo che deve avere il blocco per galleggiare.
8. Disequazioni letterali
→
Esercizi a pagina 465Come per le equazioni, una disequazione è letterale se oltre all’incognita contiene altre lettere dette parametri.
Limitiamo il loro studio alle disequazioni letterali intere di primo grado.
Per risolverle, dobbiamo trasformarle in una delle forme normali:
Ax2 ; Ax BB $ ; Ax1 ; Ax BB # .
Con A e B indichiamo delle espressioni che non contengono l’incognita, ma possono contenere altre lettere.
Giunti a una di queste forme, studiamo il segno del coefficiente A di x, considerando separatamente i casi: A2 ; A0 1 ; A 00 = .
Questo studio va fatto perché, se in una disequazione si dividono entrambi i membri per un numero negativo, è necessario cambiare il verso della disequazione.
IDEE PER LE COMPETENZE
TEORIA
▶ Risolviamo la disequazione (a x+1)23x+ nell’incognita x. 2
•
Svolgiamo i calcoli e giungiamo alla forma normale:( ) (a ) a
a x+1 23x+2 " ax+a23x+2 " ax-3x22-a " -3 x22- .
A B
•
Distinguiamo tre casi.A20
Se a-320, cioè a2 :3
x a
a 3 2 -2- .
A10
Se a-310, cioè a1 :3
x a
a 3 1 2-- .
A=0
Se a- = , cioè a 33 0 = :
x x
0$ 22-3 " 0$ 2- .1 La disequazione è sempre veri‑
ficata.
cambiamo verso perché dividiamo per il numero negativo a - 3 ESEMPIO
ESPLORA CON GEOGEBRA
Soluzioni di una disequazione lineare intera
Studiamo in modo grafico le soluzioni della disequazione x-522x- e poi verifichiamo in modo alge‑3 brico il risultato ottenuto.
1. Disegniamo il grafico delle funzioni associate ai due membri della disequazione x-522x- .3
•
Digitiamo nella barra di inserimento i due membri della disequazione. Si tratta di due funzioni lineari di equazioniY = X – 5 e Y = 2X – 3.
•
Generiamo il grafico, scegliendo di colorare in rosso la retta di equazione y=2x- e in verde la 3 retta di equazione y= - .x 52. Interpretiamo graficamente la soluzione della disequazione.
•
Determiniamo le coordinate del punto di INTERSEZIONE tra le due rette: (A - - .2; 7)•
La soluzione della disequazione corrisponde ai valori di x per cui il tratto verde è «al di sopra» del tratto rosso.•
Dal grafico deduciamo allora che la disequazione è verifi‑cata per x1 - , cioè per quei valori di x minori dell’ascis‑2 sa del punto di intersezione A.
•
Nella barra di inserimento digitiamo la soluzione X < – 2.Sul piano cartesiano la parte di piano contenente le ascisse minori di 2- si colora di azzurro.
3. Verifichiamo la correttezza della soluzione.
•
Scriviamo nella barra di inserimento la disequazione X – 5 > 2X – 3e calcoliamo la soluzione della disequazione. Otteniamo lo stesso risultato trovato per via grafica.
y
–2 –3 –4 –1
–5 –6 –7 –8 –9 –10 –11
Teoria in sintesi
TEORIA
Teoria in sintesi
■
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si cercano, se esistono, valori che, sostituiti a una o più lettere, rendono vera la disuguaglianza.Chiamiamo soluzioni tali valori e incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni.
■ Le soluzioni della disequazione 6-x$0 sono:
x# .6
■
Due disequazioni che hanno lo stesso insieme di soluzioni sono equivalenti. Come per le equazioni, per otte‑nere da una disequazione una disequazione equivalente, utilizziamo due princìpi di equivalenza.
Applicando il secondo principio, se si moltiplicano o si dividono i membri per un numero negativo, si deve cambiare il verso della disequazione.
■ 2x 4 22x x
2
4 2
" "
2 1 1
- - - -
- - .
