Probabilità e Statistica TEORIA Luglio 2002 Cognome e Nome Esercizio 1 Una variabile aleatoria uniforme sull’intervallo [2,6] :

TEORIA Luglio 2002 Cognome e Nome

Esercizio 1

Una variabile aleatoria uniforme sull’intervallo [2,6] :

 Ha media uguale a 4 SI NO

 Ha media uguale a 3.5 SI NO

 E’ una variabile aleatoria discreta SI NO Esercizio 2

Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti la cui densita’ e’ riportata in tabella :

x 1 20 30

P(x) 0.6 0.1 0.3

y 1 12 13

P(y) 0.2 0.3 0.5

1. Calcolare E(X) e VAR(Y)

2. Calcolare P(X=1,Y=12) esplicitando la formula utilizzata.

Esercizio 3

Quali leggi di probabilita' a voi note soddisfano la condizione di

"perdita della memoria"?

Esercizio 4

Sia Ω={1,2,3,4} l’insieme dei casi possibili con la probabilita' uniforme.

 Indicare due eventi indipendenti motivando la scelta fatta.

 Indicare due eventi non indipendenti motivando la scelta fatta.

Esercizio 5

Utilizzando i dati di un campione X1,X2,...,X16 estratto da una popolazione di varianza nota viene costruito un intervallo di confidenza per la media a livello 90%.

L’intervallo di confidenza a livello 95% contiene

quello a livello 90% SI NO NON SI PUO’ SAPERE L’intervallo di confidenza a livello 85%

contiene quello a livello 90% SI NO NON SI PUO’ SAPERE

ESERCIZI Cognome e Nome

Esercizio 1

Si lancia un dado equilibrato per n=12 volte e si vince quando si ottiene per la prima volta il numero 3.

1.

Esercizio 2

Sia X una variabile aleatoria di legge Normale di media 6 e varianza 4 . Calcolare :

o P(X ≤ 5).

o P(X ≤ 15).

o P(3 ≤ X ≤ 5).

o Sia S400 la somma di 400 variabili aleatorie con la legge di X . Determinare il valore di k tale che Calcolare P(S100 ≤ k)= 0.75.

Esercizio 3

Sia X1,X2,X3,X4,X5 un campione estratto da una popolazione di legge normale di media e varianza sconosciute i cui valori sono riportati in tabella :

x1 x2 x3 x4 x5

12 14 10 11 13

1. Determinare un intervallo di confidenza al 99% per la media.

2. Effettuare un test a livello 5% con ipotesi principale H0 : m=12.1 scegliendo a piacere una delle possibili ipotesi alternative H1 , indicando la regione di rifiuto e la decisione.

Si estraggono 24 palline con rimpiazzo da una scatola che contiene 10 palline Rosse, 20 palline Blu e 20 palline Nere.

Calcolare la probabilita' di avere [indicando ogni volta la legge usata e i parametri]:

Sette palline Rosse

Tutte palline Nere

Almeno 2 palline Nere

Al piu’ 2 palline Blu