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Esercizio 1. Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R 2| 14x < y 2< x, 1 < xy < 2 } e calcolare l’integrale

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Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 11/6/2013

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R 2 | 1 4 x < y 2 < x, 1 < xy < 2 } e calcolare l’integrale

doppio ∫∫

E

log ( x

y 2 )

dxdy.

Esercizio 2. Studiare la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

 

x

2

y

4

x

4

+y

6

, (x, y) ̸= (0, 0);

0, (x, y) = (0, 0).

Esercizio 3. Studiare, al variare di x, la convergenza della serie

+ ∞

∑

n=0

(x + 4) n 2 n (n + 1) e calcolarne la somma.

Esercizio 4. (i) Studiare l’andamento qualitativo della soluzione del Problema di Cauchy {

y ′ = (y 2 − 4) log(t), y(1) = 0.

Esiste un solo punto di flesso per t > 1?

(ii) Calcolare analiticamente la soluzione.

Esercizio 5. Classificare le singolarit` a della funzione

f (z) = z 2 + 2z sin z

e calcolare ∫

γ

f (z)dz,

dove γ ` e la circonferenza centrata nell’origine e di raggio 4 percorsa in senso antiorario.

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Nota preliminare: Le risoluzioni degli esercizi presentati sono volutamente schematiche e vari dettagli sono lasciati al lettore.

(a) d(x, y) := |x 2 − y 2 | per x, y ∈ R;

Determinare le isometrie di R con la metrica euclidea in se stesso.. Dotiamo R della