■
Per risolvere una disequazione numerica intera, utilizziamo i princìpi di equivalenza trasformandola in una delle forme ax1 , ax bb # , ax2 o ax bb $ e dividendo per a quando a 0! .■ 2x218 " x2 ; x9 -32x " 0x23; x2x-1 " 0x2- .1
determinata impossibile sempre
verificata
■
Per risolvere un sistema di disequazioni, rappresentiamo le soluzioni di ogni disequazione su rette orizzontali e cerchiamo, se esiste, un intervallo comune a tutte le soluzioni.■ x
x
x
x x
2 1 5
1 0
2
1 " 1 2
"
1 1
$ $ # 1
++ - -
' '
2
x > –1– –1 x < 2
■
Per risolvere una disequazione fratta, nell’incognita x, la si riconduce a una delle seguenti forme:( ) ( ) x D x
N 2 , 0 ( ) ( ) D x
N x $ , 0 ( ) ( ) D x
N x 1 oppure 0 ( ) ( ) D x N x # . 0
Si studia poi il segno della frazione algebrica.
■ xx 1 1 $0 +- ( )
N x $0 " x-1$0 " x$1 ( )
D x 20 " x+120 " x2- 1
N D
+ – –
+ + –
+ – +
0 0 0
N
—D
1 Ð1
E/
i valori che annullano il denominatore non sono soluzioni
La disequazione ha per soluzioni:
x1-10x$1.
■
Per risolvere una disequazione letterale (intera o fratta), si procede come per le disequazioni numeriche, con l’aggiunta della discussione sui parametri letterali.ESERCIZI
ESERCIZI
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1. Disuguaglianze e disequazioni
■ DISUGUAGLIANZE NUMERICHE →
Teoria a pagina 425 VERO O FALSO?a. 2# 2 V F
b. -72- 15 V F
c. 2
15 18 V F
d. 02- 11 V F
e. 2 1
3 1
6
$ 1
- V F
f. 10-4110-6 V F
COMPLETA con i simboli 2, =, 1.
(-4)3 (-2)7; 61 4-1; (-2)4 82; - 127 - ; -53 - .74 - 3 (-3)3; (-10)3 ( )- 5 4; 3
1 9
5; -1 3, 3
2; 0 (-2)-3.
Proprietà delle disuguaglianze
VERO O FALSO?
a. -62-8 " - +6 72- + 8 7 V F b. 1423 " 14-413- 4 V F c. -315 " (-3) ($ -2)25(- 2) V F
d. 4 2 4 2
1 2 2
" $ 1
1 1
- - `- j `- j V F
e. 3 5 1
3 1
" 5
2 2
- - --
-- V F
Per ogni disuguaglianza esegui l’operazione indicata nel foglietto e scrivi la disuguaglianza che ottieni.
51 8
- + , aggiungi 2; -31- , scrivi i reciproci;2 +92- , moltiplica per 6 3 –1.
42 8
- - , dividi per 4; 51 6 2 1
+ + , scrivi i reciproci; -51 16, somma 3 1.
210
- , somma –3; -12- , sottrai –5; 3 101 , dividi per –10.25
5 6
103
2 , moltiplica per 5; -512, eleva al quadrato; 62 , eleva alla –1.2
COMPLETA con i simboli 1, 2.
417"42 72; -61-2"(-6)2 (-2)2; -51-3"(-5)3 (-3) .3 418" 14 81; -71-2"-71 - ; 21 43
2 1
3
" 4 1
- - - 2- .
a. Se -21 0, allora 21 0.
b. Se 7 3, allora (-1 7)$ (-1 3)$ .
c. Se 3- 5, allora 3- + 12 5+ .12 d. Se 23
6
1, allora 32 6.
VERO O FALSO? Poiché 51 , allora:8
a. 5-a18- a 6 ! . a R V F b. 5a18a 6 ! , con a 0a R ! . V F
c. a5 1 a8 6 ! , con aa R 2 . 0 V F d. 5a28a 6 ! , con a 0a R # . V F 1
2 3
4
5
6
7
8
9 10
11
12
ESERCIZI
1. Disuguaglianze e disequazioni
■ DISEQUAZIONI →
Teoria a pagina 426Soluzioni di una disequazione
TEST Soltanto uno dei seguenti numeri appartie- ne all’insieme delle soluzioni della disequazone
x
1- 15. Quale?
