SISSIS
Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario SEZIONE DELL’UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
Indirizzo Fisico-Matematico-Informatico
L ABORATORIO DI ANALISI
“La derivabilità”
Specializzandi:
Ing. Calogero Ciancimino Dott. Egle Galvano Ing. Rosanna Masi Ing. Leonardo Pirrello Dott. Linda Calogera Zicari
Docente
Prof. Filippo Spagnolo
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Anno Accademico 2003-2004
Analisi a priori
Data una situazione/problema si definisce analisi a priori l’insieme di:
• Rappresentazioni storico-epistemologiche (cioè le rappresentazioni dei percorsi conoscitivi riguardo ad un particolare concetto);
• Comportamenti ipotizzati.
Consideriamo il seguente esercizio:
Data la funzione y=sin|x-1|
La funzione è continua?
La funzione è derivabile nel punto x=1?
Motivare la risposta
Analisi delle possibili risposte errate dello studente :
• Lo studente traccia il grafico per punti e li unisce come se in x=1 ci fosse un minimo e risponde che la funzione è continua e derivabile in x=1 , dando come motivazione il grafico stesso.
• Lo studente traccia il grafico della funzione qualitativamente (mediante il classico studio di funzione), ed essendo la funzione continua in x=1 ne deduce che è anche derivabile.
• Lo studente studia la funzione sin(x-1) non ponendosi il problema del valore assoluto,quindi deduce correttamente la continuità e la derivabilità della funzione in quel punto.
• Lo studente studia la funzione eliminando il valore assoluto nella derivata e deduce la continuità e la derivabilità.
• Lo studente calcola la derivata utilizzando le regole di derivazione di funzioni composte, non accorgendosi che essa non è definita per x=1, quindi conclude che è continua e derivabile.
• Lo studente scinde il problema in due parti, considerando separatamente i casi x-1<0 e x-1>0, e studia così due funzioni entrambe continue e derivabili in x=1.
• Lo studente verifica la continuità. Per quanto riguarda la derivabilità, dal calcolo del limite del rapporto incrementale ottiene una forma indeterminata del tipo 0/0, conclude che la derivata non esiste.
• Lo studente sostituisce x=1 nell’espressione della funzione deducendo che la funzione y=0 è continua e derivabile.
• Poiché la derivata non è definita in x=1, lo studente deduce che non è derivabile pur essendo continua. Ottiene, dunque,la soluzione corretta pur avendo utilizzato un procedimento errato.
• Lo studente traccia il grafico ed individua nel punto x=1 un punto di minimo, allora deduce che la derivata, in quel punto, è zero. La funziona risulta, quindi, continua e derivabile.
• Lo studente, tracciato il grafico, tenta di tracciare la tangente in x=1, osservando la simmetria rispetto all’asse y=1, e interpreta tale retta come unica tangente. La funzione è, quindi, a suo parere, continua e derivabile.
Possibili ragionamenti corretti dello studente
• Lo studente traccia il grafico correttamente per punti e deduce la continuità. Osservando l’esistenza di due tangenti, nel punto in questione, ne deduce la non derivabilità.
• Poiché la derivata non è definita in x=1, lo studente calcola il limite destro e sinistro del rapporto incrementale che risultano diversi, concludendo che la funzione non è derivabile in quel punto.
• Dopo lo studio analitico della funzione, lo studente traccia il grafico ed osservando l’esistenza di due tangenti, nel punto in questione, ne deduce la non derivabilità.
• Dopo aver osservato che la derivata non è definita in x=1, lo studente ne calcola il limite destro e sinistro ottenendo due risultati diversi, e deduce la non derivabilità.
• Lo studente tenta di calcolare il limite del rapporto incrementale e osserva che questo limite non esiste.
Analisi dei comportamenti
L’esercizio è stato somministrato ad un campione di otto persone, scelte fra gli studenti degli ultimi anni di alcune facoltà tecnico-scientifiche (Architettura, Agraria, Biologia), e sono stati riscontrati i seguenti comportamenti:
• Nessuno degli otto studenti è stato in grado di risolvere correttamente l’esercizio.
