Programma di Analisi Matematica II (9 crediti), a.a. 2016-17 NB. Sono richieste le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con (*).

Programma di Analisi Matematica II (9 crediti), a.a. 2016-17 NB. Sono richieste le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con (*).

1. Funzioni di pi` u variabili reali

Topologia di R

: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti interni, punti di frontiera, punti di accumulazione, punti isolati: definizione, esempi.

Funzioni di due variabili: definizione, grafico, esempi. Limiti di funzioni di due variabili: definizione e calcolo. Funzioni continue: definizione, calcolo, esempi. Il teorema di Weierstrass.

Derivate parziali e direzionali: definizione, esempi. Funzioni differenziabili e piano tangente: definizione, esempi. Condizioni necessarie per la differenziabilit`a. Condizioni sufficienti per la differenziabilit`a.

Derivata di funzione composta (*). Teorema del valor medio di Lagrange (*), e applicazione alle funzioni costanti (*). Continuit` a (*) e derivabilit`a (*) di una funzione integrale.

Derivate di ordine superiore. Il teorema di Schwarz (*): esempi. Formula di Taylor del secondo ordine (*). Matrici (semi)definite positive/negative: criterio degli autovalori, e criterio di Jacobi.

Massimi e minimi locali: definizione, esempi. Condizioni necessarie (*) (del primo ordine, e del secondo ordine) e condizioni sufficienti.

Il teorema di Dini sulle funzioni implicite di due, o tre variabili: esempi.

Massimi e minimi vincolati: definizioni ed esempi. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (dim. nel caso regolare).

([B] sez. 11.1-11.7, 13.1-13.4);

([M2] sez. 25-32, 34-38, 40, 101-104);

([P1] cap. 7, sez. 1.1-1.4, 3.1, 3.2, 3.5; [P2] cap. 2, sez. 1.1-1.5, e 2.1-2.2) 2. Integrali multipli

Insiemi misurabili (secondo Peano-Jordan). Funzioni integrabili. Formule di riduzione per integrali in 2 e 3 dimensioni. Formule per il cambiamento di variabili: esempi (coordinate polari (*), coordinate ellittiche (*), coordinate cilindriche (*), coordinate sferiche (*)). Integrali impropri.

([B] sez. 14.1-14.5);

([M2] sez. 74-75,77-82);

([P2] cap. 5, sez. 1.1-1.9)

3. Curve e integrali curvilinei

Definizione di curva parametrica in R

e R

, esempi. Curve semplici, chiuse: definizione, esempi. Ori- entazione: definizione, esempi. Rappresentazione cartesiana e rappr. implicita di una curva: definizione, esempi. Curve regolari, e regolari a tratti: definizione, esempi. Retta tangente: definizione, esempi.

Lunghezza di una curva regolare (*), e indipendenza dalla parametrizzazione.

Integrale curvilineo di una funzione (o di prima specie): definizione, esempi, propriet` a (linearit` a, additivit` a, indipendenza dalla parametrizzazione).

Forme differenziali lineari: definizione, esempi, campi vettoriali associati. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (o di seconda specie): definizione, esempi, propriet` a (linearit` a, additivit` a, in- dipendenza da curve equivalenti, dipendenza dall’orientazione).

Forme differenziali esatte (o campi vettoriali conservativi): definizione, esempi, e caratterizzazione (integrale dipende solo dagli estremi del cammino (*), integrale su una curva chiusa `e nullo (*)).

Forme differenziali chiuse (o campi vettoriali irrotazionali): definizione, esempi. Ogni forma esatta C

`e chiusa (*). Cenni su omotopia di cammini. Invarianza per omotopia dell’integrale di una forma chiusa.

Insiemi semplicemente connessi: definizione, esempi. Ogni forma chiusa in un dominio semplicemente connesso `e esatta (*). Lacune e periodi di una forma chiusa. Una forma chiusa con tutti i periodi nulli `e esatta.

Teorema di Gauss-Green nel piano e conseguenze.

([B] sez. 12.1-12.4, 16.2);

([M2] sez. 60-63, 68-73, 76);

([P2] cap. 1, sez. 1.1-1.6, 2.1-2.4, e cap. 6, sez. 3.1-3.2)

4. Superfici e integrali superficiali

Definizione di superficie parametrica regolare in R

, esempi (superfici date da grafici di funzioni (*), superfici di rotazione (*), superfici cilindriche). Retta normale e piano tangente: definizione, esempi (superfici date da grafici di funzioni (*), superfici di rotazione (*), superfici cilindriche). Orientazione:

definizione, esempi. Il nastro di M¨ obius non `e orientabile. Rappresentazione cartesiana e rappresentazione implicita di una superficie: definizione, esempi. Superfici regolari a tratti: definizione, esempi. Area di una superficie regolare a tratti: definizione, esempi (superfici date da grafici di funzioni (*), superfici di rotazione (*), superfici cilindriche).