A - 6 C 21
B 4- D -29
TEST Solo una delle seguenti disequazioni non ha 4
- come soluzione. Quale?1
A -47x20 C x4 2 +1 16x
B x
3
8 +5 $1 D x 41
3 1 1 - -` j
Indica quali sono le soluzioni delle disequazioni seguenti tra i valori proposti a fianco.
x+4$2x 1; - ; 5; 10; 0.1
(b ) b
7 - +2 21 2; 0; - ; 3; 21 31.
(x-2)2$3x- 7 - ; 0; 2; 3; 5.1
( )
x x+1 12x2-3 - ; 0; 1; 4; 6.1
Intervalli
Rappresenta i seguenti intervalli, o unioni di intervalli, con le parentesi quadre e sulla retta orientata.
x2 - ; 7 2#x16; x# ; 15 -91 1x 1; x$2-1. x#- ; 3 -11 1x 9; x1-20x2 87; x$ .7
x 9 x
1
3 0 2 8
#- ; x 5
$ ; 2 1 x 2
1 1 ; x3 1- .1
x#- ; 21 -31 #x 2; x#10 2x 37; -23 #x14. x#-50x$- ; x14 1 ; x27 1-20x$-1; x$ .6 x#-2021 1x 50x$6; x 2 x
5
4 0 3
#- $- ; x1-30x$0. Per ciascuno dei seguenti intervalli scrivi le due rappresentazioni mancanti.
9; x 7 2- .6
]-3; [3 , ] ;5 +3[;
–2 –1 .
x
2# 17;
23–
–7 .
2; 1
2 - 7
D D; 3 x
1 1 12
- .
3;
2 3
- +
: :; x#30x$ .7
–2 0 ; x 9
2 .8
TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Rappresenta in tutti i modi possibili i seguenti intervalli.
I numeri reali: minori di 2- ; maggiori o uguali a 35; positivi.
L’intervallo aperto dei numeri reali compresi tra 4 e 5; i numeri reali negativi maggiori di -0 3, . L’intervallo dei numeri reali che non superano 29 e che sono maggiori di 2.
I numeri reali compresi tra 2- e 1- , escluso 1- e incluso 2- ; i numeri reali non negativi minori di 4.
13 14
15
16
17
18
19
20 21
22
23 24
25
26
27
28
29
30
31 32
33 34
ESERCIZI
Diversi tipi di disequazioni
VERO O FALSO?
a. Una disequazione è intera se non compaiono frazioni. V F
b. Una disequazione è numerica se l’incognita è l’unica lettera che vi compare. V F
c. x 3 2 x
5 4
$
+ - è una disequazione numerica, lineare, intera. V F
d. a+ -25 3#a non è una disequazione numerica intera. V F e. ax+5$ è una disequazione lineare, letterale, intera. V F
TEST Solo una delle seguenti disequazioni è lineare, numerica e intera. Quale?
A -7x2+5$2x B t t
3 + +52 20 C y8 + 25y #0 D (2a)2+1#3
■ PRINCIPI DI EQUIVALENZA
→
Teoria a pagina 428Indica il principio di equivalenza applicato in ciascuno dei seguenti casi.
a. 4-x18 " x-42-8
b. 2x 23 x
4
" 3
2 1
- -
c. -54x#0 " x$0
d. 3x-6215 " - +x 21-5 e. 7x-21x+1 " 6x13 f. 11-2x " 2x1-1
Stabilisci se le coppie di disequazioni negli esercizi dal 38 al 43 sono equivalenti e, in caso affermativo, indica in base a quale principio.
3x
1 1 ; 7 -x2- .21 7 x
11 # ; x 00 $ . x
2 -7$3; - +2x 7#- .3
x 4 20
- ; x2 .0 3x
5 -220; 5x-620. x+3#2x+ ; x2 +1#2x. 35
36
ATTIVITÀ INTERATTIVA
37
38 39 40
41 42 43
VERO O FALSO? Sono equivalenti:
a. 3x 4
6 1 #0
- e x8 -1#0. V F b. - +2x 3# 31 e - +2x 38 #0. V F
c. 8x
1 2 e x0 2 . 8 V F
d. 8x+15# e - -8x 15#0. V F
TEST Solo una delle seguenti disequazioni non è equivalente a - -8x 1$ . Quale?
