(b) y = log 1 + x 1 − x Condizioni di esistenza: 1 − x 6= 0 ⇒ x 6= 1

Soluzione degli esercizi di preparazione al primo esonero di Calcolo Differenziale ed Integrale I e II (a.a. 2006-2007)

1. Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni:

(a) y = log x + 1 x − 1

Condizioni di esistenza: x − 1 6= 0 ⇒ x 6= 1; x + 1 x − 1 > 0.

Insieme di definizione: E = (−∞, −1) ∪ (1, +∞).

(b) y = log 1 + x 1 − x

Condizioni di esistenza: 1 − x 6= 0 ⇒ x 6= 1; 1 + x 1 − x > 0.

Insieme di definizione: E = (−1, 1).

(c) y = q

x +√ 1 + x

Condizioni di esistenza: 1 + x > 0 ⇒ x > −1; x +√

1 + x > 0.

Allora: √

1 + x > −x. Se x > 0 `e automaticamente soddisfatta;

se x < 0 si pu`o scrivere: 1 + x > x<sup>2</sup>, cio`e x²− x − 1 6 0 che, con x < 0, `e soddisfatta per x > 1 −√

5 2 . Insieme di definizione: E =

"

1 −√ 5 2 , +∞

! .

(d) y = arcsin 2x 1 + x

Condizioni di esistenza: 1 + x 6= 0 ⇒ x 6= −1; −1 6 2x 1 + x 6 1.

Allora: −1 − x 6 2x, cio`e: x > −1

3; 2x − 1 − x 6 0, cio`e x 6 1;

Insieme di definizione: E =



−1 3, 1

 .

2. Studiare il grafico delle seguenti funzioni:

(a) y = x log x

Condizioni di esistenza: x > 0; log x 6= 0 ⇒ x 6= 1.

Insieme di definizione: E = (0, 1) ∪ (1, +∞).

lim

x→0

x

log x = 0; lim

x→1⁻

x

log x = −∞; lim

x→1⁺

x

log x = +∞; lim

x→+∞

x

log x = +∞.

lim

x→+∞

y

x = m = lim

x→+∞

1

log x = 0, ma poich´e:

lim

x→+∞

(y − mx) = lim

x→+∞

y = lim

x→+∞

x

log x = +∞, non c’`e asintoto obliquo.

y⁰ = 1

log x− 1

(log x)² = log x − 1

(log x)² , y⁰= 0 ⇒ log x = 1 ⇒ x = e;

y(e) = e

log e = e; lim

x→0

y⁰= lim

x→0

1 log x



1 − 1 log x



= 0.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4 5 y

x

(b) y = x − 3 x + 2

Condizioni di esistenza: x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2.

Insieme di definizione: E = (−∞, −2) ∪ (−2, +∞).

lim

x→−2⁻

x − 3

x + 2= +∞; lim

x→−2⁺

x − 3

x + 2= −∞.

lim

x→+∞

x − 3

x + 2 = 1; lim

x→−∞

x − 3 x + 2= 1.

y⁰ = 1

x + 2− x − 3

(x + 2)² = x + 2 − x + 3

(x + 2)² = 5

(x + 2)² > 0 ∀ x ∈ E.

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5 y

x

(c) y = 1 1 − x²

Condizioni di esistenza: 1 − x²6= 0 ⇒ x 6= −1, x 6= 1.

Insieme di definizione: E = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞).

lim

x→−1⁻

1

1 − x² = −∞; lim

x→−1⁺

1

1 − x² = +∞.

lim

x→1⁻

1

1 − x² = +∞; lim

x→1⁺

1

1 − x² = −∞.

lim

x→+∞

1

1 − x² = 0; lim

x→−∞

1

1 − x² = 0.

y⁰ = 2x

(1 − x²)², y⁰ = 0 ⇒ x = 0; y(0) = 1.

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5 y

x

4

(d) y = x² 1 + x³

Condizioni di esistenza: 1 + x³6= 0 ⇒ x 6= −1.

Insieme di definizione: E = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞).

lim

x→−1⁻

x²

1 + x³ = −∞; lim

x→−1⁺

x²

1 + x³ = +∞.

lim

x→+∞

x²

1 + x³ = 0; lim

x→−∞

x²

1 + x³ = 0.

y⁰ = 2x − x⁴

(1 + x³)² = x(2 − x³) (1 + x³)², y⁰ = 0 ⇒ x = 0, x =√³

2 = 1.2599 . . . ; y(0) = 0, y(√³

2) = (√³ 2)²

3 = 0.5291 . . ..

y⁰⁰= 2 − 4x³

(1 + x³)² −12x³− 6x⁶

(1 + x³)³ = 2(x⁶− 7x³+ 1) (1 + x³)³ y⁰⁰= 0 ⇒ x = ³

s 7 ±√

45

2 , cio`e: x = 1.8995 . . . , x = 0.5264 . . ..

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5 y

x

5

3. Trovare massimo (M ) e minimo (m) assoluti, se esistono, delle seguenti funzioni:

(a) y = √³

x con x ∈ [−1, 1].

y = √³

x = x^1/3; y⁰ = 1

3x^−2/3 = 1 3√³

x².

y⁰ non esiste in x = 0, ed `e sempre positiva (cio`e y `e sempre crescente) in [−1, 1].

Si trova quindi: y(0) = 0; y(−1) = −1 = m; y(1) = 1 = M .

(b) y = log(e^x− x) con x ∈ [−1, 1].

y = log(e^x− x); y⁰ = e^x− 1 e^x− x.

y⁰ esiste sempre in [−1, 1]; y⁰ = 0 ⇒ e^x− 1 = 0 ⇒ x = 0.

Si trova quindi: y(0) = 0 = m; y(−1) = log(e⁻¹+ 1) = 0.3121 . . . ; y(1) = log(e − 1) = 0.5413 . . . = M .

4. Calcolare i seguenti limiti:

(a) lim

x→0⁺

e^1/x tan x.

lim

x→0⁺

e^1/x tan x = lim

x→0⁺

e^1/x

cot x = lim

x→0⁺

−e^1/x x²

− 1

sin²x

= lim

x→0⁺

 sin x x

2

· lim

x→0⁺

e^1/x= +∞.

(b) lim

x→0

sin αx x .

lim

x→0

sin αx x = lim

x→0

α · sin αx

αx = α · lim

x→0

sin αx αx = α.

(c) lim

x→∞

x + sin x x + cos x.

sin x

5. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

(a)

Z dx

px√ x.

Z dx

px√ x =

Z dx x^3/4 =

Z

x^−3/4dx = 4 x^1/4+ c = 4√⁴ x + c

(b) Z

e^x e^x+ 1 e^x− 1dx.

Z

e^xe^x+ 1 e^x− 1dx =

Z

e^xe^x− 1 + 2 e^x− 1 dx =

Z e^x



1 + 2 e^x− 1

 dx

= Z

e^xdx + 2

Z e^x

e^x− 1dx = e^x+ 2 log(e^x− 1) + c

(c)

Z dx

sin²x cos²x.

Z dx

sin²x cos²x =

Z sin²x + cos²x sin²x cos²x dx

=

Z dx cos²x +

Z dx

sin²x = tan x − cot x + c

(d)

Z x²dx

√

1 − x⁶. Z x²dx

√1 − x⁶ = 1 3

Z 3 x²dx

√1 − x⁶ = 1 3

Z d(x³)

p1 − (x³)² = 1

3 arcsin(x³) + c