• Due studenti hanno calcolato la derivata della funzione, applicando la regola di derivazione della funzione composta, e hanno concluso che la funzione è derivabile.
• I rimanenti sei studenti sono rimasti bloccati davanti all’esercizio. A questi è stata ricordata la definizione di derivabilità ed, in particolare, ci si è soffermati sul fatto che una funzione è derivabile se esiste finito il limite del rapporto incrementale.
• Due studenti hanno osservato che il limite del rapporto incrementale non esiste, avendo ottenuto una forma indeterminata “0/0”.
• Un altro ragazzo ha cercato di risolvere il limite del rapporto incrementale applicando il teorema di “De L’Hôpital”, ma non è stato in grado di osservare che il limite destro e il limite sinistro sono diversi; di conseguenza non ha osservato la non derivabilità della funzione.
• Altri tre studenti non sono stati in grado di particolarizzare la definizione di rapporto incrementale alla funzione proposta dall’esercizio.
Osserviamo, infine, che nessuno degli studenti ha utilizzato approcci di tipo grafico o geometrico al problema.
Situazione a-didattica
Un modo molto semplice e diretto, usato dall’insegnante, per fare comprendere allo studente un determinato concetto è la situazione a-didattica. Quest’ultima è una parte della situazione didattica in cui l’insegnante non comunica agli alunni l’argomento che devono apprendere, ma cerca di inventare un gioco in cui non devono usare le conoscenze didattiche, ma solo partecipare attivamente, con azioni fisiche ad una gara tra gruppi. Spinti dalla competizione e dalla voglia di essere primi, gli alunni devono cercare strategie migliori che permettono loro di vincere. A sua volta l’insegnante usa un metodo spontaneo, “il gioco”, per mettere gli allievi nelle condizioni di apprendere il nuovo argomento.
La nostra situazione a-didattica consiste nel fare eseguire agli studenti il Kicking game al fine di introdurre agli allievi il concetto di non derivabilità, distinguendolo dalla quello di continuità.
Kicking game
Materiale occorrente
• Pallone da calcio;
• Gessetti colorati;
• Fettuccia metrica.
Luogo di svolgimento del gioco
• Pendio
Svolgimento del gioco
Gli alunni vengono suddivisi in due squadre e si posizionano nella parte più bassa del pendio, mentre l’insegnante, che svolge la funzione di arbitro, occupa una posizione sufficientemente elevata sul pendio in modo da consentire il regolare svolgimento del gioco. Il gioco consiste nel calciare la palla raso terra con forza, al fine di farla arrivare al punto più elevato possibile sul pendio. I componenti delle due squadre, alternandosi, calciano la palla che scende dal pendio e l’insegnante segna col gesso colorato il punto più alto raggiunto da essa. Vince la squadra che mediamente raggiunge l’altezza più elevata.
Formalizzazione matematica
Su un grafico spazio Vs. tempo, riportiamo la curva rappresentativa del moto della palla che sarà del tipo:
-5 0 5 10 15 20 25
0 5 10 15 20 25
Tempo
Spazio
Il punto A è rappresentativo della posizione iniziale cioè quando l’insegnante lascia cadere la palla dal punto più alto del pendio, la curva che rappresenta tale fase discendente è ovviamente un tratto di parabola, essendo tale moto uniformemente accelerato. Nel punto B invece si trova l’alunno che colpisce il pallone imprimendogli una certa velocità iniziale v, nell’esempio di figura si sono schematizzati due tra i vari casi possibili. Come si può vedere il punto più alto raggiunto è C o C’ a seconda dei casi. Il punto B è il punto su cui focalizzare l’attenzione facendo notare agli alunni che anche se la funzione è continua non è derivabile in tale punto in quanto la derivata sinistra è diversa da quella destra. Se poi facciamo notare che la tangente alla curva rappresenta la velocità li si può far riflettere sul fatto che se l’impatto tra palla e piede è istantaneo non esiste un valore unico di velocità nell’istante del contatto.
A
B
C
C’
Da quanto fin qui esposto si può notare come il punto più alto raggiunto da ognuno degli alunni non è significativo ai fini dello studio della derivabilità della funzione ma ci è servito da stimolo per invogliare gli alunni a partecipare all’attività proposta.