A -8x$1 B x2 4
#- 1 C x8 +1#0 D 12x 2
$-3
TEST Considera le disequazioni:
a. 2(x )
5 +7 $0; b. 2x$ ;0 c. 3x
8 # ;0 d. -5x$ .
Sono equivalenti:
A a, b. B b, d. C b, c, d. D c, d.
Applica alle seguenti disequazioni il principio indicato e scrivi la disequazione equivalente che si ottiene.
x x
4
5 +3#8 ; 1° principio: somma 2- .
x x
2
7 5 2
2 - 7 ; 1° principio: somma 2x 7 .
x
8 - 31 20; 2° principio: moltiplica per 3- .
(x ) x
2 - +7 4#8 ; 2° principio: dividi per 2.
44
45
46
47
48
49
50
ESERCIZI
2. Disequazioni intere di primo grado
FAI UN ESEMPIO Applicando i princìpi di equivalenza, scrivi una disequazione equivalente a quella data che soddisfi la condizione indicata.
6x 1
3 1
12
# 5
+ - ; tutti i coefficienti siano interi.
x x
2 +527 - ; 6 il secondo membro sia nullo.
x x
8-3 18 ; il primo membro contenga tutti e soli i termini in x.
TEST Tra le seguenti coppie di disequazioni, una sola è formata da disequazioni non equivalenti tra loro.
Quale?
A x x
2
3 5
3
2 1
- 2 - ; x x
2 5 3
3 1 2
- 1 - .
B 1-x22x- ; 3 3x1 .4
C (3 x-1)2- ; x 4x2 .3
D x2 -3#x- ; 2 2x+5#3x+ .4
2. Disequazioni intere di primo grado
→
Teoria a pagina 429■ RISOLVERE DISEQUAZIONI
COMPLETA
Disequazione Soluzione x
0 1-2 x 0 $8
x 0 #0
x 0 2-7
x 7 20 -
CACCIA ALL'ERRORE
a. 8x20 " x2-8 b. - -x 4$2 " x#4-2
c. 7-3x20 " x1 73 d. -2x$x " impossibile
e. 3x#6x-3 " x#1 f. x#x " impossibile
INVALSI 2015 Lorenza afferma: «La disequazione 21x1 è soddisfatta per ogni numero reale x».x Lorenza ha ragione? Scegli la risposta corretta e completa la frase.
Lorenza ha ragione perché…
Lorenza non ha ragione perché…
TEST Solo una delle seguenti affermazioni riferite alla disequazione (7 x-1)18x è falsa. Quale?
A x= è soluzione.0
B È equivalente a x7 18x+ .7
C x=- non è soluzione.7
D È equivalente a x7 - +7 8x10. Risolvi le seguenti disequazioni.
x
7 #14; -5x25; 31x$ .6 x# 7
- - ; 6x
5 1 ; 0 5x+4$14.
x 18 2 29
- - ; 3-x#x- .1
x+3$2- ;3x 3x 2 x . 5
2
3 6
1
- + +
51 52 53
54
ATTIVITÀ INTERATTIVA
55
Disequazione Soluzione x
0 20 x 0 $0
x 0 10
x 0 112
x 12 10 56
57
58
59 60
61 62
ESERCIZI
3x 4 #0
- ; 4x# - ;1 3x 3x-213x.