Integrale superficiale di una funzione (o di prima specie): definizione, esempi, propriet` a (linearit` a, additivit` a, indipendenza dalla parametrizzazione).

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata: definizione, esempi, propriet` a (lin- earit` a, additivit` a, indipendenza da superfici equivalenti, dipendenza dall’orientazione). Teorema di Stokes, e applicazione alle forme differenziali. Teorema della divergenza e applicazioni.

([B] sez. 15.1-15.5, 16.1, 16.3-16.4);

([M2] sez. 94-100);

([P2] cap. 6, sez. 1.1-1.7, 3.3, 3.5, 3.6) 5. Serie numeriche

Definizioni ed esempi di serie convergenti/divergenti/indeterminate. Criterio di convergenza di Cauchy (*). Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto (*), confronto asintotico (*), confronto con un integrale (improprio) (*), radice (*), rapporto (*). Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie reali a termini di segno qualunque: convergenza assoluta (*), Leibniz (*).

([B] sez. 4.7-4.9);

([M1] sez. 104-110);

([P1] cap. 7, sez. 2.1-2.3)

6. Successioni e serie di funzioni

Definizione di convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni. Esempi. Criterio di conver- genza uniforme di Cauchy (*). Limite uniforme di funzioni continue (*): esempi. Teorema sullo scambio dei limiti (*). Teoremi di derivazione e integrazione di successioni uniformemente convergenti: esempi.

Convergenza puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni: definizioni, esempi. Criterio di conver- genza uniforme di Cauchy per serie (*). Serie uniformemente convergenti di funzioni continue. Teoremi di derivazione e integrazione di serie di funzioni. Legame tra convergenza totale e uniforme (*) (cio`e, il criterio di Weierstrass).

Serie di potenze: definizioni ed esempi. Lemma di Abel (*). Intervallo o cerchio di convergenza.

Teorema di convergenza assoluta (*). Formule per il raggio di convergenza (*) ed esempi. Convergenza uniforme delle serie di potenze (*). Teoremi di derivazione ed integrazione per le serie di potenze. Serie di Taylor delle funzioni elementari.

([B] sez. 9.3-9.5);

([M2] sez. 1-7);

([P2] cap. 3, sez. 1.2-1.3, 2.1-2.3)

7. Equazioni differenziali

Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: definizione, esempi. Equazioni differen- ziali del primo ordine lineari: definizione, esempi, equazione omogenea e non omogenea.

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: definizione, esempi, equazione omogenea e non omogenea, equazione caratteristica, soluzioni fondamentali, integrale (o soluzione) generale dell’equazione omogenea. Ricerca di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea con il metodo dei coefficienti indeterminati (o di similitudine).

Cenni sui problemi ai limiti per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Teorema di esistenza ed unicit` a locale. Trasformazione di un’equazione di ordine n in un sistema di n equazioni del primo ordine.

Sistemi del primo ordine lineari a coefficienti continui, omogenei e non omogenei. Dimensione dello spazio delle soluzioni (*). Matrice Wronskiana. Criterio di indipendenza lineare delle soluzioni (*).

Equazione differenziale soddisfatta dalla Matrice Wronskiana (*). Formula risolutiva del sistema omogeneo (*), e di quello non omogeneo (*).

Sistemi del primo ordine lineari a coefficienti costanti. Successioni e serie di matrici, norma sull’algebra delle matrici (*), convergenza assoluta e legame con la convergenza puntuale (*). Esponenziale di ma- trice: definizione, convergenza assoluta (*), non singolarit`a (*). Soluzione del problema omogeneo usando l’esponenziale di matrice (*). Calcolo dell’esponenziale di matrice nel caso diagonalizzabile (*). Cenni sulla forma canonica di Jordan, e suo uso per il calcolo dell’esponenziale di matrice nel caso generale.

Soluzione del problema non omogeneo (*).

Sistemi autonomi (non lineari): orbite, punti di equilibrio, equazione delle orbite per sistemi piani, diagrammi di fase. Applicazione alle equazioni del secondo ordine.

([B] sez. 17.1-17.4, 17.5.3, 17.6);

([M2] sez. 42-44, 46, 48, 51-53, 55-56, 58-59);

([P2] cap. 4, sez. 1.1-1.4, 2.1-2.4, 2.6, 2.7, 3.1, 3.2)

Bibliografia

Un qualunque testo (o testi) che contenga gli argomenti suddetti. Ad esempio:

[B] Bertsch-Dal Passo-Giacomelli: Analisi Matematica, ed. 2007.

[M1,2] (Fusco-)Marcellini-Sbordone: Analisi Matematica uno e due, ed. 1996.

[P1,2] Pagani-Salsa: Analisi Matematica 1 e 2, ed. 1992 o ed. 2016.