Esercizio 1. Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R 2| 14x < y 2< x, 1 < xy < 2 } e calcolare l’integrale

Analisi Matematica IIA

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 11/6/2013

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R ² | ¹ ₄ x < y ² < x, 1 < xy < 2 } e calcolare l’integrale

doppio ∫∫

E

log ( x

y ² )

dxdy.

Esercizio 2. Studiare la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

 



x

y

x

+y

, (x, y) ̸= (0, 0);

0, (x, y) = (0, 0).

Esercizio 3. Studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni

f _n (x) = nx cos(nx) n ² + x ² .

Studiare la convergenza uniforme di f _n nell’intervallo [ −1, 1] e in tutto R.

Esercizio 4. Determinare il valore del parametro α affinch´ e la forma differenziale

ω(x, y) = x + y

(x ² + y ² ) ^α dx − x − y (x ² + y ² ) ^α dy

sia chiusa in R ² \ (0, 0). `E possibile determinare, senza fare calcoli,

∫

γ

ω(x, y)

con γ una circonferenza di centro l’origine e raggio r? Motivare la risposta.

Esercizio 5. Studiare, al variare di x, la convergenza della serie

+ ∞

∑

n=0

(x + 4) ⁿ 2 ⁿ (n + 1)

e calcolarne la somma.