x x
10 12
- ; 3a a
4 #
- ; x+11x- .3
(x ) x
3 1 5#7
- + + - 8x$-25B
( )
x x x
6 -3 +1 25+ 3 [impossibile]
(x ) ( x)
4 - -1 2 5-3 #6 [x#2]
( x ) x x
4 3 1 8 2
- - + - 8x1 34B
( )
x x x
7-5 $3 - - 2 [x#1]
[ ( )]
x x
4+ 12 7-2 4- [x22]
( y) (y )
3 5- $-4 - + 1 2 [y$-9] ( a) (a )
2 3- -8 -2 2- 3 8a1 25B [x (12 4x)] 32x
- + - + 8x2 29B
[ x (x )] x
8- 2 -4 +3 $5+ 2 [6 !x R]
( ) ( )
y+7 2-y 13 3y+ - 1 y 8y2 1411B
[ ( )] ( )
t t t t
4 - +3 6- $2 3 - 1 [impossibile]
(x ) [ ( x ) ] x ( x )
5 - -2 3 -3 + -1 2 $9 -2 2 -5 x$ 37
9 C
(2b+3 3) ( -2b)#- -( 2b)2+ 1 [impossibile]
( x) x (x )
2 - - +4 21 -1 2- 6 [6 !x R] (2x-3)214(x-1 1) ( + x) 9x2 1213C
(x-2)2+x(4-x)2-3 1( - + x) 4 [x11]
[ x ( x)] ( x) ( x) (x )
3 1 2 3 3 2 4 2 3
- - - + - + [x25]
( ) ( ) ( )
x x x x x
5 -3 + +1 4# -1 2- 2 -1 2 [impossibile]
(x-5) (x+ -5) 2 1( -6x)$(1-x)2+7 2( x- 5) [6 !x R] (x+5) (x- - +4) (2 3x x) ( -1)$-2(x-3)2 [x#0]
(x- +x2 1)2- +4 x x(2 -5)$(x2-x)2 [x#-1]
( ) ( ) {[ ( )] }
x x x x x x x
8 2+3 - -1 2 +1 32-3 2 - +1 2-5 2 x 11
1 0
; E
(x+1)3+ +(x 2) (x+3 4) ( - -x) 2 1[ + -(x 2) ]2 #0 ;x#-53E [(-x) ]2 2-(x2-2x+1)2-2x2(2x-3)2x ;x2 31E (x-1)3-[(x+2) (x-2)2-x2]2- + 1 3x [x22] ASSOCIA a ogni disequazione l’insieme delle soluzioni.
a. 5x+3$ b. x#- + x 5 c. -25x20 d. 5x#2(x+ + 1) 3x
1. 0 2. R 3. x$-52 4. x# 25
TEST Quale delle seguenti disequazioni è impossibile?
A 2-7x#7(x+ 1) B 3x 8 20
- C b5 2 3 2b
1- ` - 5 j D 15x+113 2( +5x) 63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74 75 76 77
78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92
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5 DISEQUAZIONI INTERE DI PRIMO GRADO IN PIÙ
ESERCIZI Risolvi le seguenti disequazioni.
x x
2 7
4 3 23
- + ;x1 72E
x x
3 1
5 1
3
# 2
- + :x$-1013D
3 x 2
4 1 $1
- ` + j 8x#-47B
x x
2 6
1 3 5 1 6
- + [x11]
( x) x
3
2 1-3 1 + 31 ;x2 91E
x x
2
3 +2$ 2 8+1 x
2
$-3
9 C
x x
4 4
2
1 $1
- - + [x#10]
x x
8
5 4 23
4
$ 1
+ + - [x$-22]
k k k
9
1 3 23
2 3
$ 2
+ b - l - c + m 9k$-25C
x x
5 4
10
7 2 2
2 4
- + - - +b l ;x1 61E
x21 x x
4 3 1 21
+ - - + x 1
1-5
: D
x x x
5 4 3
2 # 101 2
- + - - 8x$ 292 B
( )
x x x
1 12
11
4 3
3
2 1
2
- - + - +
[x20]
y y y
15
2 1
3 54
$ 3
+ - + - 6y#-7@
( x) x x
3
1 1 5 6 2
1 2
+ - - [impossibile]
( ) ( )
x x x x
x 3
2 1 1 6
21 5
- + + + - + :x2 72D
y 21 y y y
2
1 3 2 31 $8
+ - + -
b lb l b l ;y$ 118 E
( ) ( )
x x x x x x
2 + -2 21 2 -3 2 2+ +1 ;x2 92E
( )
x x x
3 41
2 3 2
1 2 3
2 $
- - +b l b + l - [6 !x R]
( )
a2 3b1a+ +1l 65 a-2 2#3+a2 ;a$ 172 E
x 413 x x x
4
1 5
7
4
1 #
- -
+ - ;x$-281 E
( )
x x x
