EDO lineare II ordine a coefficienti costanti non omogenea

Analisi Matematica II, Ing. Aerospaziale (Canale A-K)

Silvia Marconi - 19 Aprile 2012 -

 EDO lineare II ordine a coefficienti costanti non omogenea

• Individuare al variare del parametro reale a ∈ R l’integrale generale dell’e- quazione

y ⁰⁰ − ay = e ^2x [Caso a = 0 : y(x) = c ₁ + c ₂ x + ¹ ₄ e ^2x c ₁ , c ₂ ∈ R Caso a = 4 : y(x) = c ₁ e ^2x + c ₂ e ^−2x + ¹ ₄ xe ^2x c ₁ , c ₂ ∈ R Caso a > 0, a 6= 4 : y(x) = c 1 e

√ ax + c 2 e ⁻

√ ax + _4−a ¹ e ^2x c 1 , c 2 ∈ R

Caso a < 0 : y(x) = c ₁ cos(p|a|x) + c 2 sin(p|a|x) + _4−a ¹ e ^2x c ₁ , c ₂ ∈ R]

 EDO lineare di ordine superiore a coefficienti costanti

• Equazione omogenea

• y ⁰⁰⁰ + 2y ⁰⁰ + y ⁰ = 0

[y(x) = c ₁ e ^−x + c ₂ xe ^−x + c ₃ c ₁ , c ₂ , c ₃ ∈ R]

• y ^IV − 2y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ = 0

[y(x) = c ₁ e ^x + c ₂ xe ^x + c ₃ x + c ₄ c ₁ , c ₂ , c ₃ , c ₄ ∈ R]

• Equazione non omogenea

• y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰⁰ = 9x

[y(x) = c ₁ + c ₂ x + c ₃ e ^−3x + ^x ₂

− ^x ₂

c ₁ , c ₂ , c ₃ ∈ R]

• y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ = sin x

[y(x) = c ₁ e ^x + c ₂ x + c ₃ + ¹ ₂ cos x + ¹ ₂ sin x c ₁ , c ₂ , c ₃ ∈ R]

 Abbassamento o riduzione di ordine

Equazioni mancanti della y.

•







y ⁰⁰ + 4xy ⁰ = −4e ^−2x

y(0) = 1

y ⁰ (0) = 0

[y(x) = e ^−2x

]

• y ⁰⁰ = p1 − (y ⁰ ) ² [y(x) = − cos(x + c ₁ ) + c ₂ , c ₁ , c ₂ ∈ R]

 EDO di Eulero

x ⁿ y ⁽ⁿ⁾ + a n−1 x ⁿ⁻¹ y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a 1 xy ⁰ + a 0 y = f (x)

• x ² y ⁰⁰ − xy ⁰ + y = 2x