Problema 1: Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R 2| 12≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤ 1} e calcolare l’integrale

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 6/12/2012

A.A. 2011/2012

Problema 1: Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R ² | ¹ ₂ ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤ 1} e calcolare l’integrale

doppio ∫∫

E

1

x + y dxdy.

Problema 2: Individuare in quali regioni del piano la seguente forma differenziale ω(x, y) = (ye ^xy + 2x)dx + (xe ^xy + 2y)dy

` e esatta ed eventualmente determinarne le primitive.

Problema 3: Scrivere la serie di Fourier del prolungamento periodico ˆ f di f (x), definita da f (x) =

| cos x| per x ∈ [−π/2, π/2] e discuterne il tipo di convergenza.

Problema 4: (i) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y ^′′ − 2y ^′ + y = e ^at , (1)

al variare di a ∈ R e calcolare la soluzione z(t) di

 



 

z ^′′ − 2z ^′ + z = e ^t , z(0) = 0,

z ^′ (0) = 0.

(ii) Dimostrare che esiste una successione di funzioni y a (t) soluzioni di (1), a ̸= 1, tali che

a lim →1 y a (t) = z(t), per ogni t ∈ R.

Problema 5: Classificare le singolarit` a della funzione

f (z) = e

(z ² − 4z + 3) ,

e calcolare ∫

{z∈C: |z|=2}

f (z) dz.