5
2 7
10
3 3 2
15 1 8
+ - - - [x1-60]
( ) ( )
x35 x x x x
6
7 21 1 1
+ + - + + - [x1-23]
( )
x25 x x
4
1 3 1 3
2 22
- + - + -
b l [x11]
, ( ) ( , )
x2- 32 -0 4 x+2 1x x-0 3 -1 [x2-7]
( ) ( )
x x x x
2
1 -12- 41 -1 +1 #5-
b l [6 !x R]
x x x
3 21
3
4 1
3
2 2 5
# 2
- - - -
b l b l 9x#-14C
x x x
2 34 6
1 2 31 1 #1 38
+ - b - l +
; E 9x$ 25C
x x x x x
2
1 2 12
4-b - + 2l21+ -2 b - l [x2-5]
x x x x x x x
1 31
6
1 1 2 3 16
- b + l+ b + l -( + ; + b - lE2 [x10]
( x ) (x ) ( x) x
3
1 3 + +1 21 -2 3-2 1- +b 23l2 ;x1 181 E
(x ) ( x) (x ) (x )
4
3 7 1 2 2
1 1 2$ 2 3 2
+ - - - - + [x$-7]
( )
x x x x x
5
2 2 3
1
2
3 1 5
1 3
2 1 0
2 $
+ + - + - -
b lb l b l
; E [x$0]
( ) ( )
( )
x 3 x x x
3
2
2 3
3 3
3 2 2
+ $ - + + 9x$-103 C
x
x x x x
3 3 1
4 1
2 1
2 1
12 2
9 2
2
2 1
- + - - - -
b l b b
l l [impossibile]
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
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123
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125
126
127
2. Disequazioni intere di primo grado
ESERCIZI
■ DISEQUAZIONI E FUNZIONI
LEGGI IL GRAFICO Quali valori di x sono soluzioni delle disequazioni indicate?
a b c d
y
x O
y
O x 3
f(x)
4 1 –2
2 f(x)
y
O 5 x
2
1
f(x) y
O 4 x
–2 1
f(x)
f(x) < 0 f(x) > 0– f(x) < 0– f(x) > 0
▶ Determiniamo per quali valori di x la funzione y= -8 3x è positiva e verifichiamo graficamente il risultato.
Una funzione è positiva quando y2 , quindi risolviamo la disequazione:0
x x x
8-3 20 " -3 2-8 " 1 38.
La funzione è positiva per x1 . Possiamo concludere anche che è 38 nulla per x= e negativa per x38 2 .38
Disegniamo la retta y= -8 3x per confermare il risultato: nel grafico la retta si trova sopra l’asse x, e cioè vale y2 , per x0 1 .38
Trova per quali valori di x le seguenti funzioni sono positive e verifica graficamente il risultato.
y=2x+ 1 8x2-21B
y=- + x 9 [x19]
y=12- 3x [x14]
y= + x2 4 [6 !x R]
ESPLORA CON GEOGEBRA Determina con GeoGebra per quali valori di x le seguenti funzioni sono positive.
a. y=3x- ;6 b. y=- . x2
Determina graficamente le soluzioni delle seguenti disequazioni. Conferma il risultato algebricamente.
x-5$0 2x+610 1-3x20 4+x#0
x+122x-1
IN 3 PASSI
Disegna le rette di equazioni y= + e yx 1 =2x- .1
Individua graficamente l’intervallo dei valori di x in cui il grafico della prima retta sta sopra al grafico della seconda.
Risolvi la disequazione per verificare il risultato.
x x
3- 1 +5 1+4x$x-6 2x x
1 +12- 5x# +3 x2
128
COME SI FA
y
x O
8
83
— y > 0
y < 0 83
x < —
129 130
131 132
133
134 135 136 137
138
1 2
3
139 140 141 142
